Lý Thuyết và Bài Tập Hình Học Không Gian

Hình học không gian là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, nghiên cứu về các hình dạng và cấu trúc trong không… 64 trang · Trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến.

• Tác giả: Nguyễn Tất Đỉnh
• Trường học: Trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến
• Chuyên ngành: Hình học
• Đề tài: Khám Phá Lý Thuyết và Bài Tập Hình Học Không Gian
• Loại tài liệu: Đề cương
• Năm xuất bản: 2017-2018

Mục lục chi tiết

• 1. CÔNG THỨC LỚP 9-10 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• 2. QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VUÔNG GÓC
• 2.1. QUAN HỆ SONG SONG
• 2.1.1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
• 2.1.2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
• 2.2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
• 2.2.1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
• 2.2.2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
• 3. KHOẢNG CÁCH
• 3.1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng
• 3.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
• 3.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
• 3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• 4. Diện tích hình chiếu
• 5. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
• 5.1. CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
• 5.2. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
• 5.3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
• 5.4. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ VSABC SA SB SC DIỆN
• 5.5. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP C' h
• 5.6. KHỐI NÓN
• 5.7. KHỐI TRỤ
• 5.8. KHỐI CẦU
• 6. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
• 6.1. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
• 6.1.1. Dạng 1: Hình chóp có một cạnh bên h vuông góc với mặt đáy
• 6.1.2. Dạng 2: Biết hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên mặt đáy
• 6.1.3. Dạng 3: Biết một mặt bên vuông góc với mặt đáy
• 6.2. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
• 6.2.1. Dạng 1: Hình lăng trụ có một cạnh bên d vuông góc với mặt đáy
• 6.2.2. Dạng 2: Biết hình chiếu của một đỉnh xuống mặt đáy
• 7. DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH HÌNH NÓN

Tóm tắt

I. Khám Phá Lý Thuyết Hình Học Không Gian Đầy Hấp Dẫn

Hình học không gian là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, nghiên cứu về các hình dạng và cấu trúc trong không gian ba chiều. Các khái niệm cơ bản như điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các hình khối 3D như hình cầu, hình trụ, và hình nón đều được khám phá trong lĩnh vực này. Việc hiểu rõ các lý thuyết hình học không gian không chỉ giúp giải quyết các bài toán phức tạp mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật và nghệ thuật.

1.1. Các Khái Niệm Cơ Bản Trong Hình Học Không Gian

Hình học không gian bao gồm các khái niệm như điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các hình khối. Mỗi khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các lý thuyết hình học phức tạp hơn.

1.2. Tầm Quan Trọng Của Hình Học Không Gian Trong Cuộc Sống

Hình học không gian không chỉ là lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, thiết kế đồ họa và kỹ thuật. Việc nắm vững lý thuyết này giúp cải thiện khả năng tư duy và giải quyết vấn đề.

II. Những Thách Thức Trong Việc Nắm Bắt Hình Học Không Gian

Mặc dù hình học không gian mang lại nhiều lợi ích, nhưng việc nắm bắt các khái niệm và lý thuyết có thể gặp nhiều thách thức. Các vấn đề như hình dung các hình khối trong không gian ba chiều, hiểu các mối quan hệ giữa chúng và áp dụng các công thức tính toán có thể gây khó khăn cho nhiều người học.

2.1. Khó Khăn Trong Việc Hình Dung Hình Khối 3D

Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc hình dung các hình khối 3D từ các hình chiếu 2D. Điều này có thể dẫn đến sự nhầm lẫn trong việc áp dụng các công thức và lý thuyết.

2.2. Ứng Dụng Các Công Thức Tính Toán Trong Hình Học Không Gian

Việc áp dụng các công thức tính toán cho các hình khối như hình cầu, hình trụ và hình nón có thể gây khó khăn. Học sinh cần phải nắm vững các công thức và cách sử dụng chúng trong các bài toán thực tế.

III. Phương Pháp Giải Quyết Bài Tập Hình Học Không Gian Hiệu Quả

Để giải quyết các bài tập hình học không gian, cần có những phương pháp học tập hiệu quả. Việc sử dụng hình ảnh, mô hình 3D và phần mềm hỗ trợ có thể giúp người học dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về các khái niệm.

