Hướng Dẫn Toán 12: Phép Toán Với Vector Trong Không Gian

Khám phá kiến thức Toán 12 về tọa độ vector, phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong phiên bản 2025 của Nguyễn Phan Tiến.

• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Hướng Dẫn Toán 12: Phép Toán Với Vector Trong Không Gian
• Loại tài liệu: Hướng Dẫn
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• 1. CHUYÊN ĐỀ 2: ĐỘ DÀI VEC TƠ TRONG BÀI
• 1.1. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
• 1.2. Phép toán trên VÉC TƠ
• 1.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
• 2. CHƯƠNG II: TOẠ ĐỘ CỦA VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
• 2.1. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
• 2.2. TOẠ ĐỘ ĐIỂM VÀ TOẠ ĐỘ VEC TƠ TRÊN HỆ TRỤC OXYZ
• 2.3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HAI VÉC TƠ
• 2.4. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM
• 2.5. BÀI TẬP ÁP DỤNG
• 3. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG
• 3.1. TÍCH VÔ HƯỚNG
• 3.2. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
• 3.3. TÍCH HỖN TẠP VÀ ỨNG DỤNG

Tóm tắt

I. Tổng Quan Phép Toán Vector Lớp 12 Trong Không Gian Oxyz

Vector trong không gian là một khái niệm nền tảng của chương trình Toán 12, đặc biệt trong chuyên đề hình học giải tích trong không gian. Hiểu rõ các phép toán với vector không chỉ giúp giải quyết các bài toán cơ bản mà còn là chìa khóa để chinh phục các dạng bài tập phức tạp hơn về phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. Nội dung này sẽ hệ thống hóa toàn bộ kiến thức cốt lõi, từ định nghĩa, các phép toán cơ bản đến biểu thức tọa độ tương ứng trong hệ tọa độ Oxyz, tạo một nền tảng vững chắc cho người học. Việc nắm vững phương pháp tọa độ trong không gian là yêu cầu bắt buộc để xử lý hiệu quả các bài toán hình học không gian, vốn thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng. Các khái niệm như tọa độ của vector, độ dài vector và các quy tắc hình học như quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm là những viên gạch đầu tiên xây dựng nên toàn bộ cấu trúc kiến thức của chuyên đề này. Tài liệu gốc đã chỉ rõ, 'VECTO TRONG KHÔNG GIAN LÀ MỘT ĐOẠN THẲNG CÓ HƯỚNG', nhấn mạnh hai thuộc tính cốt lõi là độ lớn và phương hướng, điều này chi phối mọi phép toán và ứng dụng sau này.

1.1. Hệ thống tọa độ Oxyz và các định nghĩa vector cơ bản

Cơ sở để thực hiện mọi phép toán với vector trong không gian là hệ tọa độ Oxyz, bao gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau tại gốc O. Mỗi vector u trong không gian được biểu diễn duy nhất qua bộ ba số (x; y; z), được gọi là tọa độ của vector, sao cho u = xi + yj + zk, với i, j, k là các vector đơn vị tương ứng trên ba trục. Từ đó, tọa độ của một điểm M cũng được xác định bởi tọa độ của vector OM. Nếu có hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB), vector AB sẽ có tọa độ là (xB - xA; yB - yA; zB - zA). Độ dài của vector u(x; y; z) được tính bằng công thức |u| = √(x² + y² + z²). Hai vector được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng tọa độ. Đây là những khái niệm cơ bản nhất, là tiền đề để xây dựng các biểu thức tọa độ phức tạp hơn.

1.2. Biểu thức tọa độ của phép cộng trừ và nhân với một số

Các phép toán vector cơ bản bao gồm cộng trừ hai vector và nhân vector với một số. Các phép toán này có biểu thức tọa độ của các phép toán vector rất trực quan. Cho hai vector u(x1; y1; z1) và v(x2; y2; z2), ta có: Phép cộng: u + v = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2). Phép trừ: u - v = (x1 - x2; y1 - y2; z1 - z2). Phép nhân vector với một số thực k: ku = (kx1; ky1; kz1). Các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối đều được tuân thủ tương tự như với các phép toán số học. Về mặt hình học, các quy tắc như quy tắc ba điểm (AB + BC = AC), quy tắc hình bình hành (AB + AD = AC), và quy tắc trọng tâm tam giác (GA + GB + GC = 0) đều có thể được chứng minh dễ dàng bằng các biểu thức tọa độ này, thể hiện sự liên kết chặt chẽ giữa hình học thuần túy và hình học giải tích.

