Chương 2: LÔGIC TOÁN §1. Mệnh đề Ta biết rằng đặc trưng của toán học là tiến hành các chứng minh, tức là đưa ra những định lý mới từ những định lý khác mà tính đúng đắn đã được xác lập hay được công nhận như là xuất phát điểm. Việc đó được tiến hành nhờ các suy luận toán học. Một trong những nhiệm vụ chính của lôgic mệnh đề là đặt cơ sở ban đầu để nghiên cứu thực chất của các phép suy luận toán học và thiết lập các tiêu chuẩn về sự đúng đắn của các tiêu chuẩn đó.
Đối tượng chính của lôgic mệnh đề là mệnh đề. Trong ngôn ngữ thông thường, ta hiểu mệnh đề là những câu biểu thị hay diễn đạt một ý gì đó. Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam. Số 10 chia hết cho 2.
Bạn đã làm xong bài tập chưa ? 5. Số x là mộ số chẵn. Đối với thực tế khách quan, câu 1, 2 là đúng, câu 3 là sai. Các câu 4, 5 không nhằm phản ánh một sự kiện đúng hay sai thực tế khách quan: câu 4 chỉ là một câu hỏi; câu 5 nói về một đối tượng chưa xác định, nó không đúng cũng không sai nếu ta chưa gán cho nó một giá trị cụ thể.
Do nhiệm vụ của lôgic mệnh đề như đã nói trên, lôgic mệnh đề chỉ quan tâm đến các mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện: mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai; mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. Như vậy, các câu 1, 2, 3, là những mệnh đề; các câu 4, 5 không là mệnh đề (xét trong lôgic mệnh đề). Trong lôgic mệnh đề, ta chỉ quan tâm đến tính đúng hoặc sai của mệnh đề mà không quan tâm đến ý nghĩa, nội dung và cấu trúc ngữ pháp của nó. Ta quy ước mệnh đề có giá trị 1 nếu nó đúng, có giá trị 0 nếu nó sai.
Vì mỗi mệnh đề chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai nên nó chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc 0. Các giá trị 1 hoặc 0 gọi là giá trị chân lý của mệnh đề. Chẳng hạn, giá trị chân lý của mệnh đề “Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam” là 1, “1 cộng 3 bằng 6” là 0. Các mệnh đề đơn giản, tức là các mệnh đề không thể chia nhỏ thành nhiều mệnh đề khác, được gọi là mệnh đề sơ cấp.
Các mệnh đề 1, 2, 3 ở ví dụ trên là các mệnh đề sơ cấp. Còn các mệnh đề như “3 là số lẻ và 3 bé thua 5” không phải là mệnh đề sơ cấp vì nó chứa hai mệnh đề “3 là số lẻ” và “3 bé thua 5 ”. Ta gọi chúng là các mệnh đề phức tạp. Ta sẽ dùng các ký hiệu p, q, r,.
để chỉ các mệnh đề sơ cấp, chúng được gọi là các biến mệnh đề. Khi p là mệnh đề đúng, tức p có giá trị chân lý là 1, ta viết p=1; nếu p là mệnh đề sai, hay p có giá trị chân lý là 0, ta viết p=0. Như vậy, các mệnh đề p, q, r,. lấy giá trị trong tập {0, 1}.
Trong đại số, từ các số a, b nào đó ta có thể lập được các số mới bằng các phép toán đại số như: -x, x + y, x – y, x.y,… Tương tự như thế, trên tập hợp các mệnh đề, với các mệnh đề cho trước, bằng các quy tắc nhất định, ta có thể lập được các mệnh đề mới. Các quy tắc thiết lập mệnh đề mới này gọi là các phép toán mệnh đề (hay các phép toán lôgic). Sau đây ta sẽ lần lượt nghiên cứu một số phép toán mệnh đề cơ bản. Các phép toán giữa các mệnh đề 1.
Phép phủ định Xét mệnh đề đúng “5 là số nguyên tố”. Từ mệnh đề này ta lập được mệnh đề “5 không phải là số nguyên tố”, dễ dàng thấy rằng mệnh đề mới này sai. Ta lấy một ví dụ khác. Xét mệnh đề sai “10 chia hết cho 3”.
Từ mệnh đề này ta lập đựợc mệnh đề “10 không chia hết cho 3”, rõ ràng mệnh đề mới này đúng. Các mệnh đề “5 không là số nguyên tố” và “10 không chia hết cho 3” lần lượt gọi là mệnh đề phủ định của các mệnh đề “5 là số nguyên tố” và “10 chia hết cho 3”. Ta thấy rằng nếu mệnh đề đúng thì mệnh đề phủ định là sai và ngược lại. Định nghĩa Cho mệnh đề p.
Phủ định của p là một mệnh đề: “không p”. Ký hiệu: ṕ Mệnh đề ṕ sai khi p đúng và ṕ đúng khi p sai. Ta có thể biểu diễn bảng giá trị chân lý của phép phủ định như sau: p ṕ 1 0 0 1 b. Ví dụ 1) Phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2 4”.
2) Phủ định của mệnh đề “Hình chữ nhật có hai đường chéo dài bằng nhau” là mệnh đề “Hình chữ nhật không có hai đường chéo dài bằng nhau”. Chú ý Khi tìm phủ định của một mệnh đề cho trước cần cẩn thận để tránh sai sót. Chẳng hạn phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2 4” chứ không phải là “2 < 4”, phủ định của mệnh đề “-1 là số âm” là mệnh đề “-1 là số không âm” chứ không phải là “-1 là số dương”,. Phép hội Cho hai mệnh đề “ > 3” và “ < 4”.
