CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, tác giả trình bày một số kiến thức về hệ phương trình sai phân, thuật toán Putzer, công thức Jordan, sự ổn định của hệ tuyến tính, phương pháp Liapunov. Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [3], [14],[15]. Các ví dụ do tác giả đưa ra và phần chứng minh các định lý được trình bày chỉ tiết và rõ ràng hơn trong. tài liệu tham khảo.
Hệ Ô-tô-nôm. Hệ có dạng fi(n +1) = anfi(n) + arfo(n) +.1) Sin +1) = ana fi(n) + ane fo(n) +. + aux fe(n), được gọi là hệ phương trình sai phân tuyến tính Ô-tô-nôm cấp k hoặc bất biến theo th gian.1) có thể viết dưới dạng ma trận như sau: f(n +1) = Af(n), (1.2) trong dé f(n) = (fi(n), foln),-- fan)” € RA, A = (aj;) là ma trận thực cấp k x È không suy biến. Các hệ không Ô-tô-nôm hoặc không bắt biến theo thời gian sẽ được xem xét ở phần sau.
Néu ta dua vao dude np > 0, f(no) = fo, thi hé (1.2) dude gọi là hệ phương trình sai phân Ô-tô-nôm với điều kiện đầu. Bằng cách lặp đi lặp lại liên tiếp (hoặc bằng phép thế trực tiếp phương trình), ta được nghiệm.2) được cho bởi: f(n,no, fo) = A" fo, (13) trong đó, 4 = ƒ là ma trận đơn vị cấp k x k. 5 Ta thấy rằng ƒ(ng,nọ,#o) = A" fy = Ify = fo. Néu no = 0 thi nghiém (1.3) duge viét la f(n, fo), ho&c don gidn la f(n).
Khong mat tinh tổng quát, giả sử nọ = 0 va dat y(n — no) = ƒ(n).5) Trong lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm của hệ phương trình vi phân yy TT —=Afi(t), A/(Ð với điều kiện ban đầu được cho bởi ƒ(fạ) — /u, trong đó 4 là ma trận cấp kx kw eR la: f(t) Alto) fy, 1. Thuật toán Putzer của hệ rời rạc “Trong các phương trình vi phân, thuật toán Putzer được sử dụng để tính e'!, sau đây là một thuật toán tương tự để tính A", Cho A = (a¡) là một ma trận thực cấp & x È, trị riêng của A là một số thực hoặc số phức À sao cho 4£ = À£ với 0 # € € CẺ hay: (A-ANE=0.6) Phương trình (1.6) có nghiệm khác 0 khi và chỉ khi đet(A— A1) =0. Khai triển định thức trên, ta được phương trình: M+ ay! + aM? 4 + apa ta = (1.7) Phương trình (1.7) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A, À được gọi là giá trị riêng của A. Nếu Ai, Àa,.
À¿ là các giá trị riêng của ma trận 4 thì (1.7) được viết lại thành k pQ) = TT -A). (Cayley - Hamilton) (xem [15]) Cho A la mot ma tran 6 vuong bat kỳ cấp k x k. Khi dé, ma tran A thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó hay AB 4 ay A® + agA®? +. Với p(A) là đa thức đặc trưng của ma trận 4 thì ta có P(A) = po + pid t pod? +.
+ Pad";pi € Ry = 1,2. Goi Q(A) là ma trận liên hợp của ma trận A — XJ, tite la: QO) = Qo + Qid + Q2À? +. + Q,ÀẼ, Bằng cách sử dụng công thite: (adjA)A = (det A)I, ta có: Q(A)(A= AI) = det(A = ADI= p(T => Q(A)(A= AL)= pol + pill + po +.8) Mặt khác, ta cũng có: AF +(QeA— Qu) M- QM.8) ta được k =n — 1 và QA = pol QA-Q = pl QA-Qi = pol —Qk = Pal. Suy ra QA = pol QA’- QA = mA QA¥- QA? = pA -QA" = pA”.