II. Thách Thức Khi Phân Biệt Tích Vô Hướng và Tích Có Hướng

Một trong những thách thức lớn nhất khi học về phép toán với vector trong không gian là sự nhầm lẫn giữa hai khái niệm: tích vô hướng của hai vector và tích có hướng của hai vector. Mặc dù tên gọi có vẻ tương đồng, bản chất, công thức tính và ứng dụng của chúng hoàn toàn khác biệt. Tích vô hướng, như tên gọi, cho kết quả là một số (vô hướng), trong khi tích có hướng lại cho kết quả là một vector mới. Sự khác biệt này dẫn đến những ứng dụng riêng biệt trong hình học. Tích vô hướng thường được sử dụng để kiểm tra tính vuông góc và tính góc giữa hai vector. Ngược lại, tích có hướng là một công cụ mạnh mẽ để tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng, tính diện tích tam giác, hình bình hành và là nền tảng cho khái niệm tích hỗn tạp. Hiểu sai hoặc áp dụng nhầm công thức giữa hai loại tích này là lỗi sai phổ biến, dẫn đến kết quả bài toán hoàn toàn sai lệch. Việc nắm vững định nghĩa, công thức tọa độ và ý nghĩa hình học của từng loại là cực kỳ quan trọng để áp dụng chính xác vào giải toán.

2.1. Bản chất và ý nghĩa hình học của Tích Vô Hướng

Tích vô hướng của hai vector u và v là một đại lượng vô hướng, ký hiệu là u.v, được định nghĩa bằng công thức: u.v = |u|.|v|.cos(u, v). Về mặt tọa độ, nếu u(x1; y1; z1) và v(x2; y2; z2), thì u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2. Ý nghĩa hình học quan trọng nhất của tích vô hướng là mối liên hệ với góc. Từ định nghĩa, ta có thể tính cosin của góc giữa hai vector. Một trường hợp đặc biệt và cực kỳ hữu ích là khi hai vector vuông góc với nhau, góc giữa chúng bằng 90°, cos(90°) = 0, dẫn đến điều kiện u.v = 0. Đây là phương pháp phổ biến nhất để chứng minh tính vuông góc trong hình học giải tích trong không gian.

2.2. Khái niệm và đặc trưng của Tích Có Hướng

Tích có hướng của hai vector u và v, ký hiệu là [u, v] hoặc u x v, là một vector mới, tạm gọi là w. Vector w có ba đặc trưng cơ bản: 1. Phương: w vuông góc với cả u và v (vuông góc với mặt phẳng chứa u và v). 2. Chiều: Ba vector u, v, w theo thứ tự tạo thành một tam diện thuận. 3. Độ lớn: |w| = |u|.|v|.sin(u, v), độ lớn này chính bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vector u và v. Biểu thức tọa độ của tích có hướng được tính thông qua định thức, một kỹ thuật cần luyện tập để thành thạo. Chính vì đặc tính tạo ra một vector vuông góc với hai vector ban đầu, nó trở thành công cụ không thể thiếu để tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng và vector chỉ phương của đường thẳng.

III. Hướng Dẫn Tính Tích Vô Hướng và Các Ứng Dụng Cốt Lõi

Nắm vững cách tính và vận dụng tích vô hướng của hai vector là một kỹ năng cơ bản nhưng thiết yếu trong chuyên đề vector lớp 12. Phép toán này là cầu nối trực tiếp giữa đại số và hình học, cho phép lượng hóa các mối quan hệ về góc và khoảng cách. Công thức tính theo tọa độ u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2 là công cụ tính toán chính. Từ công thức này, ta có thể dễ dàng suy ra bình phương vô hướng của một vector, chính là bình phương độ dài vector đó: u² = |u|² = x² + y² + z². Các ứng dụng của tích vô hướng rất đa dạng, từ việc tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, đến việc chứng minh hai đường thẳng vuông góc hay giải các bài toán cực trị hình học. Việc thành thạo phép toán này không chỉ giúp giải quyết các bài toán trực tiếp mà còn là nền tảng để hiểu sâu hơn về các khái niệm hình chiếu và các bài toán liên quan đến khoảng cách trong không gian Oxyz.

