Chương 6 Kiểm định giả thuyết thống kê 6.1 Một số khái niệm và định nghĩa 6.1 Giả thuyết thống kê Giả thuyết về quy luật phân phối xác suất của ĐLNN, về tham số đặc trưng của ĐLNN hoặc về tính độc lập của các ĐLNN được gọi là giả thuyết thống kê, kí hiệu là Ho Mội giả thuyết trái với giả thuyết Ho được gọi là đối thuyết, kí hiệu là Hỵ. Ho và Hỵ lập thành một cặp giả thuyết thống kê. Ta quy định: Khi đã chọn cặp giả thuyết Ho, Hi thì nếu bác bỏ Ho ta sẽ chấp nhận Hì- 6.2 Tiêu chuẩn kiểm định Để kiểm định cặp giả thuyết thống kê Ho và H1, từ đám đông ta chọn mẫu ngẫu nhiên : w = (X1, x2,. Dựa trên mẫu này ta xây dựng thống kê: G = f(x1,x2,.,xn,&o) trong đó ỚQ là một tham số liên quan đến Ho, sao cho nếu Ho đúng thì quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định.
Khi đó thống kê G được gọi là tiêu chuẩn kiểm, định.3 Miền bác bỏ Để xây dựng miền bác bỏ, ta sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất khá bé ta có thể coi nó không xảy ra trong một lần thực 97 hiện phép thử. Vì đã biết quy luật phân phối xác suất của G, nên với một xác suất a khá bé cho trước ta có thể tìm được miền wa, gọi là miền bác bỏ, sao cho nếu giả thuyết Ho đúng thì xác suất để G nhận giá trị thuộc miền Wa bằng a: P(G e Wa/Hữ) = a (6.1) Vì a khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có thể coi biến cố (G G Wa/Ho) không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. Nếu từ một mẫu cụ thể w = (æi, X2,., xn) ta tìm được giá trị thực nghiệm gtn = (aq, x2,., xn, ỡo) mà gtn 6 Wa (nghĩa là vừa thực hiện phép thử một lần đã thấy biến cố (Ge Wa/Ho) xảy ra) ta có cơ sở bác bỏ giả thuyết Ho. Ký hiệu wa là miền bù của wa.
Vì a khá bé nên 1 — a khá gần 1. Theo nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất khá gần ỉ ta có the coi nó sẽ xảy ra trong một lần thực hiện phép thử, nếu trong một lần lấy mẫu ta thấy gtn 6 wa thì giả thuyết Ho tỏ ra hợp lý, chưa có cơ sỏ bác bỏ Ho. Vì vậy ta có quy tắc kiểm định sau: Từ đám đông ta lấy ra một mẫu cụ thể kích thước n : w = (xỵ,X2,., Xn) và tính gtn. - Nếu gtn 6 wa thì bác bỏ Ho và chấp nhận H1.
- Nếu gtn ị wa thì chưa có cơ sở bác bỏ Ho- 6.4 Các loại sai lầm Theo quy tắc kiểm định trên ta có thể mắc hai loại sai lầm như sau: - Sai lầm loại một là sai lầm bác bỏ giả thiết Ho khi Ho đúng.1) ta có xác suất mắc sai lầm loại một bằng a. Giá trị a được gọi là mức ý nghĩa. - Sai lầm loại hai là sai lầm chấp nhận Ho khi chính nó sai. Nếu kí hiệu xác suất mắc sai lầm loại hai là ß thì ta có: P(G e Wa/Ho) = ß Sai lầm loại một và sai lầm loại hai có quan hệ mật thiết với nhau: Khi kích thước mẫu xác định, nếu giảm a thì ß tăng và ngược lại.
Do đó không thể lấy a bé tùy ý được. Người ta thường chọn a = 0,1;; 0,05; 0,01; 0,001.2 Kiểm định giả thuyết về kì vọng toán của một ĐLNN Giả sử ta cần nghiên cứu một dấu hiệu X thể hiện trên một đám đông. Kí hiệu EỢC) = ỊJL, Var(X) = ơ2, trong đó ịi chưa biết. Từ một cơ sỏ nào đó người ta tìm được ịi = ịiũ, nhưng nghi ngờ về điều này.
