Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp đại học với đề tài "Tìm hiểu một số phân phối xác suất và áp dụng để chọn phân phối tiên nghiệm trong thống kê Bayes" được thực hiện bởi sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Mai (Mã số sinh viên: DTO170711), dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Thị Thu Hường tại Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm, Trường Đại học An Giang (nghiệm thu tháng 05/2021).

Trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học, các quy luật phân phối xác suất như phân phối nhị thức, phân phối chuẩn, phân phối Beta, phân phối Gamma... đóng vai trò nền tảng để mô hình hóa các tập số liệu thực tế thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau. Khác với trường phái thống kê cổ điển (frequentist) vốn xem tham số cần ước lượng là một hằng số cố định chưa biết, trường phái thống kê Bayes (Bayesian statistics) tiếp cận tham số cần ước lượng dưới dạng một biến ngẫu nhiên. Phân phối xác suất của tham số này phụ thuộc đồng thời vào thông tin tiên nghiệm (prior distribution) và hàm hợp lý (likelihood function) rút ra từ dữ liệu quan sát nhằm suy diễn ra phân phối hậu nghiệm (posterior distribution). Do đó, việc hiểu rõ các phân phối xác suất thông dụng và kỹ thuật xác định phân phối tiên nghiệm là bước quyết định để thiết lập hàm phân phối hậu nghiệm một cách chính xác.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của khóa luận được xác định cụ thể như sau:

  1. Trình bày và hệ thống hóa lý thuyết về biến ngẫu nhiên cùng các số đặc trưng cơ bản.
  2. Khảo sát chi tiết định nghĩa, hàm mật độ, hàm khối xác suất, kỳ vọng và phương sai của một số phân phối xác suất thông dụng; chứng minh toán học tính chuẩn hóa của các hàm mật độ xác suất và các số đặc trưng liên quan.
  3. Trình bày nguyên lý cơ bản của thống kê Bayes, phân loại các dạng phân phối tiên nghiệm và phương pháp lựa chọn phân phối tiên nghiệm phù hợp.
  4. Áp dụng các phân phối xác suất tiêu chuẩn vào hai bài toán ước lượng cụ thể: ước lượng tỉ lệ tổng thể và ước lượng trung bình tổng thể.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết về các phân phối xác suất thông dụng và phương pháp xác định phân phối tiên nghiệm cho việc ước lượng tham số trong thống kê Bayes.
  • Phạm vi nghiên cứu: Tập trung vào các phân phối xác suất rời rạc và liên tục một chiều; áp dụng suy diễn Bayes cho hai bài toán cơ bản là ước lượng tỉ lệ tổng thể ($p$) và ước lượng trung bình tổng thể ($\mu$) trong điều kiện đã biết trước phương sai ($\sigma^2$).

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khung lý thuyết của khóa luận dựa trên nền tảng giải tích xác suất và suy diễn thống kê Bayes cổ điển:

  • Lý thuyết không gian xác suất và biến ngẫu nhiên: Định nghĩa biến ngẫu nhiên trên không gian mẫu $\Omega$, phân loại biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, hàm phân phối tích lũy $F(x) = P(X \le x)$, hàm mật độ xác suất $f(x) = F'(x)$, kỳ vọng toán $E(X)$, phương sai $\text{Var}(X) = D(X) = E(X^2) - (EX)^2$ và độ lệch chuẩn $\sigma_X = \sqrt{D(X)}$.
  • Lý thuyết các hàm đặc biệt trong giải tích: Tích phân hàm Gamma $\Gamma(t) = \int_0^{+\infty} e^{-y} y^{t-1} dy$ với tính chất $\Gamma(t+1) = t\Gamma(t)$, $\Gamma(n) = (n-1)!$; tích phân hàm Beta $B(a, b) = \int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} dx$; kỹ thuật chuyển đổi biến sang tọa độ cực để tính tích phân toàn phần của hàm mật độ phân phối chuẩn.
  • Định lý Bayes cho biến ngẫu nhiên liên tục: Công thức tính phân phối hậu nghiệm: $$p(\theta | y) = \frac{p(y | \theta) p(\theta)}{p(y)} \propto p(y | \theta) p(\theta)$$ Trong đó $\theta$ là tham số cần ước lượng, $y$ là vector dữ liệu quan sát, $p(y|\theta)$ là hàm likelihood, $p(\theta)$ là phân phối tiên nghiệm, và $p(\theta|y)$ là phân phối hậu nghiệm.

