CHƯƠNG 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: ĐẠI SỐ Mã QR cho cuốn sách này là một mảng 29 × 29 hình vuông đen/trắng. Trong các ví dụ ở trên, nó có lợi từ góc độ tâm lý khi thay thế một danh sách gồm bốn số (đại diện cho lưu lượng giao thông) hoặc 841 số (đại diện cho mã QR) bằng một mẩu dữ liệu đơn lẻ: đó là một điểm trong một không gian Rn. Đây là một khái niệm mạnh mẽ; bắt đầu từ Mục 2.2, chúng ta sẽ hầu như chỉ ghi lại các nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính theo cách này.2 Hình ảnh của tập nghiệm Trước khi thảo luận về cách giải một hệ phương trình tuyến tính như ở dưới đây, sẽ có ích nếu xem một số hình ảnh để biết các tập nghiệm này trông như thế nào về mặt hình học.
Một phương trình theo hai biến. Xét phương trình tuyến tính x + y = 1. Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng y = 1 − x, nó xác định một đường trong mặt phẳng: độ dốc là −1, và hoành độ giao điểm là 1. Đối với mục đích của chúng ta, một đường là một tia thẳng và vô hạn theo cả hai hướng.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 7 Một phương trình theo ba biến. Xét phương trình tuyến tính x + y + z = 1. Đây là một phương trình ẩn của một mặt phẳng trong không gian. Một mặt phẳng là một phiến phẳng vô hạn theo tất cả các hướng.
Phương trình x + y +z + w = 1 xác định một “3-phẳng” trong không gian 4 chiều, và tổng quát hơn, một phương trình tuyến tính đơn nhất theo n biến xác định một “(n − 1)-phẳng” trong không gian n chiều. Chúng tôi sẽ làm cho những phát biểu này chính xác hơn trong Mục 2. Hai phương trình theo hai biến. Bây giờ hãy xem xét hệ hai phương trình tuyến tính x − 3 y = −3 § 2x + y = 8.
Mỗi phương trình xác định một đường thẳng riêng rẽ trong mặt phẳng, như được vẽ dưới đây. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: ĐẠI SỐ Một nghiệm cho hệ hai phương trình là một cặp số (x, y) sao cho làm cho cả hai phương trình đồng thời đúng. Nói cách khác, nó là một điểm đồng thời nằm trên cả hai đường thẳng. Chúng ta có thể thấy trong hình trên rằng chỉ có một điểm mà ở đó các đường giao nhau: do đó, hệ phương trình này có đúng một nghiệm.
(Nghiệm này là (3, 2), như người đọc có thể kiểm tra.) Thông thường, hai đường thẳng trong mặt phẳng sẽ giao nhau tại một điểm, nhưng tất nhiên điều này không phải lúc nào cũng đúng. Bây giờ hãy xem xét hệ các phương trình x − 3 y = −3 § x − 3 y = 3. Những phương trình này xác định các đường thẳng song song trong mặt phẳng. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9 Việc các đường thẳng không giao nhau có nghĩa là hệ phương trình không có nghiệm.
Tất nhiên, điều này dễ thấy về mặt đại số: nếu x − 3 y = −3, thì cũng không thể có x − 3 y = 3. Còn có một khả năng nữa. Xét hệ phương trình x − 3 y = −3 § 2x − 6 y = −6. Phương trình thứ hai là một bội của phương trình thứ nhất, vì vậy các phương trình này xác định cùng một đường thẳng trong mặt phẳng.
Trong trường hợp này, hệ phương trình có vô số nghiệm. Hai phương trình theo ba biến. Xét hệ hai phương trình tuyến tính x + y +z =1 n x − z = 0. Mỗi phương trình xác định riêng một mặt phẳng trong không gian.
Nghiệm của hệ hai phương trình này là những điểm nằm trên cả hai mặt phẳng. Chúng ta có thể thấy trong hình dưới đây rằng các mặt phẳng giao nhau theo một đường thẳng. Đặc biệt, hệ phương trình này có vô số nghiệm. Sử dụng liên kết này để xem bản trình diễn trực tuyến Các mặt phẳng được xác định bởi các phương trình x + y + z = 1 và x − z = 0 cắt nhau theo đường thẳng màu đỏ là tập nghiệm của hệ hai phương trình.
Tổng quát, các nghiệm của một hệ phương trình theo n biến là giao của “(n − 1)-mặt phẳng” trong không gian n chiều. Đây luôn là một loại không gian tuyến tính, như chúng ta sẽ thảo luận trong Mục 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: ĐẠI SỐ 1.3 Mô tả tham số của tập nghiệm Theo Định nghĩa, giải một hệ phương trình có nghĩa là viết ra tất cả các nghiệm theo một số tham số. Chúng ta sẽ cung cấp một cách có tính hệ thống để làm như vậy trong Mục 1.3; ngay bây giờ, chúng ta đưa ra các mô tả tham số trong các ví dụ của tiểu mục trước.
Xét phương trình tuyến tính x + y = 1 của ví dụ này. Trong ngữ cảnh này, chúng ta gọi x + y = 1 là một phương trình ẩn của đường thẳng. Ta có thể viết cho cùng đường thẳng đó theo dạng tham số như sau: (x, y) = (t, 1 − t) với bất kỳ t ∈ R. Điều này có nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng đều có dạng (t, 1 − t) với một số số thực t nào đó.
