Chương 1 HÀM CHỈNH HÌNH §1. KHÁI NIỆM VỀ HÀM BIẾN PHỨC 1°. Hàm giá trị phức biến thực Giả sử trên đoạn [a, b] c R cho hàm giá trị phức biến thực liên tục z(: [a, b] > C. Khi t biến thiên trên đoạn [a, b], điểm z{t) vạch nên tập hợp nào đó trên C.
Tập hợp đó cùng với thứ tự mà điểm Z(tbiến thiên khi tham sốt tăng liên tục từ a đến b (a < b) được gọi là đường “cong liên tục, còn phương trình: Z=2(t) = x(t) + iy(t), t € [a,b] qd) được gọi là phương trình tham số của đường cong. Như vậy, đường cong liên tục (1) là tập hợp có thứ tự trên C, nghĩa là nó luôn luôn được định hướng theo hướng tăng của tham số t. Hướng chuyển động của điểm z(Q đọc theo đường cong (1) tương ứng với hướng tăng của tham số t được gọi là hướng dương. Hai phương trình tham số Z= 2(t), t € [a, b] z= 2, (0), t € [a, bi] cùng xác định một đường cong liên tục khi và chỉ khi tồn tại hàm thực @() liên tục và đơn điệu tăng trên đoạn [a, b] sao cho @(a) = a,, (b) = bị Z) = z¡, 1 € [a, bị.
Đường cong liên tục (1) được gọi là đường cong Jordan (= đường cong không tự cắt) nếu Vf, t”; £ < t; £, t” œ [a,b) thì zŒ) # z(t"), z(t") # z(b). Nếu z{a) = z(b) thì (1) là đường cong đóng Jordan, còn nếu z(a) # z(b) thì (1) là đường cong không đóng. Đường cong đóng Jordan trên mặt phẳng phức C thường được gọi là chu tuyến. ¡_ Đường cong liên tực (1) được gọi là: -_ (¡) Đường cong trơn nếu trên [a,b] hàm z(t) có đạo hàm liên tục khác 0; () Đường cong trơn từng khúc nếu nó được lập nên từ một số hữu hạn đường cong trơn.
Tìm phương trình dưới dạng phức của đường tròn I(a; R) với tâm tại điểm a e C va bán kính R. Giải: Ta ký hiệu z - a = R. Đối với các điểm của T(a; R), ta có: R=|z-a|=R Do đó, phương trình cần fim có dạng: z - a = Re", trong đó acgumeng đóng vai trò tham số: Ví dụ 2. Cho phương trình đường cong dưới dạng phức z=3e" +2e”.
Hãy xác định dạng của đường cong đã cho. : Giải: Ta cố: z=x+iy=3e" +2e” © x=Scost,y=sint. Đó là phương trình tham số của đường cong. Khử tham số t ta có: ị Š=cost; =sim > 2 +y =] 5 “ 25 Do đó, đường cong đã cho là đường elip với các bán trục bằng 5 và 1.
e 2 <tsan 2(t)= 3t ——4,z<t<2ñ nt là đường cong không đóng với điểm tự cất là z = 1. Theo đó, các điểm' 1 3 ca : 2, = Z(0) Và 7z = (=) là những điểm khác nhau của đường cong mặc dù chúng là những điểm trùng nhau của mặt phẳng. Hãy xác định đường cong được cho bởi hàm z = isint, te [0z2n). Giải: Ta có 2(t) = isint = ờy =sint =0 Khi t e [0, 2x] thì sint nhận moi gid tri tir -1 dén +1.
Do d6, phuong trình đã cho biểu dién doan truc 40 -1<y<1. Đường cong đã cho là đường cong đóng (đó là đoạn thẳng kép!). Thật vậy, khi t = 0, t = 27 thi các đầu mút của đường cong trùng nhau và trùng với gốc toạ độ. Hơn thế nữa, mọi điểm của đường cong đều là điểm bội.
Thật vậy, nếu 0 < tạ< ® thì do sinty= sin (1 - ty, ta cd: Z(t\) = Z( - tụ, tụ € (0, T) Nếu 1 < ty< 22 thi do sin tạ= sin (3% - tạ) nên Aly) = ZŒt - 3tq), tọ € [x, 2m]. Như vậy đoạn [-1, 1] trên trục ảo được vòng hai lần. Hãy xác định đường trên mặt phẳng được cho bởi phương trình:. : an Tt z = sina.cht + icosasht, a € CS : 5 }tcR.