Phương pháp nghiên cứu được tác giả sử dụng bao gồm:

  • Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết: Thu thập, đọc hiểu, chọn lọc và hệ thống hóa các định nghĩa, định lý từ các tài liệu chuyên ngành xác suất thống kê.
  • Phương pháp suy diễn toán học và chứng minh giải tích: Thực hiện các bước biến đổi giải tích thuần túy, tính tích phân từng phần, tích phân suy rộng và đổi biến nhiều chiều để kiểm tra điều kiện hàm mật độ xác suất cũng như tính toán kỳ vọng, phương sai của từng phân phối.
  • Phương pháp mô hình hóa và so sánh: Phân tích đối chiếu giữa phân phối tiên nghiệm có thông tin và không có thông tin, giữa phân phối tiên nghiệm liên hợp và không liên hợp thông qua các kịch bản số liệu giả định.

Nguồn tài liệu trích dẫn chính của công trình:

  • Giáo trình Xác suất thống kê A (Diệp Hoàng Ân, 2016, ĐH An Giang).
  • Giáo trình Xác suất thống kê kinh tế (Dương Phú Điền, 2020, ĐH An Giang).
  • Giáo trình quốc tế A First Course in Probability (Sheldon Ross, University of California, Berkeley).
  • Giáo trình Probability and Statistical Inference (Robert V. Hogg).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Mở đầu

Chương này trình bày tổng quan về lý do chọn đề tài, xác định đối tượng nghiên cứu là lý thuyết phân phối xác suất và cách chọn phân phối tiên nghiệm trong thống kê Bayes. Tác giả giới hạn phạm vi nghiên cứu vào ước lượng tỉ lệ và ước lượng trung bình tổng thể, nêu rõ mục tiêu nghiên cứu, các phương pháp nghiên cứu cơ bản cùng bố cục 5 chương của khóa luận.

Chương 2: Biến ngẫu nhiên

Nội dung chương 2 thiết lập các khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên và các công cụ giải tích liên quan:

  • Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên $X: \Omega \to \mathbb{R}$ được phân loại thành biến ngẫu nhiên rời rạc (tập giá trị hữu hạn hoặc đếm được) và biến ngẫu nhiên liên tục (tập giá trị vô hạn không đếm được).
  • Hàm phân phối và hàm mật độ: Khảo sát hàm phân phối tích lũy $F(x)$ thỏa mãn $0 \le F(x) \le 1$; hàm mật độ xác suất rời rạc $f(x) = P(X=x)$ và hàm mật độ xác suất liên tục $f(x)$ thỏa mãn $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)dx$.
  • Các số đặc trưng: Trình bày công thức tính kỳ vọng $E(X)$ cho cả hai trường hợp rời rạc ($\sum x_i p_i$) và liên tục ($\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)dx$), cùng các tính chất tuyến tính $E(aX+b) = aEX + b$, $E(X+Y) = EX + EY$. Trình bày định nghĩa phương sai $D(X) = E(X - EX)^2 = E(X^2) - (EX)^2$, tính chất $D(X+Y) = DX + DY$ khi $X, Y$ độc lập, và định nghĩa độ lệch chuẩn $\sigma_X = \sqrt{DX}$.

