BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: Tính Chất Lồi Trong Không Gian Banach

• Người hướng dẫn: TS. 1
• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Chuyên Ngành
• Đề tài: Khám Phá Tính Chất Lồi Trong Không Gian Banach
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: Năm

• PHẦN MỞ ĐẦU
• 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH
• 2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ∆U -VÀNH
• 3. TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT CỦA CÁC ∆U -VÀNH
• 4. MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ CỦA CÁC ∆U -VÀNH
• 5. KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC C0 (Ω)

I. Tổng Quan Về Tính Chất Lồi Trong Không Gian Banach

Bài viết này khám phá sâu sắc về tính chất lồi trong không gian Banach, một lĩnh vực quan trọng của giải tích lồi và hình học lồi. Không gian Banach là một không gian định chuẩn đầy đủ, đóng vai trò then chốt trong nhiều lĩnh vực của toán học và ứng dụng. Nghiên cứu tính chất lồi trong các không gian này cung cấp những công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán tối ưu, phân tích hàm, và nhiều vấn đề khác. Các khái niệm như tập lồi, hàm lồi, và bao lồi là nền tảng cho sự phát triển của lý thuyết này. Việc hiểu rõ các tính chất hình học của không gian Banach liên quan đến tính lồi là rất quan trọng. Theo Arhangelskii (1966), việc suy rộng khái niệm cơ sở đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này.

1.1. Định Nghĩa Cơ Bản Về Tập Lồi Trong Không Gian Vector

Một tập lồi trong không gian vector là một tập hợp mà đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập đó cũng nằm hoàn toàn trong tập hợp. Nói cách khác, nếu x và y thuộc tập lồi C, thì λx + (1-λ)y cũng thuộc C với mọi λ thuộc [0,1]. Khái niệm này là nền tảng để xây dựng các khái niệm phức tạp hơn về tính chất lồi trong không gian Banach. Bao lồi của một tập hợp là tập lồi nhỏ nhất chứa tập hợp đó. Việc xác định và nghiên cứu bao lồi có vai trò quan trọng trong tối ưu lồi và giải tích hàm.

1.2. Hàm Lồi Định Nghĩa Và Tính Chất Cơ Bản Nhất

Một hàm lồi là một hàm số mà đồ thị của nó nằm dưới đường thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đồ thị. Về mặt toán học, hàm f được gọi là hàm lồi nếu f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y) với mọi x, y thuộc miền xác định của f và mọi λ thuộc [0,1]. Tính liên tục và tính khả vi của hàm lồi là những yếu tố quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu. Giải tích lồi tập trung vào việc nghiên cứu các hàm lồi và ứng dụng của chúng trong nhiều lĩnh vực.

II. Thách Thức Khi Nghiên Cứu Tính Chất Lồi Banach

Nghiên cứu tính chất lồi trong không gian Banach không phải là một nhiệm vụ dễ dàng. Một trong những thách thức lớn nhất là sự phức tạp của cấu trúc không gian Banach so với các không gian Hilbert. Không gian Hilbert có tích trong, cho phép sử dụng các công cụ hình học mạnh mẽ, trong khi không gian Banach thiếu cấu trúc này. Điều này đòi hỏi các phương pháp tiếp cận khác nhau và phức tạp hơn. Bên cạnh đó, việc xác định các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu lồi trong không gian Banach cũng là một thách thức đáng kể. Việc tìm kiếm các ứng dụng thực tiễn của tính chất lồi trong các lĩnh vực như kinh tế, khoa học máy tính, và kỹ thuật cũng đòi hỏi sự nỗ lực không ngừng.

2.1. Sự Khác Biệt Giữa Không Gian Banach Và Không Gian Hilbert

Không gian Hilbert là một trường hợp đặc biệt của không gian Banach với một tích trong xác định. Tích trong cho phép định nghĩa các khái niệm như góc và trực giao, tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải quyết các bài toán tối ưu. Không gian Banach, ngược lại, không có tích trong, làm cho việc nghiên cứu tính chất lồi trở nên khó khăn hơn. Tuy nhiên, không gian Banach lại tổng quát hơn và bao gồm nhiều không gian quan trọng khác mà không gian Hilbert không bao phủ.

2.2. Xác Định Điều Kiện Tối Ưu Trong Không Gian Banach

Việc xác định các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu lồi trong không gian Banach là một vấn đề phức tạp. Các điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT), vốn rất hữu ích trong không gian Hilbert, không thể áp dụng trực tiếp cho không gian Banach. Cần phải phát triển các phương pháp tiếp cận mới, dựa trên các khái niệm như đạo hàm dưới và đối ngẫu lồi, để giải quyết vấn đề này.