3.1. Sử Dụng Mô Hình 3D Để Hỗ Trợ Học Tập

Mô hình 3D giúp người học hình dung rõ hơn về các hình khối và mối quan hệ giữa chúng. Việc sử dụng mô hình vật lý hoặc phần mềm mô phỏng có thể làm tăng khả năng hiểu biết.

3.2. Thực Hành Thông Qua Các Bài Tập Thực Tế

Giải quyết các bài tập thực tế giúp củng cố kiến thức và kỹ năng. Việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn sẽ giúp người học ghi nhớ lâu hơn.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Hình Học Không Gian Trong Cuộc Sống

Hình học không gian có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống hàng ngày. Từ thiết kế kiến trúc đến nghệ thuật, hình học không gian đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra các sản phẩm và công trình đẹp mắt.

4.1. Hình Học Không Gian Trong Kiến Trúc

Kiến trúc sư sử dụng hình học không gian để thiết kế các công trình. Việc hiểu rõ các hình khối và mối quan hệ giữa chúng giúp tạo ra những công trình vững chắc và thẩm mỹ.

4.2. Ứng Dụng Trong Nghệ Thuật

Nghệ sĩ sử dụng hình học không gian để tạo ra các tác phẩm nghệ thuật độc đáo. Việc nắm vững lý thuyết hình học giúp họ sáng tạo ra những tác phẩm ấn tượng.

V. Kết Luận Về Tương Lai Của Hình Học Không Gian

Hình học không gian sẽ tiếp tục phát triển và có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Việc nghiên cứu và ứng dụng hình học không gian sẽ mở ra nhiều cơ hội mới cho các thế hệ sau.

5.1. Tương Lai Của Hình Học Không Gian Trong Giáo Dục

Giáo dục hình học không gian sẽ ngày càng được chú trọng hơn. Việc áp dụng công nghệ vào giảng dạy sẽ giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn với các khái niệm phức tạp.

5.2. Hình Học Không Gian Trong Khoa Học Và Công Nghệ

Hình học không gian sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ. Việc nghiên cứu và phát triển các ứng dụng mới sẽ mang lại nhiều lợi ích cho xã hội.

Nội dung chính

{
  "document_type": "textbook",
  "confidence": 0.95,
  "reasoning": "Tiêu đề chứa cụm từ 'Lý Thuyết và Bài Tập' cùng nội dung là tài liệu tổng hợp công thức, định lý và kiến thức hình học (quan hệ song song, vuông góc, khoảng cách, góc) được biên soạn phục vụ giảng dạy và học tập bậc THCS - THPT (có thông tin 'CÔNG THỨC LỚP 9-10', 'BIÊN SOẠN... TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN'), phù hợp với nhóm giáo trình/bài giảng."
}

TỔNG QUAN HỌC THUẬT: KHÁM PHÁ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Tổng quan về giáo trình (250-300 từ)

Tài liệu "Khám Phá Lý Thuyết và Bài Tập Hình Học Không Gian" do tác giả Nguyễn Tất Định biên soạn tại Trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến, là tài liệu học tập và giảng dạy thuộc phân môn Hình học không gian và Hình học sơ cấp. Trong chương trình đào tạo Toán học phổ thông và các học phần Phương pháp giảng dạy Hình học ở bậc đại học, nội dung này đóng vai trò cầu nối chuyển tiếp từ hình học phẳng hai chiều sang hình học không gian ba chiều.

Mục tiêu học tập của tài liệu tập trung vào việc chuẩn hóa hệ thống kiến thức cho người học, bao gồm:

1. Nhớ và vận dụng chính xác các hệ thức lượng phẳng và công thức diện tích đa giác cơ bản.
2. Nắm vững hệ thống định lý về quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
3. Xác định và tính toán chính xác các đại lượng hình học: góc, khoảng cách, diện tích hình chiếu và thể tích của khối đa diện (lăng trụ, chóp, chóp cụt) cũng như các khối tròn xoay (nón, trụ, cầu).