Nối hai mệnh đề này bởi liên từ “và” ta được mệnh đề mới “ > 3 và < 4”. Mệnh đề mới này gọi là hội của hai mệnh đề đã cho, ta thấy mệnh đề hội này đúng vì cả hai mệnh đề tạo thành đều đúng. Còn các mệnh đề hội: “ > 3 và là số tự nhiên”, “ là số nguyên và <4”, “ < 3 và là số tự nhiên” là các mệnh đề sai vì trong các mệnh đề đó có ít nhất một trong hai mệnh đề tạo thành là sai. Phép toán hội xuất hiện từ việc toán học hóa việc sử dụng từ “và” trong đời sống hằng ngày.
Định nghĩa Cho hai mệnh đề p và q. Hội của p và q là mệnh đề: “p và q”. Mệnh đề p q đúng nếu cả p và q đều đúng, p q sai trong mọi trường hợp khác. Ta có bảng giá trị chân lý của phép hội như sau: p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 b.
Ví dụ 1) Mệnh đề “Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và có bốn góc vuông” là hội của hai mệnh đề “Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau” và “hình vuông có bốn góc vuông”. Mệnh đề hội này đúng vì cả hai mệnh đề để tạo thành đều đúng. 2) Mệnh đề “Số 2007 vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3” là hội của hai mệnh đề “Số 2007 chia hết cho 2” và “Số 2007 chia hết cho 3”. Mệnh đề hội này sai vì có mệnh đề “Số 2007 chia hết cho 2” sai.
Phép tuyển Cho hai mệnh đề “4 là số lẻ” và “4 là số chẵn”. Nối hai mệnh đề này bằng liên từ “hoặc” ta được mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 4 là số chẵn”. Mệnh đề mới này gọi là tuyển của hai mệnh đề đã cho. Ta thấy mệnh đề tuyển này đúng vì có mệnh đề “4 là số chẵn” là đúng.
Tương tự ta có các mệnh đề “3 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” hay “4 lớn hơn 1 hoặc 4 là số chẵn” cũng là các mệnh đề đúng. Ngược lại mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” là mệnh đề sai. Phép toán tuyển chính là sự toán học hóa việc sử dụng từ “hoặc” trong đời sống hằng ngày. Định nghĩa Cho hai mệnh đề p và q.
Tuyển của p và q là mệnh đề: “p hoặc q”. Mệnh đề p q sai nếu cả p và q đều sai, p q đúng trong mọi trường hợp khác. Ta có bảng giá trị chân lý của phép tuyển như sau: p q pq 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 b. Ví dụ 1) Mệnh đề “ Hàm số y = (x + 1) 2 là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ” là tuyển của hai mệnh đề “Hàm số y = (x + 1)2 là hàm số chẵn” và “Hàm số y=(x+ 1)2 là hàm số lẻ”.
Mệnh đề tuyển này sai vì cả hai mệnh đề tạo thành đều sai. 2) Mệnh đề “1 bé thua hay bằng 5” là tuyển của hai mệnh đề “1 bé thua 5” và “1 bằng 5”. Mệnh đề tuyển này đúng vì có mệnh đề “1 bé thua 5” là đúng. Phép kéo theo Ta bắt đầu bằng bản cam kết của học sinh A: Nếu A đi học thì A đeo khăn quàng đỏ.
Đây là một mệnh đề được tạo thành từ hai mệnh đề p: “A đi học” và q: “A đeo khăn quàng đỏ” bằng việc sử dụng liên từ “Nếu…thì”. Ta gọi mệnh đề “Nếu A đi học thì A đeo khăn quàng đỏ” là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là p q. Sau đây ta sẽ xét tất cả các tình huống có thể xảy ra đối với bản cam kết của A: - A đi học (p = 1) nhưng A không đeo khăn quàng đỏ (q = 0) thì điều cam kết bị vi phạm, mệnh đề p q sai (p q = 0). Định nghĩa Cho hai mệnh đề p và q.
Mệnh đề p kéo theo q là mệnh đề: “nếu p thì q”. Mệnh đề p q sai nếu p đúng và q sai, p q đúng trong mọi trường hợp khác. Ta có bảng giá trị chân lý: p q p q 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 b. Ví dụ 1) Ghép hai mệnh đề p : “Số 3 là số chẵn” và q : “Số 5 chia hết cho 2” ta được mệnh đề p q : “Nếu 3 là số chẵn thì 5 chia hết cho 2”.
Mệnh đề trên là đúng (p q = 1) vì p = 0 và q = 0. 2) Mệnh đề “Nếu 2 là số hữu tỉ thì √ 2 là số hữu tỉ” là mệnh đề sai vì mệnh đề “2 là số hữu tỉ” đúng và mệnh đề “ √ 2 là số hữu tỉ” sai. Phép tương đương a. Định nghĩa Cho hai mệnh đề p và q.
Mệnh đề p tương đương q là mệnh đề: “p khi và chỉ khi q”. Mệnh đề p q đúng nếu cả p và q cùng đúng hoặc cùng sai, p q sai trong mọi trường hợp khác. Ta có bảng giá trị chân lý: p q pq 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 b. Ví dụ 1) Cho mệnh đề p là “5 2” và mệnh đề q là “2 < 4”.