CHƯƠNG 1. QUA TRÌNH NGAU NHIÊN 1. Dinh nghia Quá trình ngẫu nhiên được biéu thị trên không gian xác suất (Q, F, P), trong đó Q là một tập không rỗng, F là một tập hợp bao gồm tat cả các tập con của Q và P là thước đo xác suất. Martingale và Semimartingale Martingales: Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X;,t > 0) phù hợp với bộ lọc và khả tích: E|X;| < 0 với mọi t > 0 Giả sử s và tla hai số thực dương sao cho s <.
e Nếu E(X,|F,) =X, , thì X được gọi là martingale. Khi không có bộ lọc nào được chỉ rõ, ta hiểu rằng (F;) là bộ lọc tự nhiên của X;, tức là F; = ø(X,,s St) = Fễ Quá trình Càdlàg: X,[0; 7] được gọi là martingale nếu: e X, thích nghi với F; e E[|X,|| < œ,Vt €[0;T] e E(X,|F,)=X,,Vs>t Nếu Mice o;rp là martingale và T¡, 7; là thời điểm dừng thích ứng với 7 > Tạ > T, = 0, thi E|Mr, |Fr, | = Mr, Semimartingale: semimartingale là một quá trình có thé được phân tách thành: X, =Xo+M,+A, trong đó Xp là hữu hạn, M, là một martingale cục bộ va A, là một quá trình Cadlag 1. Thời điểm dừng Cho một không gian xác suất đã được lọc (Q, F, (F;), P). Một biến ngẫu nhiên 7 được cho là thời điểm dừng nếu với mọi t > 0: {wE€Q:T(w) <t}EF, 11190387 — Nguyén Thi Ngoc Anh 9 Chuyên đề thực tập chuyên ngành Toán Kinh tế 1.
MỘT SO QUÁ TRINH NGAU NHIÊN 1. Quá trình Wiener (chuyén động Brown) Định nghĩa: Một quá trình ngẫu nhiên X = (X,,t = 0) được cho là một quá trình Wiener hoặc một chuyền động Brown, nếu X là một quá trình Gaussian sao cho: e E(ŒX,)=0 t+s—|t—s| e Hàm tương quan R(t,s) = min(t,s) = 2 Quá trình ngẫu nhiên X là một chuyên động Brown chuan nếu: e_ Gần như chắc chan rằng Xo = 0 e Su khác biệt X, — X, là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng £ — s, (s < £) e SỐ gia X,„ — X,, và Xy, — X¿, (với mọi tị > t, > tz = t,) là những biến ngẫu nhiên độc lập Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (2), phương sai của X, — X, là ø?(t — s). Tính chất: e W,1a một martingale với bộ lọc F,, trong đó F¿ = F!” = o(W,, st), ø: miền nhỏ nhất được tạo ra bởi giá trị quá khứ của W tính đến thời điểm t. e W/ không phân biệt được với t e W, không có biến bị giới han trong bat kỳ khoảng hữu hạn nào của t e Wtuan theo phép lặp logarit : We e lim su x? 00 P v2tint Tinh chat Levy của chuyển động Brown: Cho W = (W,, t > 0) là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục, điều kiện cần và đủ dé W; là một chuyên động Brown đó là:.
W, là Martingale,W, = 0 dw? — t là Martigale (F, = F}”) Điều kiện (*) được gọi là tính chất Levy của chuyên động Brown. Quá trình Poisson Quá trình đệm: Một quá trình ngẫu nhiên (M, t > 0) được cho là một quá trình đệm nếu N, đại diện cho tông số lần một sự kiện ngẫu nhiên nào đó xảy ra tính đến thời 11190387 — Nguyễn Thị Ngọc Anh 10 Chuyên đề thực tập chuyên ngành Toán Kinh tế điểm z. Vì vậy, quá trình đệm là một quá trình với thời gian liên tục, nhận giá trị nguyên dương và có bước nhảy tai các thời điểm ngẫu nhiên Tụ, T¡, Tạ,. sao cho: Tạ =0 <Tì < T; < -- Và lim T„ = œ xœ Từ đó, ta có: N.