Cấu trúc giáo trình được thiết kế theo hướng quy nạp thực hành: bắt đầu từ việc nhắc lại công thức hình học phẳng nền tảng (lớp 9–10), đi qua hệ thống lý thuyết - định lý cốt lõi, cụ thể hóa thành 13 quy trình giải toán dựng hình điển hình, phân loại các dạng toán thể tích có ví dụ minh họa và kết thúc bằng ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm kèm hướng dẫn giải chi tiết. Điểm đặc sắc của tài liệu là tính trực quan hóa và thuật toán hóa các bước giải hình học không gian, giúp chuẩn hóa thao tác dựng hình và tính toán định lượng.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi (500-600 từ)

Các chương/chủ đề chính

Nội dung tài liệu được chia thành các chủ đề chuyên sâu có tính liên kết chặt chẽ:

1. Công thức bổ trợ lớp 9–10 và Hệ thức lượng phẳng: Tổng hợp Định lý Pitago, các hệ thức lượng trong tam giác vuông ($BA^2 = BH \cdot BC$, $AH^2 = BH \cdot CH$, $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}$), định lý hàm số Cosin ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$), định lý hàm số Sin, công thức diện tích tam giác Heron ($S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$), bán kính đường tròn ngoại tiếp/nội tiếp và công thức diện tích các hình đa giác phẳng (hình vuông, chữ nhật, thoi, thang, bình hành, hình tròn).
2. Quan hệ song song trong không gian: Hệ thống 3 định lý về đường thẳng song song mặt phẳng và 3 định lý về hai mặt phẳng song song cùng các hệ quả liên quan đến giao tuyến.
3. Quan hệ vuông góc trong không gian: Trình bày điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, định lý ba đường vuông góc và các định lý xác định hai mặt phẳng vuông góc.
4. Góc và Khoảng cách: Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng; công thức diện tích hình chiếu ($S' = S \cos\varphi$); định nghĩa và cách dựng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng/mặt phẳng, khoảng cách giữa các đối tượng song song và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
5. Thể tích khối đa diện: Công thức tính thể tích khối lăng trụ ($V = B \cdot h$), thể tích khối chóp ($V = \frac{1}{3} B \cdot h$), khối chóp cụt và tỉ số thể tích khối chóp tam giác (công thức Simson $\frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA'}{SA} \cdot \frac{SB'}{SB} \cdot \frac{SC'}{SC}$).
6. Khối tròn xoay và Mặt cầu: Công thức diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón ($V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$), khối trụ ($V = \pi r^2 h$), mặt cầu ($S = 4\pi R^2, V = \frac{4}{3}\pi R^3$) cùng bài toán thiết diện giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Progression logic của tài liệu đi từ việc cung cấp công cụ tính toán phẳng, thiết lập các quan hệ vị trí tương đối định tính, phát triển lên kỹ thuật dựng hình - tính toán định lượng và kiểm tra đánh giá qua bài tập trắc nghiệm.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

• Fundamental theories: Hệ thống tiên đề và định lý hình học không gian cổ điển Euclid, đặc biệt là các điều kiện cần và đủ về tính song song và vuông góc.
• Core principles: Nguyên lý chiếu vuông góc lên mặt phẳng đáy, quy tắc xác định chân đường cao khối chóp dựa vào yếu tố đối xứng hoặc cạnh bên/mặt bên vuông góc với đáy.
• Essential frameworks: Khung thuật toán 13 dạng toán dựng hình cơ bản, bao gồm quy trình tìm giao tuyến, tìm giao điểm qua mặt phẳng phụ, chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy và phương pháp phản chứng cho hai đường thẳng chéo nhau.

Kỹ năng phát triển

• Technical skills: Kỹ năng vẽ hình không gian đúng quy ước (nét đứt, nét liền), kỹ năng dựng đường cao $SH$, xác định đoạn vuông góc chung và góc giữa các đối tượng hình học.
• Analytical skills: Năng lực phân tích giả thiết không gian để quy đổi bài toán khoảng cách phức tạp về bài toán khoảng cách từ chân đường vuông góc của đỉnh.
• Practical competencies: Kỹ năng tính toán đại số - lượng giác nhanh chóng để tìm diện tích, thể tích trong các bài thi trắc nghiệm chuẩn hóa.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập (300-350 từ)

Tài liệu áp dụng phương pháp tiếp cận thuật toán hóa kết hợp mô hình hóa hình học (Algorithmic & Geometric Modeling Approach). Mỗi dạng bài toán dựng hình đều được chia thành các bước thực hiện tuần tự rõ ràng (Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ; Bước 2: Tìm giao tuyến; Bước 3: Tìm giao điểm). Cách tiếp cận này giúp người học hình thành tư duy giải quyết vấn đề có cấu trúc, hạn chế sự mơ hồ thường gặp khi học hình học không gian.