Trong trường hợp này, ta gọi t là một tham số, vì nó tham số hóa các điểm trên đường thẳng. t = −1 t =0 t =1 Bây giờ hãy xem xét hệ hai phương trình tuyến tính x + y +z =1 n x −z =0 của ví dụ này. Những phương trình này gộp chung tạo thành các phương trình ẩn cho một đường thẳng trong R3. (Cần ít nhất hai phương trình để xác định một đường thẳng trong không gian.) Đường thẳng này cũng có một dạng tham số với một tham số t: (x, y, z) = (t, 1 − 2t, t).
Sử dụng liên kết này để xem bản trình diễn trực tuyến Các mặt phẳng được xác định bởi các phương trình x + y + z = 1 và x − z = 0 giao nhau theo đường thẳng màu vàng, được tham số hóa bởi (x, y, z) = (t, 1 − 2t, t). Di chuyển thanh trượt để thay đổi điểm được tham số hóa. RÚT GỌN HÀNG 11 Lưu ý rằng trong mỗi trường hợp trên, tham số t cho phép chúng ta sử dụng R để gắn nhãn các điểm trên đường thẳng. Tuy nhiên, không có đường nào giống với đường thẳng số R: thật vậy, mọi điểm trên đường thẳng thứ nhất có hai tọa độ, giống như điểm (0, 1), và mọi điểm trên đường thẳng thứ hai đều có ba tọa độ, như (0, 1, 0).
Xét phương trình tuyến tính x + y + z = 1 của ví dụ này. Đây là một phương trình ẩn của một mặt phẳng trong không gian. Mặt phẳng này có một phương trình dưới dạng tham số: chúng ta có thể viết mọi điểm trên mặt phẳng dưới dạng (x, y, z) = (1 − t − w, t, w) với bất kỳ t, w ∈ R. Trong trường hợp này, chúng ta cần hai tham số t và w để mô tả tất cả các điểm trên mặt phẳng.
Sử dụng liên kết này để xem bản trình diễn trực tuyến Mặt phẳng trong R3 được xác định bởi phương trình x + y + z = 1. Mặt phẳng này được tham số hóa bởi hai số t, w; di chuyển các thanh trượt để thay đổi điểm được tham số hóa. Lưu ý rằng các tham số t, w cho phép chúng ta sử dụng R2 để gắn nhãn các điểm trên mặt phẳng. Tuy nhiên, mặt phẳng này không giống như mặt phẳng R2 : thật vậy, mọi điểm trên mặt phẳng này có ba tọa độ, giống như điểm (0, 0, 1).
Khi chỉ có một nghiệm duy nhất, như trong ví dụ này, không nhất thiết phải sử dụng các tham số để mô tả tập nghiệm.2 Rút Gọn Hàng Mục tiêu 1. Học cách thay thế một hệ phương trình tuyến tính bằng một ma trận bổ sung. Tìm hiểu phương pháp khử tương ứng như thế nào với việc thực hiện các phép biến đổi hàng trên ma trận bổ sung. Hiểu khi nào thì một ma trận có dạng bậc thang hàng (rút gọn).
Tìm hiểu ma trận rút gọn hàng nào đến từ một hệ tuyến tính không tương thích. Phương thức: thuật toán rút gọn hàng. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: ĐẠI SỐ 6. Từ vựng: phép biến đổi hàng, sự tương đương hàng, ma trận, ma trận bổ sung, chốt, dạng bậc thang hàng (rút gọn).
Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày một thuật toán để “giải” một hệ phương trình tuyến tính.1 Phương pháp khử Chúng ta sẽ giải các hệ phương trình tuyến tính theo phương pháp đại số sử dụng phương pháp khử. Nói cách khác, chúng ta sẽ kết hợp các phương trình theo nhiều cách khác nhau để cố gắng loại bỏ càng nhiều biến nhất có thể ra khỏi mỗi phương trình. Có ba phép biến đổi hợp lệ mà chúng ta có thể thực hiện được trên hệ phương trình: • Nhân với vô hướng: chúng ta có thể nhân cả hai vế của một phương trình với một số khác không. x + 2 y + 3z = 6 −3x − 6 y − 9z = −18 ( ( nhân pt1 với −3 2x − 3 y + 2z = 14 −−−−−−−−→ 2x − 3 y + 2z = 14 3x + y − z = −2 3x + y − z = −2 • Thay thế: chúng ta có thể cộng một bội của một phương trình vào một phương trình khác, thay thế phương trình thứ hai bằng kết quả.
x + 2 y + 3z = 6 x+ 2 y + 3z = 6 ( ( pt2 = pt2−2×pt1 2x − 3 y + 2z = 14 −−−−−−−−−→ −7 y − 4z = 2 3x + y − z = −2 3x + y − z = −2 • Hoán đổi: chúng ta có thể hoán đổi hai phương trình. x + 2 y + 3z = 6 3x + y − z = −2 ( ( pt3 ←→ pt1 2x − 3 y + 2z = 14 −−−−−−→ 2x − 3 y + 2z = 14 3x + y − z = −2 x + 2 y + 3z = 6 Ví dụ.1) bằng cách sử dụng phương pháp khử.