Chương 1: HỆ THỐNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN STT HÀM THÔNG THƯỜNG HÀM SỐ HỢP Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 1. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm của tổng: 1.
Đạo hàm của tích: 1. Đạo hàm của thương: 1. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) skkn 5 1. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của trên Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số kí hiệu là 1.
TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số Định lí: Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn sao cho và với mọi Khi đó: 1. Phương pháp tích phân từng phần Định lí : Nếu và là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn thì , hay viết gọn là.
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Tính diện tích hình phẳng Bài toán 1: Cho hàm số liên tục trên đoạn. Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , thì diện tích miền phẳng H được tính theo công thức y y f (x) y f (x) b y 0 S f ( x ) dx (H ) x a a O a c1 c2 c3 b x x b Bài toán 2: Cho hàm số và liên tục trên đoạn. Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó hai đường thẳng , thì diện tích miền phẳng H skkn 6 được tính theo công thức y (C1): y f1(x) (C1) (C ): y f2 (x) (H ) 2 x a (C2 ) x b b a c1 c2 b x S f1 ( x ) f 2 ( x ) dx O a 1.
Thể tích vật thể 1. Thể tích của vật thể Bài toán: Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn. Khi đó, thể tích của vật thể B được tính theo công thức (V ) b x V S ( x )dx O a b x a S(x) 1. Thể tích khối tròn xoay Bài toán: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng , quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay.
Khi đó thể tích của nó được tính theo công thức y y f (x) (C ): y f (x) (Ox): y 0 b a f ( x ) dx 2 a V O b x x a x x b skkn 7 Chương 2: NỘI DUNG Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân trong đề thi THPT QG thì cần phải hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho bài toán tích phân dựa vào kiến thức cơ bản như sau: Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản Thứ hai: Học sinh biết các công thức nguyên hàm của hàm số thường gặp Thứ ba: Học sinh phải luyện cho mình cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, vì biết được dạng tích thì sẽ dễ dàng biết cách tính. Để nhận dạng tích phân cần tính, có thể nên tạo thành thói quen tự đặt cho mình những câu hỏi về hàm số dưới dấu tích phân theo thứ tự như sau: STT Câu hỏi Phương pháp đúng như câu hỏi đặt ra 1. Có phải dạng cơ bản không Chỉ việc áp dụng công thức cơ bản Có phân tích, biến đổi đại số, biến đổi Chỉ việc phân tích, biến đổi, rồi áp dụng 2. lượng giác,… đưa về dạng cơ bản được công thức không? Có tương tự dạng cơ bản, chỉ sai khác 3.
hằng số hoặc chỉ sai khác hệ số của biến Dùng phương pháp đổi biến số số không? Có thừa số nào hoặc biểu thức nào là đạo hàm đúng hoặc gần đúng (chỉ sai khác 4. Dùng phương pháp đổi biến số hệ số) của biểu thức khác trong hàm số dưới dấu tích phân không? Dùng phương pháp tích phân các hàm 5. Có thuộc loại tích phân hữu tỷ không? hữu tỷ đã học Có thuộc loại tích phân hàm số lượng Dùng phương pháp tích phân các hàm 6. giác không? lượng giác đã học Có thuộc loại tích phân các hàm vô tỷ Dùng phương pháp tích phân các hàm vô 7.
không? tỷ đã học Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến số, 8. Ngoài các loại trên? nếu không được, nên nghĩ đến việc dùng phương pháp tích phân từng phần skkn 8 2. TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 2. Phương pháp giải Sử dụng tính chất và công thức nguyên hàm cơ bản 1.
Chú ý: 1) Định lí dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc 2 2) Biểu thức chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối 3) Định nghĩa vi phân 4) Hàm số liên tục trên và tuần hoàn với chu kì T thì 5) Quy tắc đạo hàm của tích 2. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho Tích phân bằng A. 1 Lời giải: Ta có Chọn B. Câu 2: Cho Tính A.
Lời giải: Ta có Chọn D. Câu 3: Cho các hàm số liên tục trên có ; skkn 9. Lời giải: Ta có:. Câu 4: Tính tích phân A.