Phần bài tập mẫu và tình huống điển hình được phân loại chi tiết theo từng dạng hình học cụ thể:

• Khối chóp: Dạng 1 có cạnh bên vuông góc đáy (ví dụ chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$); Dạng 2 biết hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy (ví dụ chóp tam giác đều $S.ABC$ trích từ đề thi TN THPT 2008 - lần 1); Dạng 3 có mặt bên vuông góc với đáy (tam giác cân hoặc vuông cân).
• Khối lăng trụ: Dạng lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc với đáy; Dạng lăng trụ xiên biết hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy (ví dụ $A'$ chiếu xuống trung điểm $I$ của $AB$).
• Khối tròn xoay: Bài toán góc ở đỉnh hình nón bằng $60^\circ$, hình trụ có bán kính và khoảng cách trục cho trước, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Hệ thống đánh giá gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm phần lăng trụ và 27 câu trắc nghiệm phần khối chóp có đáp án và lời giải chi tiết, giúp người học tự đánh giá mức độ tiếp thu. Để tự học hiệu quả, người học được khuyến nghị vẽ lại hình chuẩn, tự thực hiện các bước dựng chân đường cao trước khi áp dụng công thức tính thể tích.

---

Điểm nổi bật và cập nhật (250-300 từ)

Tài liệu thể hiện các đặc tính học thuật nổi bật thông qua cách biên soạn và tổ chức dữ liệu:

1. Khắc phục đứt gãy kiến thức giữa hình học phẳng và hình học không gian: Tài liệu dành riêng phần mở đầu hệ thống lại toàn bộ công thức diện tích và hệ thức lượng lớp 9–10. Điều này giải quyết trực tiếp khó khăn phổ biến của người học khi tính diện tích đáy đa giác trong các bài toán hình học 12.
2. Hệ thống hóa toàn diện các phương pháp chứng minh: Tài liệu tổng hợp đồng thời 3 cách chứng minh hai đường thẳng song song, 3 cách chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng, 3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song, 7 cách chứng minh đường thẳng vuông góc và 4 cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
3. Tích hợp ngân hàng câu hỏi chuẩn hóa: Dữ liệu bài tập trích dẫn trực tiếp từ các kỳ thi chuẩn hóa quốc gia (ví dụ đề thi Tốt nghiệp THPT 2008), phản ánh cấu trúc bài thi trắc nghiệm thực tế với đầy đủ các mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng.
4. Trình bày rõ ràng, chuẩn mực sư phạm: Toàn bộ công thức đều có chú thích ký hiệu hình học rõ ràng (độ dài đường sinh $l$, bán kính $r$, chiều cao $h$, diện tích đáy $B$), đi kèm hình vẽ mẫu cho các khối chóp đặc biệt (chóp tam giác đều, chóp tứ giác đều).

---

Đối tượng sử dụng giáo trình (200-250 từ)

Tài liệu được biên soạn phục vụ các nhóm đối tượng học thuật xác định:

• Học sinh THPT (Lớp 11 và Lớp 12): Sử dụng làm tài liệu ôn tập định kỳ, củng cố lý thuyết hình học không gian lớp 11 và luyện tập các chuyên đề tính thể tích khối đa diện, khối tròn xoay lớp 12 phục vụ kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi tuyển sinh đại học.
• Sinh viên ngành Sư phạm Toán học và Toán ứng dụng: Sử dụng làm tài liệu tham khảo về phương pháp phân loại dạng toán, cấu trúc hóa đề cương bài giảng và xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm hình học sơ cấp.
• Giáo viên Toán bậc THCS - THPT: Sử dụng làm tài liệu phát tay (handout), đề cương ôn tập chuyên đề hoặc nguồn tư liệu xây dựng câu hỏi kiểm tra đánh giá thường xuyên và định kỳ.
• Người tự học và nghiên cứu tự do: Làm sổ tay tra cứu nhanh các định lý, công thức tính diện tích, thể tích và các thuật toán dựng hình không gian ba chiều.