3.1. Công thức và phương pháp tính nhanh tích vô hướng

Để tính tích vô hướng của hai vector u(x1; y1; z1) và v(x2; y2; z2), phương pháp chính là áp dụng công thức biểu thức tọa độ: u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2. Đây là một phép toán đơn giản, chỉ bao gồm ba phép nhân và hai phép cộng. Điều quan trọng cần nhớ là kết quả luôn là một số thực. Ví dụ, trong tài liệu gốc, để tính góc giữa hai vector, bước đầu tiên luôn là tính tích vô hướng và độ dài của từng vector. Các tính chất cần lưu ý: u.v = v.u (giao hoán); u. (v + w) = u.v + u.w (phân phối); (ku).v = k(u.v). Nắm vững các tính chất này giúp rút gọn các biểu thức vector phức tạp và đơn giản hóa quá trình chứng minh.

3.2. Ứng dụng tính góc giữa hai vector và chứng minh vuông góc

Ứng dụng quan trọng nhất của tích vô hướng là xác định góc giữa hai vector. Từ công thức u.v = |u|.|v|.cos(u, v), ta suy ra công thức tính góc: cos(u, v) = (u.v) / (|u|.|v|). Bằng cách tính giá trị cosin này, ta có thể tìm được góc cụ thể. Một ứng dụng hệ quả nhưng cực kỳ phổ biến là kiểm tra tính vuông góc. Hai vector u và v (khác 0) vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng là 90 độ, tức cos(u, v) = 0. Điều này tương đương với điều kiện u.v = 0. Trong các bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hoặc tìm điều kiện để một tam giác là tam giác vuông, việc sử dụng tích vô hướng bằng không là phương pháp hiệu quả và nhanh chóng nhất.

IV. Phương Pháp Tính Tích Có Hướng và Khái Niệm Tích Hỗn Tạp

Khác với tích vô hướng, tích có hướng của hai vector là một khái niệm nâng cao hơn và là công cụ đặc trưng của hình học không gian ba chiều. Kết quả của phép toán này là một vector mới vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai vector ban đầu, mở ra nhiều ứng dụng mạnh mẽ. Việc tính toán tích có hướng đòi hỏi sự cẩn thận với các định thức cấp hai. Sau khi nắm vững tích có hướng, khái niệm tích hỗn tạp được giới thiệu. Tích hỗn tạp của ba vector a, b, c được định nghĩa là [a, b].c. Ý nghĩa hình học của nó liên quan trực tiếp đến thể tích và sự đồng phẳng của ba vector. Nắm vững hai loại tích này là bước nhảy vọt, cho phép giải quyết các bài toán về diện tích, thể tích, và quan hệ đồng phẳng một cách hiệu quả bằng phương pháp tọa độ trong không gian.

4.1. Cách tính tọa độ vector của tích có hướng

Để tính tọa độ của vector w = [u, v] với u(x1; y1; z1) và v(x2; y2; z2), ta sử dụng quy tắc định thức. Hoành độ của w được tính bằng cách che cột x và tính định thức của hai cột còn lại: y1z2 - y2z1. Tung độ được tính bằng cách che cột y và tính -(x1z2 - x2z1) = z1x2 - z2x1. Cao độ được tính bằng cách che cột z và tính định thức: x1y2 - x2y1. Việc nhớ quy tắc "che cột nào tính cột đó" và dấu "trừ" ở tung độ là rất quan trọng để tránh sai sót. Kết quả là một vector có tọa độ cụ thể, ví dụ [u,v] = (y1z2 - y2z1; z1x2 - z2x1; x1y2 - x2y1). Vector này chính là một vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa u và v.