Giải: Ta có: z = x + 1y và do đố x =sinœcht y =cosasht,te R {2) Khi œ#0,ø #+ 2; từ) tà có: 2 2 “—==— =ch?t—sh?t=1 @) Sin“x cos“ơ Đó là phương trình hypecbôn. "Ta cần xét xem (2) có trùng với toàn bộ đường cong (3) hay không ? 11, Giả sử = <œ<0. Khi đó x = sinœcht < 0 vì cht > 0, Vt. Điều đó có nghĩa rằng các điểm của (2) chỉ có thể thuộc nhánh bên trái của 9 hypecbôn (3).
Khi t € R thi x biến thiên từ 0 đến -eo, còn y biến thiên từ - œ đến +œ. Do đó, đường cong (2) trùng với toàn bộ nhánh bên trái của hypecbôn. Tương tự như trên, dé dang thấy rằng (2) trùng với nhánh bèn phải của (3). Do đó, đường (2) là trục ảo của mặt phẳng z.
Với œ= 2" ta CÓ: x=cht y=0 Đó là phương trình tỉa x > 1 (vì cht > 1). Sau cùng, với œ = - 3° ta thu được: x=-cht y=0 Trong trường hợp này, đường đã cho là tia x < l của trục thực. BÀI TẬP TƯ GIẢI 1. Hãy xác định các đường cong được mô tả bởi các hàm phức biến thực sau đây: 1)z=a+(b-a)t,0<t<Il 2) z=t+ i, 0<t<œ 3)z=a.e" ade , O<tS2n (a>l) a 4)z=e™"-1 , O<t<2n 10 Trả lời: 1) Doan thang đi từ điểm z = a đến điểm z = b.
2) Nửa bên phải của parabôn y = xỶ đi từ 0 đến œ. OT ey 2 2 3) Elip —*—_ + —Y —— =1, có hướng ngược chiều kim đồng hồ. 4) Đường tròn | zt+l1 j=l được vòng quanh hai lần ngược chiều kim đồng hồ. Hãy xác định đường cong tương ứng với phương trình sau đây: z(1+e =1 Chỉ dẫn: Đặt z=x+iy =x=1 - dig? ¬.
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm phức biến thực z) def = lim |. xŒ¿) „¡yŒ¿ , +ÁU) _ e0] AO At At Hãy chứng tỏ rằng véctơ đạo hàm Z(t,) hướng theo tiếp tuyến với đường cong z(t) tai to. 4, Gia sit ham z(t) kha vi va khdc 0. Chitng minh cdc hé thttc sau day: HÀ =|z(0|Re“= <0.
2) —arg zt)=Im 22. Hàm sơ cấp Các hàm: hàm luỹ thừa tổng quát z” hàm mũ a” và hàm lôga log,z; các hàm lượng giác và hàm ngược của chúng được- gọi là các hầm sơ cấp cơ bản. 11 _ Các hàm sơ cấp cơ bản cùng với các hàm thu được từ các hàm ấy nhờ thực hiện một số hữu hạn lần các phép toán đại số và phép hợp hàm được gọi là hàm sơ cấp. 1) Hàm mũ: Giả sửz = x + iy.
Khi đó ' def | e* = e* (cosy+ isinx) Luu ¥ ring e**” =e” (cosy + isinx) =1 khi va chỉ khi e* =] x=0 cosy=1 <© |. y=2ka ,keZ siny =0 tức làc” =l<©© z=2kni, keZ ii) Hàm lôga được định nghĩa như là hàm ngược của hàm mũ. Nếu c”= z„ z # Ö thì số w được gọi là logarit của số z và ký hiệu 1A w = Lnz. Từ đó ta có ị w=u+iv=ln|z|+i(argz+2kx) , keZ ` hay là w=lnz=lnz +2km, keZ trong đó lnz = hị z|* largz là giá trịchính của Lnz , ii) Ham luỹ thừa tổng quát w = Z', a = a + iB được định nghĩa bởi đẳng thức z.