Điều đó có nghĩa là, với mọi s, t > 0, ta có: PỊN,. Từ đó ta có E(M) = Xt. Quá trình Markov Một quá trình ngẫu nhiên (X:, t > 0) được gọi là quá trình Markov nếu với bat kỳ thời điểm nào 0 < ti < to <.¡< tn, ta CO: P{Xu < Xa|Xi„ = X1,Xoq_ =4. “#r[n—1] =xm—n} = P{Xu < Xn|Xp(n—1) = Xn—1} Goi A là một khoảng trên trục số thực.
Khí đó, hàm P(x,s;t, A) được xác định bởi: P{x.s:t,A} = P{X, CAX, =x]:á <I được gọi là hàm xác suất chuyên đổi, hoặc hàm chuyền giao. Chú ý: e Qua trình Markov với không gian trang thái hữu hạn được gọi là chuỗi Markov. 11190387 — Nguyễn Thị Ngọc Anh 11 Chuyên đề thực tập chuyên ngành Toán Kinh tế e Hai quá trình Markov điển hình là chuyển động Brown và quá trình Poisson e_ Một quá trình Levy (quá trình với các bước tăng và điểm dừng độc lập) là một Markov e Quá trình Markov có thé là một quá trình Gaussian hoặc không. Khi một quá trình là cả Gaussian va Markov, nó được gọi là quá trình Gauss-Markov.
Chuyển động Brown là một quá trình Gauss-Markov. Nhung quá trình Poisson là Markov chứ không phải Gaussian. Ngoài ra, chúng ta cũng biết rằng các quá trình X, =l W | và X, = eW, (trong đó W, là chuyển động Brown thông thường) không phải là các quá trình Gaussian mà là Markov; trong khi quá trình t 0 không phải là một markov, mà là 1 quá trình Gaussian. MÔ HÌNH JUMP-DIFFUSION Ta quan sát thay rằng mô hình thông thường để biểu thị sự biến động giá của các tài sản tài chính có dạng: dxX(t) = n(t,X(t)dt + ơ(t,X(t)dW(t) trong đó X(t), u và ø lần lượt là giá trị của quá trình X tại thời điểm t, độ trôi và hệ số khuếch tán.
W(t) là một quá trình Wiener điển hình. Do có các dao động mạnh và rất lớn đối với X(t) xảy ra trong thực tế nên Merton khuyến nghị sử dụng mô hình dé giải thích cho những bước nhảy vọt này vào năm 1976. Do đó, ta có một quá trình khuếch tán bao gồm cả những bước nhảy trong đó. => Prob(dN(t) = 1) = Adt J(t,X(t_) dai diện cho biên độ của bước nhảy.
Kiểm định giả thuyết Jump-Diffusion Kiểm định giả thuyết Jump: Trong phạm vi bài nghiên cứu này, tác giả sẽ dựa vào kiêm định biến thiên của Barndorff-Nielsen và Shephard (2006) dé kiểm tra quá trình Jump. Ta có cặp giả thuyết: - Ho: Giá tài sản không tuân theo quá trình Jump (tức là không có Bước nhảy) - Hi: Giá tài sản tuân theo quá trình Jump (tức là giá tài sản có Bước nhảy) Miễn bác bỏ: Sử dụng thống kê z dé bác bỏ giả thuyết Ho: Giả thuyết Ho sẽ bị bác bỏ nêu | zq; | > | Za | với a = 0,05 Kiểm định giả thuyết khuếch tán: Vì quá trình Diffusion về cơ bản là một quá trình GBM, chúng ta có thê sử dụng cách kiểm tra quá trình GBM để kiểm tra quá trình Diffusion. Chúng ta có thé dùng kiểm định "Unit Root" - Dickey- Fuller. Xét quá trình {X,}, nếu {X;} là một GBM thì In(X,) là một quá trình BM.
