Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông A. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu: + Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia. + Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam vuông đồng dạng - Định lý 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
Giả thiết ABC, A B C , BC AB A A 900 ; BC AB Kết luận ∆A’B’C’ ∆ ABC 3. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng - Định lý 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. A'B' Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là k = , hai đường cao AB tương ứng là AH và A’H’. h ABC Khi đó, ta có tỉ số hai đường cao là : k.
h ABC - Định lý 3: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Giả thiết ∆A’B’C’ ∆ ABC theo tỉ số k. Kết luận S ABC Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng là : k2. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số k.
Biết 3 đường cao xuất phát từ A của tam giác ABC là AH = 12cm. Tính đường cao xuất phát từ M của tam giác MNP? Lời giải: Gọi đường cao xuất phát từ M của tam giác MNP là MK. 2 Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số k nên 3 AH 12 2 12.3 k MK 18 MK MK 3 2 B. Bài tập tự luyện Bài 1.
Cho tam giác ABC vuông tại A có chân đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là HB = 16 cm và HC = 25 cm. Tính diện tích của tam giác ABC? Lời giải: Xét tam giác AHB và tam giác CHA có: AHB AHC 90 0 A1 C ( cùng phụ A 2 ) Suy ra: ∆AHB ∆ CHA (g. AH HB HC HA HA 16 Hay HA 2 400 HA 20 cm 25 HA 1 1 Ta có: SABC AH. Cho tam giác ABC vuông tại A.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Biết AB = 5cm; AC = 12cm. a) Tính BH? b) Chứng minh ∆AHB ∆ CHA Lời giải: a) Áp dụng định lí Pyata go vào tam giác vuông ABC có: BC2 = AB2 + AC2 = 25 + 144= 169 nên BC = 13cm Xét ∆ABC và ∆ HBA có: BAC = AHB = 900 B chung Suy ra: ∆ABC ∆ HBA (g.g) AB BC AB2 52 25 = HB = = = cm HB BA BC 13 13 b) Xét ∆AHB và ∆ CHA có: AHB = AHC = 900 BAH = ACH ( cùng phụ với góc HAC ) Suy ra: ∆AHB ∆ CHA (g. Cho tam giác ABC vuông tại A.
Dựng hai đường phân giác trong BH; CN của góc B và góc C. Hai đường này cắt nhau tại I. Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên BC. Chứng minh: a) ∆IKC ∆ NAC b) ∆IKB ∆ HAB.
Lời giải: a) Xét ∆IKC và ∆ NAC có: IKC = CAN = 900 ICK = NCA ( vì CN là tia phân giác của ACB) Suy ra: ∆IKC ∆ NAC (g.g) ( đpcm) b) Xét ∆IKB và ∆ HAB có: IKB = BAH = 900 KBI = ABH ( vì BH là tia phân giác của ABC) Suy ra: ∆IKB ∆ HAB (g. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta – lét A. Định lý đảo - Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh một tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. - Giả thiết AB AC ABC, B AB, C AC; BB CC Kết luận B’C’// BC Ví dụ 1.
Trong tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm. Lấy trên cạnh AB điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AB’ = 4cm; AC’ = 6cm. Chứng minh B’C’// BC. Lời giải: Ta có: B’B = AB – AB’ = 10 – 4 = 6cm, Và CC’ = AC – AC’ = 15 – 6 = 9 cm Ta có: AB' 4 2 AC' 6 2 ; BB' 6 3 CC' 9 3 AB' AC' BB' CC' Theo định lí ta – lét đảo, suy ra: B’C’ // BC.
Hệ quả của định lý Ta – lét - Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho. Giả thiết ABC, B C / /BC; B AB, C AC Kết luận AB AC BC. AB AC BC - Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Trong tam giác ABC có AB = 6cm và B’C’// BC.
Lấy trên cạnh AB điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AB’ = 4cm; AC’ = 3cm. Tính độ dài cạnh AC. Lời giải: Áp dụng hệ quả trên ta có: AB AC BC. AB AC BC Khi đó ta có: AB AC 4 3 AB AC 6 AC 6.
Bài tập tự luyện Bài 1. Tính x trong hình vẽ sau, biết FG// HT Lời giải: Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét với FG// HT ta có: EF EG EF.3 ET 4,5 ET HE EG 2 Vậy x = 4,5. Tính độ dài x, y trong các hình sau biết DE // BC a) b) Lời giải: a) Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có: BC AB x 28,5 9,5 38 hay DE AD 8 9,5 9,5 8. b) Ta có: A’B’// AB vì cùng vuông góc AA’.
Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có: AB AO A B / /AB AB AO x 6 hay x 8,4 4,2 3 Áp dụng định lí Py – ta – go với tam giác OAB ta có: OB2 AB2 OA 2 y 8,42 62 10,32 Vậy x 8,4 và y 10,32. Cho tam giác ABC , một đường thẳng d cắt 2 cạnh AB và AC tại M và N sao cho AM = 4cm, MB = 5cm, AN = 6 cm và AC = 13,5cm; BC = 12 cm. Tính MN? Lời giải: Do N nằm giữa A và C nên : NC = AC - AN = 13,5 - 6 = 7,5cm AM AN 4 6 Ta có: = ( = ) MB NC 5 7,5 Suy ra: MN // BC ( định lí Ta let đảo) Theo hệ quả định lí ta - let ta có; AN MN AN.12 16 = MN = = = cm AC BC AC 13,5 3 Bài 4. Cho tam giác ABC , đường thẳng d song song với BC cắt 2 cạnh AB và AC AM 1 lần lượt tại M và N.
Tỉnh tỉ số chu vi tam giác AMN và ABC ? MB 2 Lời giải: AM 1 AM 1 AM 1 Ta có: = = = MB 2 MB +AM 2 +1 AB 3 Vì MN// BC nên theo hệ quả định lí Ta let ta có: AM AN MN 1 = = = AB AC BC 3 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: AM AN MN AM +AN +MN 1 = = = = AB AC BC AB + AC+BC 3 1 Do đó, tỉ số chu vi tam giác AMN và ABC là 3 Bài 1. Định lí Ta- let trong tam giác A. Tỉ số của hai đường thẳng - Định nghĩa Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. AB Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD được kí hiệu là.
CD - Chú ý: Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo Ví dụ 1. AB 10 1 - Cho AB = 10 cm; CD = 30 cm thì. CD 30 3 AB 1 - Cho AB = 1 dm; CD = 3 dm thì. Đoạn thẳng tỉ lệ - Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ AB A B AB CD thức hay.
CD C D AB CD 3. Định lý Ta – lét trong tam giác - Định lý Ta – lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Tổng quát : ABC, B C / /BC; B AB, C AC AB AC AB AC BB CC Ta có: ; ; AB AC BB C C AB AC Ví dụ 2. Tính độ dài cạnh AN trong hình vẽ sau, biết MN// BC Lời giải: Ta có MN// BC, áp dụng định lý Ta – lét ta có: AM AN 17 x hay MB NC 10 9 17.
Bài tập tự luyện Bài 1. Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau: a) AB = 6 cm; CD = 10 cm. b) AB = 2dm; MN = 4cm. c) MN = 12 cm; PQ = 2dm Lời giải: Tỉ số của các cặp đoạn thẳng đã cho là: AB 6 3 a) CD 10 5 b) Đổi AB = 2 dm = 20 cm AB 20 5 MN 4 c) Đổi PQ = 2dm = 20 cm MN 12 0,6 PQ 20 Bài 2.
Tìm độ dài x cho hình vẽ sau biết MN// BC Lời giải: Ta có: AB = AM + MB = 2 + 3 = 5 Vì MN// BC. Áp dụng định lí Ta – lét ta có: AM AN 2 1,5 AB AC 5 x 5. Cho các đoạn thẳng AB = 4 cm; CD = 8cm; MN = 20cm; PQ = x cm. Tìm x để AB và CD tỉ lệ với MN và PQ? Lời giải: Để AB và CD tỉ lệ với MN và PQ thì: AB MN 4 20 CD PQ 8 x 8.20 x 40cm 4 Vậy x = 40cm.
Cho đoạn thẳng AB = 35cm. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho CB 2. Tính độ dài đoạn CB. Lời giải: Từ giả thiết CA 3 CA CB CB 2 3 2 CA CB Đặt t (t 0) 3 2 CA 3t CB 2t Ta có: AB = AC + CB Thay số: 35 = 3t + 2t Do đó, 35 = 5t nên t = 7.7 = 14 cm Vậy CB = 14cm.
Khái niệm tam giác đồng dạng A.