=eaLnz _¿ A[In|Z|+i(argz+2kr] | Đó là hàm vô số trị. Hàm luỹ thừa tổng quát chỉ đơn trị khi a e Z. Néu a= là phân thức tối giản thì z* = z"" là hàm n - trị. Trong mọi n trường hợp còn lại, nó là hàm vô số trị._ Giá trị chính của hàm luỹ thừa tổng quát là: | z a_ em iv) Hàm mũ tổng quát w=a”,az0,aeC at ` đef = e(hnayz _ ; [inJa|+ ¡ (arg a + 2k ]z .keZ 12 Giá trị chính của hàm mũ tổng quát là: a” “He (In|a|+iarg a)z v) Các hàm lượng giác ,._ #8 e7e wt a + @ ef sinz sinz = - > cosz = ———— ; tgz = 21 21 COSZ Khi z = x e R thì theo định nghĩa hàm mũ ta có: sinz = z_t cosx + isinx )-[cos(- x) + isin(- x)|= sinx 1 Tương tu khi z= x € R thi cosz = cosx, tgz = tgx.
Nhu vay, khi z= x €R, cdc ham luong gidc bién phitc tring véi cdc hàm lượng giác biến thực quen biết. CÁC VÍ DỤ Vi du 1. Tính giá trị cha: 1) i'; 2) cU#. ¬ i[al+i(CC-+2km)] _ Đi se se 727 TỦ so 202, keZ, Như vậy ï là số thực.
2) ep? weg VILA g 2[Inl+i(+2n)] =e 1@k*D2 = cos (2 +])n4J2 + isin(2k +1)wV/2. Hãy tính |sinzạ| khi zạ = + ilog(2+ +5). Giải: Giả sử z = x + 1y, khi đó w = sinz = sin (x + iy) = sinxchy + i cosxshy. Do vay sinz | | = ysin?x chy” + cos”x sh?y = ysin?x +sh’y.
va |sinz |, =|sin[ x +itn(2+¥5)I]=sh [n¢2 + ¥5)] 1 ¿nG+5) _-in@+5) tr 5) - 2 ~ 2 =2 13 Nhận xér: Từ ví dụ 2 suy ra rằng hàm sinus biến phức có thể nhận giá trị có mođun lớn hơn 1. Chứng tỏ rằng sinz, cosz, z e C không phải là những hàm bị chặn trên C. Giải: 1) Tacó: — |sinz|=-jsin°x+sh?y > | shy| 2) [cosz.|=-jcos”x + sh?y > | shy | Do đó, khi 2 rời xa trục thực, cùng với y tăng, mođun của sinz và của cosz đều tăng vô hạn. Giải phương trình sinz = 2.
Giải: Giả sử z = x + ¡y, khi đó ta có sinxchy =2, sinz =2 =| qd) cosxshy =0. Đầu tiên ta chứng tỏ rằng shy z 0. Thật vậy, nếu shy = 0 (hay y = 0) thì chy = ch0 = I và từ phương trình thứ nhất của (1) ta rút ra sinx = 2. Nhưng điều đó không thể xảy ra khi x e R.
Như vậy, shy z 0. Do đó, từ phương trình thứ hai của (1), ta lại có cosx = 0 và do vậy sinx = I. và khi đó chy = 2. 2+3 y=ln : - 2 : y=In 2-3 2 Tóm lại, phương trình sinz = 2 có các nghiệm phức sau đây: 2+3 z=2 +2km +iIn 2 và Z=2-+2kr+iIn 2-3 ,keZ 2 Ví dụ 5.
Chứng minh rằng, nếu a = œ + ¡B, Ð # 0 thì z * là hàm vô sé tri. Giải: Đặt z = re. Khi đó, Lnz = Inr + i (@ + 2kx). (2) 14 Từ (2) suy ra - |w|=e#tm#(e+e --.
(4 Từ (3) và (4) suy ra rằng với z và a cố định, các giá trị của z° nằm trên hệ đường tròn với bán kính R„ = e*t- 8e. c 2428 ~ R„ e 8 Jay thành hai cấp số nhân với công bội q = e ”"® nếu k dương, và cấp số nhân với công bội q = e7"* nếu k âm. Đồng thời, trên mỗi đường tròn vừa nêu, các giá trị trong (2) được sắp xếp sao cho argumen của chúng lập thành những cấp số cộng (xem (4)) với công sai + 2œ. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.