Phương trình hồi quy của quá trình BM: Xp = Ap + 0iX¿;_1 Tuy Ta có cặp giả thuyết: hành H,:ư #1 Sử dụng thống kê t dé xem xét miền bác bỏ: Miền bác bỏ: | tas | > | t | Nếu Hp bị bác bỏ thì {X;} không phải là quá trình GBM, do đó chuỗi giá không phải là quá trình Diffusion. Ngược lại, nếu Họ được chấp nhận, {X,} là GBM và là quá trình Diffusion. ĐỊNH GIA QUYEN CHỌN TRONG THỊ TRƯỜNG PHÁI SINH 1. Giới thiệu về quyền chọn Hợp đồng QC là một hợp đồng cung cấp cho người mua quyền, nhưng không có nghĩa vụ, đê mua hoặc bán: 11190387 — Nguyễn Thị Ngọc Anh 13 Chuyên đề thực tập chuyên ngành Toán Kinh tế o_ Một số đơn vị cụ thê của tài sản cơ bản (số lượng) o Vào hoặc trước một thời điểm cụ thé trong tương lai (Thời gian) o Với giá được xác định tại thời điểm thỏa thuận hợp đồng (Giá) QC mua cấp cho người mua (người nắm giữ) quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, mua một tài sản cơ bản vào hoặc trước một ngày cụ thê trong tương lai với một mức giá cụ thể.
QC bán cung cấp cho người mua (người nắm giữ) quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, bán một tài sản cơ bản vào hoặc trước một ngày cụ thể trong tương lai với một mức giá cụ thể. Giá có định mà tại đó người mua QC có thể mua hoặc bán một tài sản được gọi là giá thực hiện. Quyền mua hoặc bán tài sản với giá có định chỉ kéo dài cho đến khi hết hạn. Người mua QC phải trả cho người bán QC một số tiền gọi là giá QC.
o C= giá QC mua hiện tại P = giá QC bán hiện tại ©O0C So = giá cô phiếu hiện tại T = thời gian đến ngày đáo hạn, tính theo năm. X = Giá thực hiện Sr = giá cổ phiếu khi hết hạn QC V = lợi nhuận của QC 1. Định giá quyền chọn Giả sử X là một quá trình ngẫu nhiên. Chúng ta nhìn vào không gian xác suất {Q,F,P,t[0,T]} được tạo ra bởi X, trong đó £2 là không gian mẫu, F là một tập hợp bao gồm tất cả các tập con của 42, P là thước đo xác suất và [0, T] là trục thời gian.
Dinh nghĩa I: Tập hợp tất cả các lần xuất hiện của các biến ngẫu nhiên tạo ra một bộ loc được đại diện bởi F;. Bộ lọc F: nay bao gồm toàn bộ thông tin có được cho đến thời điểm t. Kết quả là, ta có: Rạch, CF với mọi í¡ < f2. Trong tài chính, F; đại diện cho thông tin có thể truy cập được cho đến thời điểm t.
Việc phân tích kỹ lưỡng sigma đại số hoặc không gian định lượng không phải là mục tiêu của chương này. 11190387 — Nguyễn Thị Ngọc Anh 14 Chuyên đề thực tập chuyên ngành Toán Kinh tế Định nghĩa 2: Nếu X là một hàm có thê định lượng được trong (F;,, 42) với mọi i thì quá trình được cho là phù hợp với phép lọc {F;,, t; € [0, T];. Nói cách khác, nếu một quá trình ngẫu nhiên không thé dự đoán được trong tương lai, thì đó là một quá trình thích ứng. Một số phương trình vi phân ngẫu nhiên và lời giải: Mặc dù mục tiêu của chương nay không phải là trình bày một cách xử lý toàn diện về phép tính ngẫu nhiên nhưng ta sẽ xem xét một số phương trình vi phân ngẫu nhiên thường được sử dụng trong tài chính.
Quá trình đảo chiều về giá trị trung bình được mô tả bởi quá trình Ornstein-Uhlenbeck. Ứng dung của nó có thé được nhìn thấy trong các mô hình biến động lãi suất. Trong mô hình Black Scholes-Merton, GBM được sử dụng rộng rãi đề mô phỏng các chuyền động của tài sản.