Yêu cầu tiên quyết đối với người học là cần nắm vững các kiến thức hình học phẳng căn bản, các định lý lượng giác cơ bản ($\sin, \cos, \tan, \cot$) và các phép tính đại số thông thường.

---

Câu hỏi thường gặp (250-300 từ)

1. Giáo trình này phù hợp với ai?

Tài liệu phù hợp với học sinh THPT (lớp 11, 12), sinh viên ngành Sư phạm Toán học, giáo viên bộ môn Toán và những người cần tài liệu tra cứu nhanh về phương pháp giải hình học không gian.

2. Cần kiến thức nền tảng nào để học tốt tài liệu này?

Người học cần có kiến thức vững chắc về hình học phẳng (hệ thức lượng trong tam giác vuông, tam giác thường, công thức Heron, tính chất các tứ giác đặc biệt) và kỹ năng tính toán lượng giác cơ bản.

3. Điểm khác biệt của tài liệu so với các tài liệu hình học khác là gì?

Tài liệu phân loại chi tiết 13 dạng toán dựng hình thành các thuật toán từng bước cụ thể, đồng thời liên kết trực tiếp hệ thức lượng phẳng lớp 9–10 với bài toán tính thể tích không gian lớp 12.

4. Làm sao để tự học tài liệu này đạt hiệu quả cao?

Người học nên đọc kỹ phần tóm tắt lý thuyết, vẽ lại hình minh họa cho các dạng chóp và lăng trụ đặc biệt, tự giải các ví dụ mẫu trước khi đối chiếu đáp án ở phần 50 câu trắc nghiệm.

5. Tài liệu có cung cấp lời giải cho phần bài tập trắc nghiệm không?

Có. Tài liệu cung cấp bảng đáp án và phần hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi trắc nghiệm thể tích khối chóp và khối lăng trụ ở phần cuối văn bản.

---

Kết luận (150 từ)

Tài liệu "Khám Phá Lý Thuyết và Bài Tập Hình Học Không Gian" của tác giả Nguyễn Tất Định là văn bản tổng hợp học thuật hoàn chỉnh về phân môn Hình học không gian sơ cấp. Giá trị cốt lõi của tài liệu nằm ở cấu trúc chặt chẽ, tính chuẩn hóa trong phương pháp giải và sự liên kết mạch lạc giữa lý thuyết định tính với kỹ thuật tính toán định lượng.

Lộ trình học tập khuyến nghị bắt đầu từ việc củng cố hệ thức lượng phẳng, rèn luyện kỹ năng dựng hình - chứng minh quan hệ song song và vuông góc, sau đó nâng cao qua các chuyên đề tính góc, khoảng cách và thể tích khối đa diện. Để mở rộng kiến thức, người học có thể kết hợp tham khảo thêm các chuyên đề Hình học giải tích trong không gian (phương pháp tọa độ $Oxyz$) nhằm đa dạng hóa công cụ giải quyết bài toán không gian.

Trích đoạn nội dung tài liệu

(4) CONG THUC LOP 9-10 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho AABC vuông ở A ta có : s Định lý Pitago : BC” = AB” +AC” * BA? = BH.BC; CA =CH. AH In 1 1 AH? AB? AC? ¢ AH’ = BH.CH * BC =2AM. b Cc b c * sinB=_—, cosB=—, tanB=—,cotB=— a a c b b ¢b=a.cosB, a= — = › sinB cosŒC * b=c.Hệ thức lượng tronø tam øiác thường: * Định lý hàm số Côsin: a”= bŸ+ c7- 2bc.cosA * Định lý hàm số Sin: 1. snA sinB sinC 3.

Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam giác: 1 S= 2 a.(p—a)(p—b)(p—c) với p=————— 2 aR? VP-(p-a)(p-b)\(p—c) voip 5 1 Dac biét: *AABC vudngo A:|S = 5 ABAC _@ NB — 4 b/ Diện tích hình vuông : § = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng * AABC đều cạnh a: |S d/ Diên tích hình thoi : S = 2 (chéo dài x chéo ngắn) 1 à d/ Diện tích hình thang: S = 2 (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiêu cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn: S=Z.RŸ BIEN SOAN NGUYEN TAT DINH: TRUONG THCS-THPT NGUYEN KHUYEN -1- (2) QUAN HE SONG SONG — QUAN HE VUONG GOC A.QUAN HE SONG SONG 1. DUONG THANG VA MAT PHANG SONG SONG ĐLI:Nêu đường thăng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thắng a nằm trên mp(P) thì đường thắng d song song với mp(P) dợ() d//a =d//Œ) ac(P) ĐL2: Nêu đường thăng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cat a//(P) ac(Q) >d//a mp(P) thi cat theo giao (P)¬(Q)=d tuyên song song với a. ĐL3: Nêu hai mặt phăng cắt nhau cùng song song (P)¬(Q)=d với mot duong thang thi (P)//a sd/la giao tuyên của chúng song song với đường thăng đó.

HAI MAT PHANG SONG SONG ĐLI: Nêu mp(P) chứa hai đường thắng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phăng (Q) thi (P) và (Q) song song với nhau. ĐL2: Nêu một đường thăng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia. DL3: Nêu hai mặt phăng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phăng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1.DUONG THANG VUONG GOC VOI MAT PHANG BIEN SOAN NGUYEN TAT DINH: TRUONG THCS-THPT NGUYEN KHUYEN ĐLI: Nêu đường thăng d vuông góc với hai đường thắng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thăng d vuông góc với mp(P). dla,dlb a, bcmp(P)>d 1 mp(P) a,b cắt nhau ĐL2: (Ba đường vuông sóc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thắng b nằm trong (P).

Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a° của a trên (P). HAI MAT PHANG VUÔNG GÓC ĐỊI:Nêu một mat phăng chứa một đường thắng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. (P)1(Q) (P)¬(Q)=d>a1(Q) ac(P)aLd DL3: Néu hai mặt phang (P) va (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thăng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) (P)1(Q) Ae(P) Aea al(Q) >ac(P) ĐỊA: Nêu hai mặt phăng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phăng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. KHOẢNG CÁCH BIEN SOAN NGUYEN TAT DINH: TRUONG THCS-THPT NGUYEN KHUYEN -3- 1.

Khoảng cách từ l điêm tới 1 đường thang , dén 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểmM đến đường thắng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiêu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đường thăng và mặt phăng song song: Khoảng cách giữa đường thắng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). Khoang cach giira hai mat phang song song: la khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.Khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thắng đó. Góc giữa hai đường thẳng avàb là góc giữa hai đường thang a’ va b cùng đi qua một điêm và lân lượt cùng phương với a và b.

Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a” của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm nói rằng góc giữa đường thắng a và mp(P) là 900. Góc giữa hai mặt phẳng ` là góc giữa hai đường thăng lân lượt vuông góc với hai mặt phăng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thắng nằm trong 2 mặt J BIEN SOAN NGUYEN TAT DINH: TRUONG THCS-THPT NGUYEN KHUYEN -4- (H)) của (H) trên mp(P`) thì 4.

Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S” là diện tích hình chiêu S'=Scoso trong đó @là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’). (3) THE TiCH KHOI DA DIEN — MAT NON, MAT TRU, MAT CAU I/ CAC CONG THUC THE TICH CUA KHOI DA DIEN : 1. THE TICH KHOI LANG TRU: V=B.h Œ: Say ; h: chiều cao) Thể tích khối hộp chữ nhật: Thể tích khối lập phương: với a là độ dài cạnh V=a. THẺ TÍCH KHÓI CHÓP: 1 V=—Bh 3 ` (B: Say ; h: chiêu cao) 3.