Vâi mức ý nghĩa a cho trước ta cần kiểm định giả thuyết Ho : ụ. = /Xo- Từ đám đông ta lấy mẫu: w — (Xi, X2, • •. ,Xn) và tính được các đặc trưng mẫu: *=ề và s'2 = - *)2 TI i=1 n — 1 ¿=1 Xét các trường hợp sau: 6.1 ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với cr2 đã biết Vì X có phân phối chuẩn nên: X ~ Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định (XDTCKĐ): (6.2) y/n Nếu Ho đúng thì ư ~ N(o, 1). Xét những bài toán cụ thể sau: Hq : ụ.
= ụ,Q Bài toán 1: < Hi : ịio Với a cho trước ta có thể tìm được ua sao ch°: ^*(1^1 > =a Theo 6.3 ta có miền bác bỏ: Wa = {utn : lutn| > UỊ} Trong đó: X — ụo ntn ơ’ ựn Bài toán 2: < 7/1 : fj, > Ho Với a cho trước, ta có thể tìm được Ua sao ch°: ^(^ > = a. Từ đó ta có miền bác bỏ: Wa = {utn : Utn 99 Ho : /z = Ho Bài toán 3: < Hỉ : H < Hữ Với a cho trước, ta có thể tìm được ua sao cho: p(u < — ua) = a. Từ đó ta có miền bác bỏ: wa = {utn : Utn < — ưQ} Phương pháp P-giá trị (P-Value) 1. Công thức tìm P-giá trị nÁ; ,,/k ux;.
Đỗi với bài toán < [#1 : H^ Mo Ta có P-giá trị = 2P(t7 > |ưfnI). Trong đó u ~ 7V(0,1) và Utn — x ơ^ũ y/n ' Ho-. Đối với bài toán Hi : M > Mo \ Ta có P-giá trị = PựJ > utn). Đối với bài toán M < Mo P1 : Ta có P-giá trị = P{u < Utn).
Kết luận sau khi tìm được P-giá trị a. Cách thứ nhất: - Nếu P-giá trị < 0,05 : Chưa có cơ sở để bác bỏ Hq - Nếu 0,01 < P-giá trị < 0, 05 : Có cơ sỏ để bác bỏ fỉ0 - Nếu P-giá trị < 0, 01 : Có cơ sở chắc chắn để bác bỏ Ho b. Cách thứ hai: Quy định trước mức ý nghĩa a. Tính P-giá trị rồi so sánh với a: - Nếu P-giá trị < a thì bác bỏ Ho 100 - Nếu F-giá trị > a chưa có cơ sở để bác bỏ ỈĨQ Chú ý 6.1 Các công thức tìm P-giá trị trên còn được dùng cho các bài toán kiểm định giả thuyết thống kê khác, trong đó có dùng tiêu chuẩn kiểm định u.1 Theo dõi 9 xí nghiệp may có số liệu thống kê về số phần trăm chi phí về điện trong giá thành sản phẩm như sau: 9% 11% 10,5% 11% 9,5% 10% 11,5% 10,5% 11% 1) Với mức ý nghĩa 0,05 có thể nói: hơn 10% giá thành sản phẩm của hàng may mặc dùng cho chi phí về điện hay không? 2) Tìm P-giá trị và kết luận với mức ý nghĩa 0,05.
Biết số phần trăm chi phí về điện trong giá thành sản phẩm của các xí nghiệp may là một ĐLNN phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1%. 1) Gọi X là số phần trăm chi phí về điện của xí nghiệp. Gọi X là số phần trăm chi phí trung bình về điện trẽn mẫu. Gọi U, là số phần trăm chi phí trung bình vệ điện trên đám đông.