Chương 3: Một số phân phối xác suất

Chương 3 là phần trọng tâm về giải tích xác suất, trình bày chi tiết định nghĩa hàm mật độ/hàm khối xác suất, chứng minh điều kiện chuẩn hóa $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$, và tính toán kỳ vọng, phương sai cho 7 phân phối xác suất:

Tên phân phối Ký hiệu / Tham số Hàm mật độ / Khối xác suất $f(x)$ Kỳ vọng $E(X)$ Phương sai $\text{Var}(X)$
Nhị thức $B(n, p)$; $n \in \mathbb{N}^*, 0 < p < 1$ $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, $k \in {0, 1, ..., n}$ $np$ $np(1-p)$
Chuẩn $N(\mu, \sigma^2)$; $\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$ $f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$, $-\infty < x < +\infty$ $\mu$ $\sigma^2$
Chuẩn tắc $N(0, 1)$ $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$, $-\infty < x < +\infty$ $0$ $1$
Mũ $\text{Exp}(\lambda)$; $\lambda > 0$ $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ khi $x \ge 0$; $0$ khi $x < 0$ $\frac{1}{\lambda}$ $\frac{1}{\lambda^2}$
Gamma $\text{Gamma}(t, \lambda)$; $t > 0, \lambda > 0$ $f(x) = \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{t-1}}{\Gamma(t)}$ khi $x > 0$; $0$ khi $x \le 0$ $\frac{t}{\lambda}$ $\frac{t}{\lambda^2}$
Beta $\text{Beta}(a, b)$; $a > 0, b > 0$ $f(x) = \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a, b)}$ khi $0 < x < 1$; $0$ khi khác $\frac{a}{a+b}$ $\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$
Chi bình phương $\chi^2(n)$; $n \in \mathbb{N}^*$ Trường hợp riêng của $\text{Gamma}(n/2, 1/2)$ $n$ $2n$
Student $t(n)$; $n \in \mathbb{N}^*$ $f(x) = \frac{\Gamma((n+1)/2)}{\sqrt{n\pi}\Gamma(n/2)}\left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}$, $x \in \mathbb{R}$ $0$ (với $n \ge 2$) $\frac{n}{n-2}$ (với $n \ge 3$)

Chương này cũng phân tích trường hợp riêng của phân phối Student với $n=1$ bậc tự do chính là phân phối Cauchy có hàm mật độ $f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$.

Chương 4: Thống kê Bayes và cách tìm phân phối tiên nghiệm

Chương 4 kết nối lý thuyết phân phối xác suất vào suy diễn thống kê Bayes:

  • Bản chất thống kê Bayes: Phân tích sự khác biệt cơ bản giữa quan điểm cổ điển và Bayes; mô hình hóa tham số $\theta$ như một biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất.

  • Phân loại 4 dạng phân phối tiên nghiệm:

    1. Phân phối tiên nghiệm có thông tin (Informative prior): Dựa trên kinh nghiệm chuyên gia hoặc nghiên cứu lịch sử để xác định trung bình và độ phân tán của tham số, chọn phân phối tiêu chuẩn mô tả sát thông tin đã có.
    2. Phân phối tiên nghiệm không có thông tin (Non-informative prior): Sử dụng khi không có hiểu biết trước về tham số; thường chọn phân phối đều (Uniform), phân phối $\text{Beta}(1, 1)$, hoặc phân phối chuẩn/Cauchy có phương sai rất lớn. Khi đó, ước lượng Bayes hoàn toàn phụ thuộc vào hàm likelihood và cho kết quả tương đương thống kê cổ điển.
    3. Phân phối tiên nghiệm liên hợp (Conjugate prior): Chọn phân phối tiên nghiệm sao cho phân phối hậu nghiệm thuộc cùng họ phân phối xác suất với phân phối tiên nghiệm, giúp biểu thức hậu nghiệm có dạng giải tích đóng tiêu chuẩn.
    4. Phân phối tiên nghiệm không liên hợp (Non-conjugate prior): Chọn phân phối tùy ý không khớp dạng với likelihood; phân phối hậu nghiệm không có dạng chuẩn và bắt buộc phải dùng các thuật toán lấy mẫu số phức tạp (như Metropolis-Hastings, Gibbs sampling). Khóa luận không đi sâu vào trường hợp này.