TỈ SÓ THẺ TÍCH TỨ DIỆN Vu, _ SA SB SC Veume SA’ SB' SC' 4. THE TICH KHOI CHOP CUT: V= 2(8 + B'+/B. = arl BIEN SOAN NGUYEN TAT DINH: TRUONG THCS-THPT NGUYEN KHUYEN -5- 6. KHÓI TRỤ V =Bh=ar’h S,, = 2arl 7.

KHOI CAU v=4xr 3 S=4zr? Chú ý: 1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d= a 2. Đường chéo của hình lập phương cạnha là d=a V3, Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b,c Ad= Va’? +b? +c’, 2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h= avi 2 3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc có đáy là đa giác đêu, hình chiêu của đính trùng với tâm của đáy). 4/ Lăng trụ đêu là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đêu. 4) 1/C/m diém thuéc mat phang : e Phuong phap : Để chứng minh điểm M ¢ mpc ta chifng minh: Me Đường thẳng a Đường thẳng a c mpœ 2/ Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng : ® Phương pháp : Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mpø ta thực hiện các bước sau : Bước I : Chon mặt phẳng phụ 6 =>Mempơ chứa đường thẳng a ( Chú ý : Mặt phẳng ø và p dể xác định giao tuyến ) Bước 2 : Tìm giao tuyến A của ø và B Bước 3 : Gọi I = giao điểm của a và A.

Chứng minh I là giao điểm của đường thẳng a và mpœ 3/ Tìm søiao tuyến của hai mặt phẳng A\ $ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP WEE ( Chứng minh : I vừa thuộc đường thẳng a vừa thuộc mpz ) x4 BIEN SOAN NGUYEN TAT DINH: TRUONG THCS-THPT NGUYEN KHUYEN -6- e Phương pháp : Để tầm giao tuyến của hai mặt phẳng œ và p ta dùng các cách sau : C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng | A,Bempa A. Bempp = Duong thang AB=mpanmpf | C2 : Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến ( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định cho trước ) Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các định lý : - Nếua /(P) thì a// với giao tuyến d của mp(P) và mp(Q) đi qua a - _ Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì các giao tuyến này // -__ Hai mặt phẳng cắt nhau cùng // với một đường thẳng thì giao tuyến của hai mạt phẳng này // với đường thẳng đó. 4/ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng e Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt « va 6 —- A, B, C thuộc giao tuyến của ø và ø nên thẳng hàng _ .(œ)()= AB 5 goons + Thường CM như sau: =>Ce 41,nên A,B,C thắng hà C (a) (8) 5/ Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ® Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực hiện các bước sau : Bước I: Đặt I = giao điểm của a và b. Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng ø và § nào đó sao cho ầ c = giao tuyến của ø và B.

I 2 Bước 3 : Chứng minh : | < MPO _. |edudngthange lempp = 3 đường thẳng a, b, c cùng di qua I nén déng qui. e Cách khác : Dùng định lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến này hoặc đồng quy`` Như vậy nếu chúng ta loại trừ được khả năng // thì chúng sẽ đồng quy. 6/ Chứng minh giao tuyến hay (đường thẳng) cố định : e Phương pháp : Ta chứng minh đường thẳng hay giao tuyến là giao của hai mặt phẳng cố định 7/ Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau : e Phương pháp : ĐỂ chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta chứng minh chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng (Thường dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai đường thẳng đó không chéo nhau.

Suy luận để suy ra điều vô lý. Vậy hai đường thẳng đó phải // với nhau) BIEN SOAN NGUYEN TAT DINH: TRUONG THCS-THPT NGUYEN KHUYEN -7- 8/ Chứng minh hai đường thẳng //. CI : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng. C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba.

a a, bphân biệt & a//c, a/c > al/b b e C3 : Dùng định lý giao tuyến: RI ⁄ (P)/(@). (O) qua a, (P)(Q)=b —a//b | > 9/ Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng. C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng. a/b,=a /(P) c2: Ông ệ quả: A (P) // (Q), ac (Q) >a //(P) C3 : Dùng hệ quả: ⁄ Hh / b ag(P),(P)LbhaLb >all(P) 10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song.

CI : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia. K Sf a,b <(Q),acktb,a//(P) va b// (P) > (P) //(Q) Ky BIEN SOAN NGUYEN TAT DINH: TRUONG THCS-THPT NGUYEN KHUYEN -9- C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng .