CHƯƠNG 3: MA TRẬN 1. Ma trận, vector, các phép toán a. Ma trận: Một ma trận A là 1 mảng chữ nhật gồm các phần tử hoặc hàm được đặt trong dấu ngoặc Khi m=n thì được gọi là ma trận vuông a11, a22,… amn là các phần tử đường chéo chính Ma trận 0 là ma trận có tất cả các phần tử đều =0 b. Vector: Một vector là 1 ma trận có 1 hàng hoặc 1 cột Vector hàng Vector cột c.
Các phép tính Định nghĩa: 2 ma trận bằng nhau khi nó có cùng kích thước và các phần tử tương ứng bằng nhau Ví dụ: Định nghĩa: Cộng 2 ma trận. 2 ma trận A và B cùng kích thước, A+B có được bằng cách cộng từng phần tử tương ứng của 2 ma trận Ví dụ: Định nghĩa: Nhân vô hướng (nhân ma trận với 1 số c) Ma trận A=[ajk] cấp mxn, một số c vô hướng. Phép nhân c với ma trận A được viết cA=[cajk], c nhân với mỗi phần tử của ma trận A Một số tính chất Ứng dụng a) Ma trận nodal trong mạch điện, mạch điện có thể được mô tả bởi 1 ma trận A=[ajk] Nút gốc 0V 𝐵𝑟𝑎𝑛𝑐ℎ 1 2 3 4 5 𝑛𝑜𝑑𝑒1 −1 1 0 −1 −1 𝑛𝑜𝑑𝑒2 1 −1 0 0 0 𝑛𝑜𝑑𝑒3 0 0 1 0 1 b) Ma trận mesh trong mạch điện 2. Nhân ma trận Định nghĩa: Cho ma trận A=[ajk] cấp mxn, B=[bjk] cấp rxp.B khi n=r, ma trận C=[cjk] có cấp mxp và được tính: Ví dụ: Ví dụ: Một vài tính chất Ma trận chuyển vị (Transposition of Matrices ) Định nghĩa: Chuyển vị của ma trận A =[ajk] cấp mxn là ma trận AT=[akj] cấp nxm, chuyển cột ma trận A thành hàng, chuyển hàng ma trận A thành cột.
Ví dụ: Một vài tính chất của ma trận chuyển vị Ma trận đặc biệt ❖Symmetric matric ❖Skew-symmetric matric Ví dụ ❖Ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới: Ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới) Ví dụ: ❖Ma trận chéo (Diagonal Matrices): Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo Ví dụ: ❖Ma trận đơn vị (unit matrix(or identity matrix)): Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In Ví dụ: Tính chất: ❖scalar matrix: Là ma trận có được khi nhân một vô hướng c với ma trận đơn vị I Ví dụ: Tính chất: Bài tập áp dụng 1. Hệ phương trình tuyến tính. Biến đổi Gauss 3. Hệ thống tuyến tính.
Ma trận hệ số. Ma trận tăng cường ✓Một hệ pt tuyến tính m phương trình, n ẩn x1, x2,…,xn ✓a11,…,amn được gọi là hệ số của hệ pt ✓b1,…,bm là các hệ số. ✓Khi b1=…=bm=0 thì hệ pt được gọi là hệ thuần nhất ✓Nghiệm của hệ pt là tập x1,…,xn thỏa mãn hệ pt ✓Một vector nghiệm hệ pt là một vector x có các thành phần là nghiệm của hệ ✓Nếu hệ pt là thuần nhất thì hệ có ít nhất 1 nghiệm là nghiệm tầm thường (trivial solution) x1=…=xn=0 ✓Hệ phương trình thể hiện dưới dạng ma trận: Với ma trận hệ số A=[ajk] cấp mxn ✓Ma trận tăng cường: ❑ Thể hiện hình học hệ 2 phương trình 2 ẩn ❑ Thể hiện hình học hệ 3 phương trình 3 ẩn 3. Biến đổi gauss: Biến đổi về dạng ma trận tam giác trên, giải tìm nghiệm từ pt dưới cùng rồi thế ngược lên tìm các nghiệm còn lại a.
Các phép biến đổi trên hàng của ma trận ✓Hoán vị 2 dòng cho nhau ✓Nhân 1 hàng với hằng số c khác 0 ✓Thay một hàng bằng tổng hàng đó với c lần hàng khác b. Các phép biến đổi trên phương trình ✓Hoán vị 2 phương trình cho nhau ✓Nhân một phương trình với 1 hằng số c khác 0 ✓Thay một phương trình bằng tổng pt đó với c lần phương trình khác Định lý 1: Hệ pt tuyến tính ban đầu và sau khi sử dụng phép biến đổi có nghiệm như nhau Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình, tìm dòng điện trên các nhánh sử dụng biến đổi Gauss Trường hợp nghiệm duy nhất Ví dụ 2: x4=t2 x3=t1 x2=1-x3+4x4 = 1-t1+4t2 x1=2-x4=2-t2 Trường hợp vô số nghiệm Ví dụ 3: Trường hợp vô nghiệm 3. Row Echelon Form ✓Phần tử đầu tiên (cơ sở) phải khác 0, tính từ trái qua ✓Một ma trận chữ nhật A có dạng row echelon form nếu: • Tất cả các hàng khác 0 nằm phía trên hàng có các phần tử đều bằng 0 • Phần tử bên dưới của phần tử ban đầu (cơ sở) đều = 0 • Trong các hàng khác 0 nằm liền kề nhau, hàng i và hàng i+1, phần tử cơ sở hàng i nằm bên trái của phần tử đầu hàng i+1. Hệ ban đầu m phương trình, n ẩn có ma trận tăng cường là [A|b].
Ta biến đổi trên hàng thành [R|f]. Sau khi biến đổi Gauss thì ma trận tăng cường có dạng ✓Tất cả phần tử trong tam giác và hình chữ nhật đều =0 ✓Số hàng khác 0 là r, và r (rank) được gọi là hạng của ma trận R và ma trận A ❖Dựa vào r ta xác định nghiệm hệ phương trình ✓Hệ vô nghiệm: r<m (R có ít nhất 1 hàng=0) và ít nhất một trong các số fr+1, fr+2,…fm khác 0 ✓Hệ có nghiệm duy nhất: r=n ✓Hệ có vô số nghiệm: r<n Bài tập 1: Giải hệ tuyến tính được cho rõ ràng hoặc dưới dạng ma trận tăng cường 1. Bài tập 2: Sử dụng định luật Kirchhoff để tìm dòng trên các nhánh b a c a Bài tập 3: Lưu lượng giao thông Phương pháp phân tích mạch điện có ứng dụng cho các lĩnh vực khác. Chẳng hạn, áp dụng sự tương tự của định luật Kirchhoff 1 (dòng điện tại nút), tìm lưu lượng giao thông (số ô tô/1 giờ) trong mạng lưới đường một chiều (theo các hướng được chỉ ra bởi các mũi tên) được cho như hình.
Mô hình giao thông này có nghiệm duy nhất hay không? Từ Kirchhoff 1 ta có: A Traffic flow problem http://www.ca/how-to-navigate-a-traffic-circle-roundabout/210.html • A round-about connecting 5 roads • The traffic within the circle is counter-clockwise. • Question: model the traffic in each section of the round-about kshum ENGG2013 42 Modeling a round-about 100 150 200 400 x1 100 x5 300 x2 x4 The unit is number 50 x3 of vehicles per hour. 50 150 100 Can we find x1, x2, x3, x4 and x5? kshum ENGG2013 43 In-flow = out-flow 100 150 200 400 x1 100 x5 x2 x4 300 50 x3 50 150 100 kshum ENGG2013 44 We need to solve … x1 x2 x3 x4 x5 augmented matrix kshum ENGG2013 45 Row operations (5) (5)+(1) (5) (5)+(2) (5) (5)+(3) (5) (5)+(4) Equation 5 is redundant kshum ENGG2013 46 Choose a free variable • Chọn 1 trong 5 biến làm biến tự do. • Giả sử cho x5 làm biến tự do.
Tất cả giá trị ≥0. x4 = x5 – 100 0 x3 = (x5 – 100) + 50 = x5 – 50 0 x2 = (x5 – 50) – 100 = x5 – 150 0 x1 = (x5 – 150) + 50 = x5 – 100 0 kshum ENGG2013 47 General solution Solution: f ≥150 This is called the general solution because all possible solutions can be put in this form kshum ENGG2013 48 Bài toán về dinh dưỡng • Tìm sự kết hợp các thực phẩm A, B, C, D để có 1 chế độ dinh dưỡng phù hợp Food A Food B Food C Food D Requirement Protein 9 8 3 3 5 Carbohydrate 15 11 1 4 5 Vitamin A 0.01 4 9 Xác định khối lượng (g) bắp rang, đậu phộng, nho khô kết hợp lại để cung cấp được 500Calories, 88 Carbohydrates và 15 chất béo? Thức ăn nhẹ Calories/g Carbohydrates/g Fat/g Bắp rang 3.78 0 p: Khối lượng bắp rang n: Khối lượng đậu phộng r: Khối lượng nho khô Giải phương trình tìm p,n,r