2 Vì X có phân phối chuẩn nên: X ~ 7V(m,. Khi đó tìm được phân vị ua sao cho P(ụ > Ua) = a. Vì a khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: X — ịlQ Wa = {utn : Utn > UQ}, trong đó Utn = —-ã— y/ñ \ 101 Tra bảng ta có: ua — u0,05 = 1,65. Từ bảng số liệu thống kê ta tìm được X = 10,44444.
Khi đó: Suy ra Utn ị Wa nên ta chưa có cơ sở bác bỏ Hũ- Kết luận'. Với mức ý nghĩa a — 0,05 ta có thể nói rằng chi phí trung bình về điện trong các xí nghiệp may chiếm 10% giá thành của sản phẩm. 2) P-giá trị =p(u > 1,33332) — 0,0918 > 0,05, suy ra chưa có cơ sở để bác bỏ Hữ.2 ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với ơ2 chưa biết XDTCKĐ: _ X — ịJLữ (6.3) y/ñ Vì X có phân phối chuẩn, nếu Ho đúng thì T ~ T(n. I Ho : n = fj-o Bài toán 1: < ( Hì.
: M / Mo Với mức ý nghĩa a cho trước ta có thể tìm được -1) sao cho: P(|T| > 4n_1)) = a Từ đó ta có miền bác bỏ: = [ttn : |ítn| > í ạ 1}} trong đó : tin = — ,^° 2 s y/ñ Bài toán 2: : M > Mo Với mức ý nghĩa a cho trước ta có thể tìm được ía"-1) sao cho: P(T > ¿n_1)) = a 102 Từ đó ta có miền bác bỏ: Wa = {ttn : ítn > ¿n_1)} ' Ho ’ M = Mo Bài toán 3: < V M < ịiữ Với mức ý nghĩa a cho trước ta có thể tìm được ta"-1) sao cho: P(T < -íLn_1)) = a Từ đó ta có miền bác bỏ: wo = {ttn : ttn < -tLn_1)} Công thức P-giá trị (P-Value). Ho : = Mo Bài toán 1: < P1 : X - Mo P-giá trị = 2P(T > |ítn|), trong đó T ~ 7’(n_1),ítn = 22 y/ĩĩ 'h0: M = Mo Bài toán 2: < XH1 : M > Mo P-giá trị = P(T > ttn). M = Mo Bài toán 3: < M < Mo P-giá trị = P(T < íin).2 Công thức tìm P-giá trị trên còn dùng cho các bài toán kiểm định khác có dùng tiêu chuẩn kiểm định T. Sau khi tìm được P-giá trị, việc kết luận được tiến hành như trong mục 6.3 Khi ĐLNN có phân phối chuẩn, mặc dù ơ2 chưa biết, nhưng nếu kích thước mẫu n > 30 người ta thường dùng chuẩn u.
như trong mục 6. Đến khi tìm Utn ta lấy ơ « s'.2 Tiền cước hàng tháng phải trả của các máy điện thoại cố định là một ĐLNN phân phối chuẩn. Điều tra tiền cước phải trả của 16 máy, tính được trung bình mẫu là 145 nghìn đồng và độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh là 7,6864 nghìn đồng. 1) Với mức ý nghĩa 5% có thể nói rằng tiền cước tháng trung bình của mỗi máy là ít hơn 150 nghìn đồng hay không? 2) Tìm P-giá trị và kết luận.
1) Gọi X là tiền cước tháng phải trả của mỗi máy. Gọi X là tiền cước tháng trung bình của mỗi máy trên mẫu. là tiền cước tháng trung bình của mỗi máy trên đám đông. Ho : M = Mo (= 150) Với mức ý nghĩa a — 0,05 cần kiểm định: H1 ■ Mo XDTCKĐ: T = x ~/° ựn Nếu Ho đúng thì T ~ T<n_1\ Khi đó ta tìm được giá trị sao cho P(T < -t£n-x)) = a Vì a khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: = {tín : ttn < -t^n_1)} trong đó ttn = s y/ĩi Ta có ¿n_1) — ¿0^05 = 1,753, tín = 1 — -2,602 < -1,753 => ựĩẽ tin ẽ IVO.