III. Phương Pháp Nghiên Cứu Tính Chất Lồi Trong Banach

Có nhiều phương pháp khác nhau được sử dụng để nghiên cứu tính chất lồi trong không gian Banach. Một trong những phương pháp quan trọng nhất là sử dụng định lý Hahn-Banach, một công cụ mạnh mẽ cho phép mở rộng các hàm tuyến tính liên tục. Phương pháp khác là sử dụng đối ngẫu lồi, một kỹ thuật cho phép chuyển đổi một bài toán tối ưu thành một bài toán đối ngẫu tương đương, thường dễ giải quyết hơn. Ngoài ra, việc nghiên cứu các tính chất hình học của không gian Banach, như tính đều lồi và tính trơn, cũng đóng vai trò quan trọng. Theo K. Lee, việc suy rộng khái niệm không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất yếu và thứ hai yếu đã mở ra hướng tiếp cận mới.

3.1. Ứng Dụng Định Lý Hahn Banach Trong Giải Tích Lồi

Định lý Hahn-Banach là một công cụ cơ bản trong giải tích hàm và giải tích lồi. Nó cho phép mở rộng một hàm tuyến tính liên tục từ một không gian con sang toàn bộ không gian Banach mà vẫn giữ được tính liên tục. Định lý Hahn-Banach có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại của các nghiệm cho các bài toán tối ưu và trong việc xây dựng các hàm đối ngẫu.

3.2. Đối Ngẫu Lồi Kỹ Thuật Chuyển Đổi Bài Toán Tối Ưu

Đối ngẫu lồi là một kỹ thuật quan trọng trong tối ưu lồi. Nó cho phép chuyển đổi một bài toán tối ưu ban đầu thành một bài toán đối ngẫu tương đương. Bài toán đối ngẫu thường dễ giải quyết hơn bài toán gốc, và nghiệm của bài toán đối ngẫu có thể được sử dụng để tìm nghiệm của bài toán gốc. Đối ngẫu lồi có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, và khoa học máy tính.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Tính Chất Lồi Trong Banach

Tính chất lồi trong không gian Banach có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau. Trong kinh tế, nó được sử dụng để mô hình hóa các bài toán tối ưu trong lý thuyết trò chơi và lý thuyết cân bằng tổng quát. Trong khoa học máy tính, nó được sử dụng trong học máy và xử lý ảnh. Trong kỹ thuật, nó được sử dụng trong thiết kế tối ưu và điều khiển học. Việc nghiên cứu và phát triển các ứng dụng mới của tính chất lồi trong không gian Banach là một lĩnh vực đầy tiềm năng. Theo chứng minh của định lý, ta chia thành hai bước.

4.1. Ứng Dụng Trong Kinh Tế Mô Hình Hóa Bài Toán Tối Ưu

Trong kinh tế, tính chất lồi được sử dụng để mô hình hóa các bài toán tối ưu trong nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như lý thuyết trò chơi, lý thuyết cân bằng tổng quát, và lý thuyết lựa chọn. Các hàm lồi và tập lồi được sử dụng để mô tả các hàm chi phí, hàm lợi ích, và các ràng buộc trong các bài toán tối ưu. Việc giải quyết các bài toán tối ưu lồi này giúp các nhà kinh tế đưa ra các quyết định tối ưu trong các tình huống khác nhau.

4.2. Ứng Dụng Trong Khoa Học Máy Tính Học Máy Và Xử Lý Ảnh

Trong khoa học máy tính, tính chất lồi được sử dụng rộng rãi trong học máy và xử lý ảnh. Các bài toán tối ưu lồi xuất hiện trong nhiều thuật toán học máy, chẳng hạn như hồi quy tuyến tính, hồi quy logistic, và máy vector hỗ trợ (SVM). Trong xử lý ảnh, tính chất lồi được sử dụng để giải quyết các bài toán như khôi phục ảnh, phân đoạn ảnh, và nhận dạng đối tượng.

V. Kết Luận Và Hướng Nghiên Cứu Tính Chất Lồi Banach

Nghiên cứu tính chất lồi trong không gian Banach là một lĩnh vực quan trọng và đầy tiềm năng. Mặc dù đã có nhiều tiến bộ đạt được, vẫn còn nhiều vấn đề mở cần được giải quyết. Các hướng nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp mới để giải quyết các bài toán tối ưu lồi trong không gian Banach, nghiên cứu các tính chất hình học mới của không gian Banach liên quan đến tính lồi, và tìm kiếm các ứng dụng mới của tính chất lồi trong các lĩnh vực khác nhau. Theo định lý 5, cho Ω ⊂ Rn là tập mở.

5.1. Phát Triển Phương Pháp Giải Bài Toán Tối Ưu Lồi

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng trong tương lai là phát triển các phương pháp mới để giải quyết các bài toán tối ưu lồi trong không gian Banach. Các phương pháp hiện tại thường gặp khó khăn khi áp dụng cho các không gian Banach có chiều vô hạn hoặc có cấu trúc phức tạp. Cần phải phát triển các thuật toán hiệu quả hơn và có khả năng mở rộng cho các lớp không gian Banach rộng hơn.

5.2. Nghiên Cứu Tính Chất Hình Học Mới Của Không Gian Banach

Việc nghiên cứu các tính chất hình học mới của không gian Banach liên quan đến tính lồi cũng là một hướng nghiên cứu đầy hứa hẹn. Các tính chất hình học này có thể cung cấp những hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc của không gian Banach và giúp giải quyết các bài toán tối ưu hiệu quả hơn. Các khái niệm như tính đều lồi, tính trơn, và tính phản xạ đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất hình học này.

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực giải tích hàm và lý thuyết không gian Banach, việc nghiên cứu các tính chất của không gian các hàm khả tích và các tính chất lồi trong không gian Banach đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển toán học hiện đại. Theo ước tính, không gian hàm Lp (với 1 ≤ p < ∞) là không gian tách được, trong khi không gian L∞ không tách được, điều này ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng xấp xỉ và tính chất phân tích của các hàm trong không gian đó. Luận văn tập trung vào việc khảo sát các đặc trưng của không gian các hàm khả tích, đặc biệt là các tính chất tách được, tính compact, và các kết quả xấp xỉ bằng các hàm liên tục có hỗ trợ compact (C0c).

Mục tiêu nghiên cứu là chứng minh các định lý cơ bản về tính tách được của không gian Lp, xây dựng các phương pháp xấp xỉ hàm trong Lp bằng các hàm đơn giản và hàm liên tục có hỗ trợ compact, đồng thời phân tích các tính chất lồi trong không gian Banach liên quan đến các vành ∆U và các tính chất đại số của chúng. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các không gian hàm trên tập mở Ω ⊂ Rn, với các kết quả áp dụng cho các không gian Banach vô hạn chiều và các vành đại số liên quan.

Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp cơ sở lý thuyết vững chắc cho các ứng dụng trong giải tích hàm, lý thuyết đại số, và các lĩnh vực liên quan như xấp xỉ số, phân tích topo, và lý thuyết vành. Các chỉ số như tính tách được, tính compact, và khả năng xấp xỉ hàm đóng vai trò then chốt trong việc phát triển các thuật toán và mô hình toán học trong khoa học và kỹ thuật.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai nền tảng lý thuyết chính: lý thuyết topo và lý thuyết giải tích hàm. Đầu tiên là định lý Urysohn, một kết quả quan trọng trong topo, cho phép xây dựng các hàm liên tục có hỗ trợ compact giữa các tập con compact và mở trong không gian topo. Thứ hai là các kết quả xấp xỉ trong không gian Lp, bao gồm định lý hội tụ Lebesgue và các tính chất của hàm đơn giản đo được.

Các khái niệm chính bao gồm:

• Không gian Lp (1 ≤ p < ∞): không gian các hàm khả tích với chuẩn Lp, được chứng minh là tách được.
• Không gian L∞: không gian các hàm khả đoán có chuẩn vô cùng, không tách được.
• Hàm đơn giản đo được: hàm có giá trị hữu hạn và tập giá trị không vô hạn, dùng để xấp xỉ các hàm trong Lp.
• Hàm liên tục có hỗ trợ compact (C0c): hàm liên tục có tập hỗ trợ compact, dùng làm công cụ xấp xỉ trong không gian Lp.
• Vành ∆U và ∆U-vành: các cấu trúc đại số đặc biệt trong vành, liên quan đến tính chất lũy đẳng và khả nghịch của phần tử.

Ngoài ra, luận văn còn khai thác các định lý cổ điển như định lý Rolle, định lý Weierstrass, và định lý Fubini để hỗ trợ các chứng minh và phân tích.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp phân tích toán học kết hợp với lý thuyết đại số và topo. Nguồn dữ liệu chủ yếu là các kết quả định lý, mệnh đề, và chứng minh toán học được xây dựng dựa trên các giả thiết về không gian topo, không gian đo được, và các tính chất của hàm trong Lp.

Phương pháp phân tích bao gồm:

• Chứng minh định lý: chia thành các bước rõ ràng, sử dụng các kết quả nền tảng như định lý Urysohn, định lý hội tụ Lebesgue, và định lý Lusin.
• Xây dựng dãy xấp xỉ: sử dụng hàm đơn giản đo được và hàm mollifiers để xấp xỉ hàm trong Lp bằng các hàm trong C0c.
• Phân tích tính tách được: chứng minh tính tách được của không gian Lp bằng cách xây dựng tập con đếm được và trù mật.
• Phân tích tính chất đại số của vành: sử dụng các mệnh đề và bổ đề để khảo sát các tính chất của ∆U-vành và các vành liên quan.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong khoảng thời gian thực hiện luận văn thạc sĩ, với các giai đoạn thu thập tài liệu, xây dựng chứng minh, và hoàn thiện luận văn.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Tính tách được của không gian Lp (1 ≤ p < ∞): Luận văn chứng minh rằng không gian Lp là tách được, nghĩa là tồn tại một tập con đếm được và trù mật trong không gian này. Cụ thể, với mọi hàm f ∈ Lp(Ω) và ϵ > 0, tồn tại hàm g ∈ C0c(Ω) sao cho ∥f − g∥Lp < ϵ. Điều này được hỗ trợ bởi các số liệu về dãy mollifiers và hàm đơn giản đo được, với các bước chứng minh chi tiết.

2. Không gian L∞ không tách được: Bằng cách xây dựng họ các tập mở rời nhau không đếm được trong L∞(Ω), luận văn chỉ ra rằng L∞ không thể có tập con đếm được trù mật, do đó không tách được. Ví dụ về các tập mở Ua được định nghĩa qua các bóng mở trong L∞ minh họa rõ ràng điều này.

3. Xấp xỉ hàm trong Lp bằng hàm liên tục có hỗ trợ compact: Qua việc áp dụng định lý Lusin và mollifiers, luận văn chứng minh rằng mọi hàm trong Lp có thể được xấp xỉ tốt bởi các hàm trong C0c(Ω), với sai số chuẩn Lp tùy ý nhỏ. Đây là kết quả quan trọng cho phép sử dụng các hàm liên tục trong các bài toán phân tích và ứng dụng.

4. Tính chất đại số của ∆U-vành: Luận văn phân tích các đặc trưng của ∆U-vành, bao gồm tính chất lũy đẳng, tính Dedekind finite, và các điều kiện tương đương liên quan đến các loại vành như clean ring, unit-regular ring. Các mệnh đề và bổ đề được chứng minh chi tiết, cung cấp cơ sở cho việc nghiên cứu các cấu trúc đại số phức tạp hơn.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của tính tách được trong Lp xuất phát từ khả năng xấp xỉ hàm bằng các hàm đơn giản và hàm liên tục có hỗ trợ compact, điều này không thể thực hiện được trong L∞ do tính chất chuẩn vô cùng và sự tồn tại của các tập mở rời rạc không đếm được. Kết quả này phù hợp với các nghiên cứu trước đây trong giải tích hàm và lý thuyết không gian Banach.

Việc chứng minh tính tách được của C0c(Ω) dựa trên các kết quả topo như định lý Urysohn và tính chất compact của các tập con trong không gian metric, cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa topo và giải tích trong nghiên cứu không gian hàm.

Phân tích các tính chất của ∆U-vành mở rộng hiểu biết về cấu trúc đại số của các vành liên quan, đồng thời cung cấp các điều kiện cần và đủ để xác định các loại vành đặc biệt, có thể ứng dụng trong lý thuyết môđun và đại số tuyến tính.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các bảng tổng hợp các tính chất của không gian Lp và L∞, biểu đồ minh họa quá trình xấp xỉ hàm bằng mollifiers, và sơ đồ cấu trúc các loại vành ∆U để trực quan hóa các mối quan hệ đại số.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các thuật toán xấp xỉ hàm trong Lp: Khuyến nghị xây dựng các thuật toán số dựa trên mollifiers và hàm đơn giản đo được để ứng dụng trong xử lý tín hiệu và mô phỏng số, nhằm cải thiện độ chính xác và hiệu quả tính toán trong các bài toán thực tế.

2. Nâng cao nghiên cứu về tính chất đại số của ∆U-vành: Đề xuất mở rộng nghiên cứu về các vành ∆U trong các cấu trúc đại số phức tạp hơn, như vành ma trận tam giác và vành đa thức, nhằm ứng dụng trong lý thuyết môđun và đại số không giao hoán.

3. Ứng dụng lý thuyết không gian Banach trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật: Khuyến nghị áp dụng các kết quả về tính tách được và tính compact trong không gian hàm để phát triển các mô hình toán học trong vật lý, kỹ thuật, và khoa học máy tính, đặc biệt trong các bài toán tối ưu và điều khiển.

4. Tăng cường đào tạo và phổ biến kiến thức về không gian hàm và vành đại số: Đề xuất tổ chức các khóa học, hội thảo chuyên sâu về lý thuyết không gian Banach, giải tích hàm, và đại số để nâng cao trình độ nghiên cứu và ứng dụng trong cộng đồng khoa học.

Các giải pháp trên nên được thực hiện trong vòng 1-3 năm, với sự phối hợp giữa các viện nghiên cứu, trường đại học và các tổ chức khoa học kỹ thuật.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học và Giải tích hàm: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết vững chắc về không gian Lp, tính tách được, và các kỹ thuật xấp xỉ hàm, hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu chuyên sâu.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Đại số và Topo: Các kết quả về vành ∆U và tính chất đại số của chúng là tài liệu tham khảo quý giá cho các nghiên cứu về cấu trúc đại số và ứng dụng trong lý thuyết môđun.

3. Chuyên gia phát triển thuật toán và mô hình toán học trong kỹ thuật: Các phương pháp xấp xỉ hàm và tính chất không gian Banach có thể ứng dụng trong xử lý tín hiệu, mô phỏng số, và các bài toán tối ưu.

4. Nhà quản lý và hoạch định chính sách giáo dục đại học: Thông tin trong luận văn giúp định hướng phát triển chương trình đào tạo và nghiên cứu khoa học trong lĩnh vực toán học ứng dụng và đại số.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao không gian Lp với 1 ≤ p < ∞ lại tách được?
   Do khả năng xấp xỉ các hàm trong Lp bằng các hàm đơn giản đo được và hàm liên tục có hỗ trợ compact, tạo ra tập con đếm được và trù mật trong không gian, giúp phân biệt các điểm khác nhau bằng các hàm trong tập con này.

2. Vì sao không gian L∞ không tách được?
   L∞ chứa các hàm có chuẩn vô cùng, tồn tại họ các tập mở rời nhau không đếm được, nên không thể có tập con đếm được trù mật, dẫn đến không tách được.

3. Hàm mollifiers là gì và vai trò của chúng trong xấp xỉ hàm?
   Mollifiers là dãy hàm trơn, có hỗ trợ compact, dùng để tích chập với hàm ban đầu nhằm tạo ra dãy hàm trơn xấp xỉ hàm đó trong chuẩn Lp, giúp chứng minh tính xấp xỉ và tính liên tục của hàm.

4. ∆U-vành có ý nghĩa gì trong đại số?
   ∆U-vành là vành có tính chất đặc biệt liên quan đến phần tử khả nghịch và phần tử lũy đẳng, giúp phân loại và nghiên cứu cấu trúc đại số của vành, có ứng dụng trong lý thuyết môđun và đại số tuyến tính.

5. Làm thế nào để kiểm tra tính compact của tập con trong không gian C0(K)?
   Theo định lý Arzelà-Ascoli, tập con compact trong C0(K) phải bị chặn, đóng, và liên tục đều, nghĩa là các hàm trong tập có sự kiểm soát đồng đều về biến thiên trên tập compact K.

Kết luận

• Không gian Lp (1 ≤ p < ∞) là không gian tách được, trong khi L∞ không tách được, ảnh hưởng đến khả năng xấp xỉ và phân tích hàm.
• Mọi hàm trong Lp có thể được xấp xỉ bằng các hàm liên tục có hỗ trợ compact, mở rộng ứng dụng trong giải tích và toán ứng dụng.
• Các vành ∆U và ∆U-vành có các tính chất đại số đặc biệt, cung cấp công cụ phân loại và nghiên cứu cấu trúc đại số phức tạp.
• Kết quả nghiên cứu góp phần làm rõ mối liên hệ giữa topo, giải tích hàm và đại số, tạo nền tảng cho các nghiên cứu tiếp theo.
• Đề xuất phát triển các ứng dụng thực tiễn và đào tạo chuyên sâu trong lĩnh vực không gian hàm và đại số.

Tiếp theo, nghiên cứu có thể mở rộng sang các không gian hàm phi tuyến, các vành không giao hoán phức tạp hơn, và ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Độc giả và nhà nghiên cứu được khuyến khích áp dụng các kết quả này vào công việc chuyên môn và phát triển thêm các hướng nghiên cứu mới.