  • Áp dụng 1: Ước lượng tỉ lệ tổng thể ($p$):

    • Hàm likelihood xuất phát từ quá trình Bernoulli/nhị thức có dạng hàm nhân bậc mũ của $p$ và $(1-p)$.
    • Phân phối tiên nghiệm liên hợp được chọn là phân phối $\text{Beta}(a, b)$. Khi đó, phân phối hậu nghiệm có dạng: $$p | y \propto p^y (1-p)^{n-y} \cdot p^{a-1} (1-p)^{b-1} = p^{(y+a)-1} (1-p)^{(n-y+b)-1} \sim \text{Beta}(y+a, n-y+b)$$
    • Phân tích ví dụ cụ thể với cỡ mẫu $n=60$, số lần thành công quan sát được $y=39$:
      • Nếu chọn prior không thông tin $\text{Beta}(1, 1)$, hậu nghiệm là $\text{Beta}(40, 22)$, phụ thuộc hoàn toàn vào likelihood.
      • Nếu chọn prior có thông tin với kỳ vọng $p_0 = 0.75$, phương sai lớn: chọn $\text{Beta}(1, 1/3)$, thu được hậu nghiệm $\text{Beta}(40, 64/3)$.
      • Nếu chọn prior có thông tin với kỳ vọng $p_0 = 0.75$, phương sai nhỏ: chọn $\text{Beta}(90, 30)$, thu được hậu nghiệm $\text{Beta}(129, 51)$. Khoảng tin cậy 95% lúc này là $(0.650; 0.780)$, hẹp hơn và có độ phân tán nhỏ hơn so với trường hợp không có thông tin.

  • Áp dụng 2: Ước lượng trung bình tổng thể ($\mu$) khi biết phương sai ($\sigma^2$):

    • Dữ liệu mẫu cỡ $n$ độc lập từ $N(\mu, \sigma^2)$, hàm likelihood tương đương phân phối chuẩn có trung bình là trung bình mẫu $\bar{y}$ và phương sai $\sigma^2/n$: $$P(Y | \mu) \propto \exp\left(-\frac{n}{2\sigma^2}(\mu - \bar{y})^2\right)$$
    • Chọn phân phối tiên nghiệm liên hợp là phân phối chuẩn $\mu \sim N(\mu_0, \sigma_0^2)$.
    • Biến đổi giải tích tổng bình phương ở số mũ đưa đến phân phối hậu nghiệm dạng chuẩn: $$\mu | Y \sim N\left(\mu_1 = \frac{\frac{n\bar{y}}{\sigma^2} + \frac{\mu_0}{\sigma_0^2}}{\frac{n}{\sigma^2} + \frac{1}{\sigma_0^2}}, \sigma_1^2 = \frac{1}{\frac{n}{\sigma^2} + \frac{1}{\sigma_0^2}}\right)$$
    • Khi không có thông tin tiên nghiệm ($\sigma_0^2 \to \infty$), phân phối hậu nghiệm suy biến về $N(\bar{y}, \sigma^2/n)$, hoàn toàn trùng khớp với phân phối của hàm likelihood.
    • Phân tích ví dụ nhà máy sản xuất ống nước: phương sai thiết lập $\sigma^2 = 1\text{ mm}^2$, mẫu $n=30$, trung bình mẫu $\bar{y} = 34\text{ mm}$. Khi không có thông tin, hậu nghiệm là $N(34, 1/30)$. Khi kết hợp thông tin lịch sử $\mu_0 = 34.5\text{ mm}$ với phân phối chuẩn tiên nghiệm, hậu nghiệm $\mu_1$ thu hẹp phương sai, giúp ước lượng trung bình chắc chắn và có độ chính xác cao hơn.

Chương 5: Kết luận

Chương tổng kết lại toàn bộ kết quả nghiên cứu của khóa luận, tái khẳng định vai trò của việc hiểu rõ các phân phối xác suất tiêu chuẩn để thiết lập phân phối tiên nghiệm trong thống kê Bayes, nhấn mạnh việc sử dụng phân phối Beta cho tỉ lệ tổng thể và phân phối chuẩn cho trung bình tổng thể.