4.2. Tích hỗn tạp và điều kiện đồng phẳng của ba vector

Tích hỗn tạp của ba vector a, b, c là một số thực, được tính bằng [a, b].c. Về mặt hình học, giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp |[a, b].c| chính là thể tích của khối hộp được tạo bởi ba vector a, b, c xuất phát từ cùng một đỉnh. Từ đó, một ứng dụng cực kỳ quan trọng được suy ra: điều kiện để ba vector đồng phẳng. Ba vector a, b, c được gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trên một mặt phẳng. Khi đó, khối hộp tạo bởi chúng sẽ bị "bẹp", có thể tích bằng 0. Do đó, điều kiện cần và đủ cho sự đồng phẳng của ba vector là tích hỗn tạp của chúng bằng không: [a, b].c = 0. Đây là công cụ đại số mạnh mẽ để kiểm tra tính đồng phẳng trong không gian Oxyz.

V. Bí Quyết Ứng Dụng Phép Toán Vector Giải Bài Tập Nhanh

Lý thuyết về phép toán với vector trong không gian sẽ trở nên vô nghĩa nếu không biết cách ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Các ứng dụng của tích có hướng và tích hỗn tạp là những công cụ tính toán cực kỳ hiệu quả, giúp chuyển các bài toán hình học không gian phức tạp về các phép tính đại số đơn giản. Thay vì phải dựng hình và sử dụng các định lý hình học thuần túy, học sinh có thể sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để tìm ra kết quả một cách nhanh chóng và chính xác. Các ứng dụng này không chỉ giới hạn ở việc tính diện tích, thể tích mà còn là nền tảng để viết phương trình mặt phẳng, xác định khoảng cách và giải quyết các bài toán cực trị trong hình học giải tích trong không gian. Nắm vững các bí quyết này sẽ tạo ra lợi thế cạnh tranh lớn trong các kỳ thi.

5.1. Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích tam giác

Một trong những ứng dụng của tích có hướng phổ biến nhất là tính diện tích. Diện tích của hình bình hành dựng trên hai vector AB và AC bằng độ lớn của tích có hướng: S_ABDC = |[AB, AC]|. Vì diện tích tam giác ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành tương ứng, ta có công thức tính diện tích tam giác ABC là: S_ABC = (1/2) |[AB, AC]|. Phương pháp này đặc biệt hữu ích khi biết tọa độ ba đỉnh A, B, C. Chỉ cần tính tọa độ hai vector AB, AC, sau đó tính tích có hướng và cuối cùng là tính độ dài của vector kết quả rồi chia cho 2. Đây là cách làm nhanh và hiệu quả hơn nhiều so với việc dùng công thức Heron hay tính đường cao trong không gian.

5.2. Vận dụng tích hỗn tạp để tính thể tích khối tứ diện

Tương tự như tích có hướng với diện tích, tích hỗn tạp là công cụ chuyên dụng để tính thể tích. Thể tích của khối hộp dựng trên ba vector a, b, c là V_hộp = |[a, b].c|. Từ đó, ta có thể suy ra công thức tính thể tích khối tứ diện ABCD. Thể tích tứ diện ABCD bằng 1/6 thể tích của khối hộp có ba cạnh là AB, AC, AD. Do đó, công thức tính thể tích tứ diện là: V_ABCD = (1/6) |[AB, AC].AD|. Phương pháp này cho phép tính thể tích một cách trực tiếp chỉ từ tọa độ của bốn đỉnh, loại bỏ hoàn toàn các bước dựng và tính chiều cao phức tạp trong hình học không gian cổ điển. Đây là một công cụ không thể thiếu để giải nhanh các bài toán thể tích trong đề thi.