Lời giải: Chọn D. Câu 5: Cho hàm số liên tục trên đoạn có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị A. Lời giải:: skkn 10 Nhận xét: Ở bài toán này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh gọn.
Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tôi hướng dẫn học sinh giải bài toán theo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giải quyết bài toán. Câu 6: Cho các hàm số và có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn Tính tích phân A. Lời giải:: Ta có Chọn C. Câu 7: Cho các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn.
Lời giải:: Ta có (do ). Câu 8: Cho các hàm số có đạo hàm và liên tục trên đồng thời thỏa mãn và. Lời giải:: Ta có Lấy nguyên hàm hai vế skkn 11 Do Vậy. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho.
Câu 2: Cho hàm số thỏa mãn Tính A. Câu 4: Cho hàm số có đồ thị là đường gấp khúc như hình vẽ bên. 16 Câu 5: Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của ). Tích phân bằng A.
Câu 6: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn. Câu 7: Cho là hàm số liên tục trên và thỏa mãn điều kiện. skkn 12 Câu 8: Cho hàm số là hàm số xác định và có nguyên hàm liên tục trên R, tuần hoàn có chu kì là Biết Giá trị bằng A. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Ở phần này tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân so với dạng cơ bản thấy chỉ sai khác ở chỗ: biến số có nhân thêm hệ số hoặc sai khác hằng số hoặc đạo hàm một biểu thức sai khác với biểu thức còn lại một hệ số thì dùng phương pháp đổi biến số đặt ngay biểu thức đó bằng t để đưa tích phân đó về dạng cơ bản.
Phương pháp giải Định lí : a) Đổi biến số loại 1 Bước 1: Đổi biến số đặt Bước 2: Đổi cận Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân b) Đổi biến số loại 2 Bước 1: Đổi biến số đặt Bước 2: Đổi cận : Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân Chú ý : Một số dạng đặc biệt của tích phân 1) 2) Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau skkn 13 3) Nếu là hàm chẵn và liên tục trên thì 4) Nếu là hàm lẻ và liên tục trên thì 5) ,( là hàm số chẵn, liên tục trên ) 2. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho. Lời giải: Đặt Câu 2: Cho Tích phân bằng: A. 1010 Lời giải: Đặt đổi cận.
Câu 3: Cho hàm số liên tục trên và. Tính tích phân sau A. Lời giải: Đặt suy ra Đổi cận: Khi đó Chọn A. skkn 14 Câu 4: Cho hàm số liên tục trên và Tính tích phân A.
Lời giải: Xét Đặt suy ra Đổi cận Suy ra Xét Đặt suy ra Đổi cận Suy ra Vậy Chọn C. Câu 5: Cho các hàm số liên tục trên thỏa mãn với là số thực khác và Tính A. Lời giải: Áp dụng tính chất Từ giả thiết , lấy tích phân hai vế ta được Suy ra (do ). Xét tích phân Đặt , suy ra Đổi cận: Khi đó Từ và suy ra.
skkn 15 Câu 6: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Tính tích phân A. Lời giải: Xét. Đặt Suy ra Đổi cận: Khi đó Xét Đặt Suy ra Đổi cận: Khi đó Xét tích phân cần tính Đặt suy ra Đổi cận: Khi đó Chọn D. Câu 7: Cho hàm số liên tục trên và thỏa với mọi.
Lời giải: skkn 16 Đặt Đổi cận: Khi đó Suy ra Chọn D. Câu 8: Cho hàm số chẵn liên tục trên R và Tính A. Phương pháp: Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn. Lời giải: Đặt Đổi cận: (Vì là hàm số chẵn).
Do là hàm số chẵn Đặt Đổi cận. Câu 9: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và đều nhận giá trị dương trên đoạn và thỏa mãn Tính A. Phương pháp: Lời giải: skkn 17 Mà. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho.
Câu 2: Xét hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn Tính A. Câu 3 : Biết và , khi đó bằng A. Câu 4: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa với mọi Tích phân bằng A. Câu 5: Biết là hàm số liên tục trên và.
Câu 6: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn. Tính tích phân skkn 18 A. Câu 7: Cho hàm số liên tục trên. 6 Câu 8 : Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn Tính tích phân của.
Câu 9: Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa Tính tích phân A. Câu 10: Cho số thực .