Kết quả và đóng góp

Khóa luận đã đạt được các kết quả cụ thể:

  1. Hệ thống hóa toán học các phân phối xác suất: Trình bày đầy đủ công thức giải tích, kiểm tra điều kiện hàm mật độ và chứng minh tường minh kỳ vọng, phương sai của 7 phân phối xác suất quan trọng (Nhị thức, Chuẩn, Chuẩn tắc, Mũ, Gamma, Beta, Chi bình phương, Student).
  2. Làm rõ cơ chế cập nhật xác suất Bayes: Thiết lập biểu thức giải tích của phân phối hậu nghiệm cho hai bài toán ước lượng tham số cơ bản thông qua kỹ thuật chọn tiên nghiệm liên hợp:
    • Ước lượng tỉ lệ tổng thể: Mô hình Beta-Binomial dẫn đến phân phối hậu nghiệm $\text{Beta}(y+a, n-y+b)$.
    • Ước lượng trung bình tổng thể: Mô hình Normal-Normal dẫn đến phân phối hậu nghiệm chuẩn với trung bình là trung bình có trọng số giữa trung bình mẫu $\bar{y}$ và trung bình tiên nghiệm $\mu_0$.
  3. Phân tích định lượng sự ảnh hưởng của tiên nghiệm: Thông qua các ví dụ số liệu giả định ($n=60, y=39$ cho tỉ lệ; $n=30, \sigma^2=1, \bar{y}=34$ cho trung bình), tác giả chỉ ra rằng khi sử dụng tiên nghiệm có thông tin và phương sai nhỏ, phân phối hậu nghiệm có phương sai nhỏ hơn cả likelihood và prior, thu hẹp khoảng tin cậy 95% (từ đó tăng độ chính xác ước lượng). Ngược lại, khi cho phương sai tiên nghiệm tiến ra vô cùng ($\sigma_0^2 \to \infty$), kết quả ước lượng Bayes hoàn toàn đồng nhất với ước lượng cổ điển dựa trên hàm likelihood.

Về mặt đóng góp học thuật, khóa luận xây dựng tài liệu tham khảo có tính hệ thống, kết nối mạch lạc giữa phần giải tích xác suất thuần túy và phương pháp suy diễn thống kê hiện đại (Bayes), phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của sinh viên ngành Toán và Sư phạm Toán.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Khóa luận có một số giới hạn nghiên cứu được tác giả nêu rõ:

  • Phạm vi bài toán ước lượng: Mới chỉ dừng lại ở hai bài toán suy diễn đơn tham số (tỉ lệ $p$ và trung bình $\mu$ khi biết trước phương sai $\sigma^2$). Chưa mở rộng sang bài toán ước lượng đồng thời cả trung bình $\mu$ và phương sai $\sigma^2$ chưa biết, hoặc các bài toán hồi quy đa biến.
  • Phương pháp suy diễn: Khóa luận chỉ tập trung vào phân phối tiên nghiệm liên hợp (conjugate priors) để có công thức nghiệm đóng giải tích. Đối với phân phối tiên nghiệm không liên hợp (non-conjugate priors), do hàm hậu nghiệm không có dạng tiêu chuẩn, tác giả chưa đi sâu vào việc cài đặt các thuật toán tính toán gần đúng hay thuật toán lấy mẫu số ngẫu nhiên MCMC (như Metropolis-Hastings hoặc Gibbs sampling).

Hướng phát triển tiếp theo của đề tài:

  • Mở rộng khảo sát phương pháp chọn phân phối tiên nghiệm cho các mô hình xác suất phức tạp hơn (ước lượng nhiều tham số, ước lượng trong điều kiện thiếu thông tin về phương sai).
  • Nghiên cứu và áp dụng các thuật toán số (MCMC, Gibbs sampling) để xử lý các phân phối tiên nghiệm không liên hợp trên các tập dữ liệu thực nghiệm quy mô lớn.

Giá trị tham khảo

Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích cho:

  • Sinh viên ngành Toán, Sư phạm Toán, Thống kê: Cung cấp tài liệu tra cứu các bước chứng minh toán học chi tiết về kỳ vọng, phương sai và tính chất của các phân phối xác suất thông dụng (đặc biệt là kỹ thuật tính tích phân Gamma, Beta, tích phân Gauss).
  • Người học và nghiên cứu bước đầu tiếp cận Thống kê Bayes: Cung cấp tài liệu tổng quan dễ hiểu về cách phân loại phân phối tiên nghiệm (có thông tin/không thông tin, liên hợp/không liên hợp) và quy trình từng bước kết hợp hàm likelihood với prior để suy diễn ra hàm posterior.
  • Nội dung đáng tham khảo nhất: Phần chứng minh giải tích chi tiết ở Chương 3 và các bước suy diễn công thức phân phối hậu nghiệm Normal-Normal và Beta-Binomial kèm ví dụ minh họa ở Chương 4.

Câu hỏi thường gặp

1. Trong thống kê Bayes, tham số cần ước lượng khác biệt như thế nào so với thống kê cổ điển?
Trong thống kê cổ điển, tham số chưa biết được xem là một hằng số cố định không đổi qua các phép thử, việc ước lượng chỉ đưa ra một giá trị điểm hoặc một khoảng xấp xỉ. Trong thống kê Bayes, tham số chưa biết được xem như một biến ngẫu nhiên và có phân phối xác suất riêng (phân phối hậu nghiệm), được cập nhật từ phân phối tiên nghiệm và hàm likelihood.

2. Tại sao phân phối Beta lại được chọn làm phân phối tiên nghiệm cho ước lượng tỉ lệ tổng thể $p$?
Bởi vì trong bài toán tỉ lệ, miền giá trị của $p$ nằm trong khoảng $[0, 1]$ và hàm likelihood xuất phát từ phân phối nhị thức có dạng $p^y (1-p)^{n-y}$. Phân phối $\text{Beta}(a, b)$ có miền xác định $(0, 1)$ và hàm mật độ tỷ lệ với $x^{a-1}(1-x)^{b-1}$. Khi nhân hai hàm này với nhau, phân phối hậu nghiệm tiếp tục có dạng phân phối Beta với tham số $(y+a, n-y+b)$, tạo thành một cặp phân phối liên hợp giúp việc suy diễn giải tích thuận lợi.

3. Khi nào ước lượng thống kê Bayes cho kết quả trùng khớp với thống kê cổ điển?
Ước lượng Bayes sẽ cho kết quả giống với thống kê cổ điển khi sử dụng phân phối tiên nghiệm không có thông tin (chẳng hạn chọn phân phối phẳng Uniform hoặc phân phối chuẩn có phương sai vô hạn $\sigma_0^2 \to \infty$). Khi đó, hàm phân phối hậu nghiệm hoàn toàn phụ thuộc vào hàm likelihood của dữ liệu quan sát.

4. Khi tính kỳ vọng và phương sai của phân phối Student $t(n)$, cần điều kiện gì về số bậc tự do $n$?
Theo chứng minh ở Định lý 3.8 trong khóa luận, kỳ vọng $E(X) = 0$ được xác định khi số bậc tự do $n \ge 2$, và phương sai $\text{Var}(X) = \frac{n}{n-2}$ chỉ xác định khi số bậc tự do $n \ge 3$.

5. Vì sao khóa luận không mở rộng phân tích các ví dụ về phân phối tiên nghiệm không liên hợp?
Khi chọn phân phối tiên nghiệm không liên hợp, phân phối hậu nghiệm không có dạng phân phối xác suất tiêu chuẩn đã biết, do đó không thể tìm được biểu thức nghiệm đóng giải tích đơn giản mà phải áp dụng các thuật toán xấp xỉ số phức tạp (như Metropolis-Hastings hay Gibbs sampling), điều này vượt quá khuôn khổ lý thuyết cơ bản của khóa luận.

Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp của tác giả Nguyễn Thị Ngọc Mai đã hoàn thành việc hệ thống hóa cơ sở lý thuyết về biến ngẫu nhiên và các phân phối xác suất thông dụng cùng các chứng minh giải tích chặt chẽ. Công trình đã làm rõ nguyên lý suy diễn của thống kê Bayes, phân tích chi tiết bốn nhóm phân phối tiên nghiệm và giải quyết trọn vẹn hai bài toán ước lượng tham số kinh điển (tỉ lệ tổng thể qua phân phối Beta và trung bình tổng thể qua phân phối chuẩn). Kết quả nghiên cứu cung cấp tài liệu tham khảo có giá trị học thuật cao, phục vụ hiệu quả cho việc giảng dạy và học tập chuyên ngành Toán - Thống kê.