VI. Tổng Hợp Các Dạng Bài Tập Vector Trong Không Gian Hay Gặp

Việc luyện tập các dạng bài tập đa dạng là bước cuối cùng để làm chủ chuyên đề vector lớp 12. Các bài toán không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức một cách máy móc mà còn đòi hỏi sự tư duy linh hoạt để kết hợp các phép toán với vector trong không gian một cách hợp lý. Có hai nhóm bài tập chính: nhóm bài tập chứng minh đẳng thức vector, phân tích vector (không gắn tọa độ) và nhóm bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải quyết các vấn đề về vị trí tương đối, góc, khoảng cách, diện tích và thể tích. Tài liệu tham khảo đã cung cấp một hệ thống bài tập tự luyện phong phú, từ cơ bản đến nâng cao, giúp người học củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Việc nhận dạng và áp dụng đúng phương pháp cho từng loại bài tập là yếu tố quyết định đến tốc độ và sự chính xác khi làm bài.

6.1. Dạng toán chứng minh đẳng thức và phân tích vector

Đây là dạng toán cơ bản, thường xuất hiện ở đầu chương, nhằm củng cố các quy tắc hình học như quy tắc ba điểm, hình bình hành, trung điểm, trọng tâm. Phương pháp giải chủ yếu là sử dụng các phép biến đổi vector, chèn điểm một cách hợp lý để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh một đẳng thức tương đương luôn đúng. Ví dụ, để chứng minh MN = (1/2)(AD + BC) với M, N là trung điểm của AB và CD, ta có thể phân tích MN qua một điểm gốc O bất kỳ: MN = ON - OM. Sau đó, sử dụng công thức trung điểm để biểu diễn ON, OM qua các vector đỉnh và rút gọn. Dạng bài này rèn luyện tư duy logic và khả năng biến đổi linh hoạt các biểu thức vector.

6.2. Dạng toán tọa độ hóa và giải quyết bài toán định lượng

Đây là dạng toán trọng tâm và phổ biến nhất trong các kỳ thi. Bằng cách gắn hệ tọa độ Oxyz vào bài toán, mọi yếu tố hình học như điểm, đường thẳng, mặt phẳng đều được đại số hóa. Các yêu cầu như tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích đều được quy về việc áp dụng các công thức tọa độ của tích vô hướng của hai vector, tích có hướng của hai vector hay tích hỗn tạp. Ví dụ, để tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng, ta viết phương trình đường thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với mặt phẳng (nhận vector pháp tuyến làm vector chỉ phương), sau đó tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Việc thành thạo kỹ năng tọa độ hóa và vận dụng công thức là chìa khóa để giải quyết nhanh gọn và chính xác các bài toán này.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Ỳ TOÁN 12 OA DO VECTOR: UONG TRINH MAT PHANG | wt mas a a wo bd bt bo yt bh LMP bait se a th — ~—— 5. ee eS eee Mure lie CHUYEN DE 2: 10 DO CUA VEC TO TRONG BAI 1. VEC TO TRONG KHÔNG GIAN. Cóc phép †oón trên VÉC ÏƠ.

cu H nn nen Ha co ] 3. Phép nhôn một số VỚI VÉC ÍƠ. tt nnn nho 1 Dơng 1. Chứng minh đẳng thức véc †ơ.

Phan tich 1 véc †ơ quo bo véc †ơ khóc. m 3 BOI TG †Ự lUYỆN. ccccLcnHnnnn nền Ho kg ke 11115 1511k th 3 Bai 2. HE TRUC TOA DO TRONG KHONG GIAN .-- 7 | TOA ĐỘ ĐIỂM VÀ TOA ĐỘ "e8 —.

7 I HE TRUC TOA DO OXYZ. cc ccccccccessescseeseccecusesesesuesecssesusevesssanesseenes 7 II. TOA ĐỘ CUA VEC TO VA ĐIỂM TRÊN HỆ TRỤC OXYZ. 7 _ HH, CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HAI VÉC TƠ.cc coi 7 IV.

Hình chiếu vuông góc củo điểm. các ninh nuệu 8 ;2i8/eieeele sen. 8 BOL TAD na.2 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG. Tích vô hướng.

“16 2, Tích có hướng vò ứng dụng. Tích hỗn †ạp vò ứng dụng. ch nhang 16 Bòi tập tự luyện.cccc neo ¬ 19 CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG - ĐƯỜNG THẮNG- MẶT CÂU BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.

Phương trình tổng quớt của một phẳng. 23 Bởi †Ếp †ự luyện. các nh nh nn nền no ng kh ào 26 BÀI 1.2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. Phương trình mặt chốn.

ác nhe 32 Bởi †Ộp †ự luyện. ch» nh ng nh nà kh ko bà kế ko khi 35 BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Viết phương trình các dạng cơ bẻn. 38 Bởi †Ếp †ự luyện.cc ng ng ng Ho Hà ko khi 44 Phốn 2.

Viết phương trình Cac dọng nông cœo. 49 Bỏi tập †ự luyện. ch Ha Ha Kha kh Ha tết 51 BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CƠ BẢN.

Phương tình mặt cỗu —- Xóc định tâm vò bén kính. Vị trí tương đối giữa điểm vò mặt cồu. coi: 59 _]II, Viết phương trình một CỔU. các co tt in nàn 60 Bòi tộp †ự luyện.1 GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH (PHẦN ]).

Géc †rong không giœn. ene Eee EEE EEA AMEE EERO AEE EEE nana TH kh hàn ó7 II. Khoảng cóch trong không giơn.ccc cào: TH Hinh ó8 III. Mặ† phẳng vờ một CỔU.

cccc nhà ha rau ó9 - :2ñ si 71- BAI 4.2 GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH (PHẦN 2). Khoỏng cach từ điểm đến đường ThỖng .cccceco 76 2, Khoảng cóch gitia 2 GUBNg CHEO NNAU vices wee 77 3. Khoảng cóch đường coo tứ diện khi biết 4 đỉnh. Vị trí tương đối giữa đường thẳng vờ mặt côổu.: 78 z;ei/eie000 a0 adjäđ411 EEE ER EEE EEE EEE 80 ail! i BÀI 4.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN. Vị trí tương đối giữa hơi một phẳng. VỊ trí tương đối giữa đường thẳng vò mặt phống. Vị trí tương đối giữo hơi đường thẳng .càccccccc 85 BOI TGP TUIUVEN vee ad.1 TÌM HÌNH CHIẾU _ ĐIỂM ĐỐI XỨNG.

Tìm hình chiếu, điểm đối xứng lên trục, mặt tọa độ. Một số dạng †ìm hình CHIEU KNGC. Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng. Tim hinh chiếu của 1 điểm lên mặt phống.

Phuong trình hình chiếu của đường lên mặt .ccc nc nh ng nh nan nh nên _ 94 BÀI 5.2 TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN .c-c---ce- 97 Bởi †Ếp †Ự lUyYỆn.ccc nnnnnnnn nhé gà chà Đà THẾU 99 BÀI ó. CỰC TRỊ OXYZ. Ăn nọ HH ng ng 104 BẤM MÁY TÍNH KHOẢNG CÁCH. csccecceecserrersers 108 ễn DiBắc Liêm Từ , CHƯƠNG II.

TOA BO CUA VEC TC TRONG ”° KHÔNG GIAN ˆ _ $ Để b 2 DẠNG Bai 1: VECTO TRONG KH«¢ ONG GIAN VDI: 1. ĐỊNH NGHĨA: Trong không gian VÉCTƠ LÀ MỘT ĐOAN THANG CO HUONG »Kí hiệu: AB trong đó chỉ rõ 4 là điểm đầu, Đ là điểm cuôi \ 2. CAC PHEP TOAN TREN VECTO 7 + PHÉP CỘNG: 4B+ BC = AC _+ PHÉP TRỪ: 4B- AC=CB ` TÊNQUYTẮC: NỘIDUNG _ HINH BIEU DIEN snwrssassete ~~—p. , e Quy tắc hình bình hành AB+AD= AC VD3: a 4B+ AC =2AM DANG e Quy tắc rung điểm ee | MB+MC =0 _VD4: s Quy tắc frọng tâm tam GA+GB+ GC = 0 VDS5: | giác MA+ MB + MC =3MG VD6: — —— —— — | ° QuyQuy tic *hinh hép* oP 4B+ 4D+ 44'= AC , VD7: A’ py 3.

PHÉP NHÂN MỘT SÓ VỚI VÉCTƠ: Tích của vécto a voi sé k 1a một véctơ, kí hiệu: ka ° Vécto ka cùng hướng với a nếu È>0, ngược hướng với a nêu k<0. e Độ đài véctơ ka bằng | lal.the more you learn, the more you earn. Page | 1 © 098 ge DANG I. CHUNG MINH ĐẲNG THỨC VÉCTƠ V¬: VỆ 0v VDI: Cho tứ diện ABC.

Š a/ Chứng minh răng b/ Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD, BC. CMR: MN " = +DC c/ Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng AB+AC+ AD =34AG. d) Goi I la trung điểm cia MN.

CMR: TA+IB+IC+ID=0 e) Goi P bắt kì, chứng minh rằng P/= P.4 + PB a C+PD Cho hình bình hành ABCD. Goi S la mét diém nam ngoai mat phang chira hinh binh hanh. Chứng minh răng: $4+SC= SB+SD VD3: Cho hình hộp ABCD. Chimg minh rang: a, AB+B'C'+ DD'= AC' b, BD-D'D-B'D'=BB' c, AC+BA'+DB+C'D=0 DANG 2.

PHAN TICH 1 VEC TO QUA BA VEC TO KHAC =. VD4: Cho tir dién ABCD cé G Ia trong tâm tam giác BCD. Đặt š= 4B; ÿ= AC; z= AD. Phan tich AG theo x, V,Z ? WwW | k2 B.

VDS: Cho tứ điện 48CD. Gọi ă và P lần lượt là trung điểm của 4ð và CD. Phân tích Ä⁄P theo các véctơ a,b,c ? | VD6: Cho hình lăng trụ 48C4'E'C', A{ là trung điểm của 8°. Đặt CA=a,CB=b, AA'=c.

Khang dinh nao sau day aung’ A. AM =a+e-2b BAM =b+e-la. Di AM=a-c+6, B9| VD: Cho hình hộp ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn BG.

Hay biéu thi véc to AJ theo a,b,c.the more you learn, the more you earn. Page | 2 1 is oe "Ty Nguyễn PPhan Tiến VD8: Cho lang tru ABC. Dat AA'= G, AB =b, AC = - Gọi G’ la trong tam A’B’C’. Hãy phan tich AG' theo a,b,c.

--HÉT—- _ BÀI TẬP TỰ LUYỆN (TÔ VÀO PHIẾU CHÁM) - Cau 1: (THPT Hồng Quang - Hải Dương- Lần 1 - 2018 - BEN) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A4BC”", gọi M là trung điểm cạnh bên 8ð”. Đặt C4= , CB=b, CC =ẽ, Khang dinh nảo sau đây là đúng? Á- AM =~ã+B+ẽ. 2 ee Cau 2: Cho hình lập phương ABCD. Goi O là tâm của hình lập phương.

Chọn đăng thức | B. 2 x OF Cau 3: Cho lăng trụ tam giác 4BC.4B'C' có Al'=a, AB = b, AC =c. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ wee cu BC qua cac vecto a,b, c.BCl=a-bse, Ca Cau 4: Cho hình tứ diện ABCD cé trong tim G. Ménh dé nao sau đây là sai? A.

GA+GB+GC+GD=0 B. Ca A Cau 5: Cho tứ diện 4BCD. Gọi Aƒ và N lần lượt là trung điểm của 48 và CD. Tìm giá trị của È thích hợp điển vào đẳng thức vecto: MN= k(AC + BD) Ca A.

2 3 Cau 6: Cho lăng trụ tam giác 41BC.4P#'C' có Al'=a, AB = b,AC =c. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ sory ant BC qua cac vecto a, b,c.BC=-a+b+e CC BC=atb+e DĐ. BC=-a-Btao QS 09888 22295 .the more you learn, the more youearn. = _ Page | 3 Gọi Ä⁄, N lần lượt là trung điểm của các cạnh 4C và 8D của tử diện ABCD.

Goi J 1a trung diém doan MN va P là 1 điểm bất kỳ trong không giàn. Tìm giá trị của & thích hợp điền vào dang thirc vecto: PI =k (PA +PB+PC +PD). Cho tir dién ABCD. Goi Af va P lan lượi là trung điểm của 48 và CD.

Đặt AB=b,AC=c, AD =d. Khang dinh nao sau day aun. senate enema tn amar Barta Tịnh Cho tứ diện ABCD. Goi AL va N lần lượt là trung điểm của AB va CD.

Tim gia tri của k thich hợp điền vào đăng thức vectơ: ÄZN = k( AD +BC | thức A. | — KO HN HHHẬM nese Hơmrremawrvve Cho tứ diện ABCD. Dat AB=a, AC=b, AD=c, goi M là trung điểm của ÖØC. “Trong các ˆ khẳng dinh sau, khang dinh nao ding? | A.

: Cho tir dién ABCD. Goi G 1a trong tam tam gidc ABC. Tim giá trị của k thích hợp điền vào dang thức vectơ: D4+ DB+ DC =kDG ~ A. (ens gy he D.

_ Câu 12: Cho hình lăng trụ ABC.LRC", M là trung điểm của BB'. CB=b 5 AA =C, Khang dinh nao sau day dang? sees ig A. < uak »x Psa arrange Cau 13: _ Cho hình hộp 4ABCD. Dat AB=a; BC=b.

M 1a diém xéc dinh boi ˆ OM= 2(ä~ b). Khăng định nào sau đây đúng? am M là tâm hình bình hành 4BB 4. AZ là tâm hinh binh hanh BCC'B’. vecto i Cy 'M latrungdiém BB’.

AZ là trung điểm CC". Câu 14: “Cho ter dién 4BCD cé trong tam G. Ménh dé nao sai? A. GA4+GB+GC+GD=0.the more you learn, the more you earn.

Page | 4 “II ) Ằ ay NguPh yanen Ten 8D Đức D Dién, Bắc me Liêm Cau 15: Cho hinh chop S.ABCD cé day ABCD là hình bình hành. Khang định nào sau đây dung? - Câu A. SA+SC =SB+SD. S4+SB=SC+SD.

SA4+ SD =SB+SC. S4+SB+SC+SD=0. Cau 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 4D và 8C.

Khẳng định nào sau đây Cau sai? A. AB+CD=CB+ AD. 2MN = AB+DC. AD+2MN = AB+AC.

2MN = AB+AC+AD. Cau 17: Cho tir dién ABCD. Goi G 1a trong tam tam gidc ABC. Tim gia tri thích hợp của k thoa đăng - thức vectơ: D4+ DB+ DC =k.

Cau 18: Cho hinh chép S.ABCD co ABCD là hình bình hành tâm Ó. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nao sai? A. OA+OB+OC+OD=0. S4+SC =SB+SD.SB=SC+SD Cau Cau 19: Cho tứ diện 4BŒCD.

Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Khang định nào sau đây đúng: A. AG=AB+AC+AD. 4AG= AB+ AC+ AD.

2AG= AB+AC+AD. 34G = AB+ AC + AD. Cau 20: Cho tứ diện 48CD. Gọi 7,J lần lượt là trung điểm của 4# và CD, G là trung điểm của J7.

Cho các đẳng thức sau, đăng thức nào đúng? A. GA+GB+@GC+GD =0. G4+GB+GC+GD =21, C. GA+GB+GC+GD=JI.

GA4+GB+GC+GD=-2. Cau 21: Cho hinh chop S.ABC, goi G 1a trọng tâm tam giác 4BC. SA+SB+SC =SG. S4+SB+SC =4SG.

Cau 22: Cho hinh chóp $,4BCD có 4BCD là hình bình hành tâm O. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. SA+ SC =SB+SD. S4+SB=SC+SD.

Cau 23: Cho tir dién ABCD. Goi E 1a trung diém AD, F 1aa trung điểm BC và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh dé sau: A. EB+ EC+ ED =3EG.

2EF= AB+DC. AB+ AC+ AD =3AG. D, ;GA+GB+GC+ GD =0.the more you learn, the more you earn. Page | 5 Hà Nguyễ Phan Tớ { ` 18 Đức Diễn, Bắc Từ Liêm Câu 24: Cho tir dién ABCD.