7 Cộng các đẳng thức trên về theo về ta được: Onn = po + Pid + pd? +. Ta có thể biến đổi kết quả trên về dạng A™ + aA" + aA"? +. + dnl = Onn Định lý được chứng minh. Bây giờ cho A là ma trận cấp k x k.
Ta đi tìm khai triển của 4" dưới dạng: An=Ð2uj(n)M(j — 1) (110) ja với uy(n) là hàm số vô hướng sẽ được xác định sau, và: M) = (A= Aj1)M( - 1),M(0) = 1.11) Cho j lan luot các giá trị 1,2,3,. Nhân về theo về và rút gọn, ta được: M(n) = (A—AnD)(A— Anil). ja Vi vay, M(n) = 0,Yn > È.10) được viết lại thành: k An =S uj(n)M(j — 1). (114) ja Nếu ta cho n = 0, từ công thức (1.
8 Đẳng thức này thỏa mãn khi và chỉ khi ui (0) = 1; u2(0) = u3(0) =. (115) “Từ công thức (1. ja Biến đổi (1. “Thay vào đẳng thức trên, ta được: k k Yo uj(n+ YMG -1) =o uj(n) (MG) +A;MG-D].16) và áp dụng điều kiện (1.
Nghiệm của phương trình trên được cho bởi tin) = ÀỆ y(n) = Fwy a), 9 = 2,3, -.17) =o Phương trình (1.17) cùng nhau tạo thành một phương pháp. để tính 4", thuật toán này được gọi là thuật toán Putzer. Trị riêng của ma trận ⁄ được tìm bằng cách giải phương trình đặc trưng: -À 1 1 det(A— A7) =det[ =2 3-A 1 }=0 —3 1 4-À hay p(A) = \° — 7\2 + 16\ — 12 = 0. Giải phương trình này ta được Ài=Às=2,À; =3, ~2 1 M(0) =1,M(1) =A-22 = ( " 1].
-2 02 Ta có: u(n) = 2" 2h12 nơ! m1 tín) — = nt us(n) = $2392") = Vay An = 3jai uj(n)M(—1) nạn! _8m qấn — 3" — ng} |. = ~8"— n2!” (p+2)2! 243" 291 — 2,8" — n2"1 nộnhL cứ + 3" Vi dụ 1. Tìm nghiệm của phương trình z(n + 1) = Az(n). Trị riêng của ma trận 4 được tìm bằng cách giải phương trình đặc 12 Cho ®(n) là ma trận cấp & x k mà các cột là các nghiện tức là (n) = [2i(n),22(n),.
#z(n) là độc lập tuyến tính với mọi n > nọ, khi và chỉ khi ma trận ®(n) là ma trận không suy biền (det &(n) 4 0) với mọi n > no. Nếu ®(n) là ma trân không suy biến với mọi ø > no và thỏa mãn (1.21) thì nó được gọi là ma trận cơ sở của hệ phương trình (1. Nếu ®{n) là ma trận cơ sở va C la mot ma tran khong suy biến bắt là thì ®(n)Œ cũng là một ma trận cơ sở. Do ®(n) là một ma trận cơ sở nên ®(n) thỏa mãn công thức (1.
Vậy ®(n)C là một ma trận cơ sở. Như vậy có vô số ma trận cơ sở cho một hệ nhất định. Tuy nhiên, có một ma trận cơ sở mà chúng ta đã biết: nl O(n) = TJ AW, O(n) = 1. i=ng “Trong trường hgp A là một ma tran hằng trong hệ Ô-tô-nôm thì ®(n) = A’ va nếu nọ = 0 thì &(n) = A".
Do đó, việc sử dụng thuật toán Putzer 13 để tính toán ma trận cơ sở cho hệ Ô-tô-nôm là rất phù hợp.21) như một hệ phương trình gồm &? phương. trình sai phân tuyến tính cấp một. Như vay để chứng minh định lý này, chúng ta sử dụng “Sự tồn tại uà du nhất nghiệm”ở Định lý 1.2 để có được một nghiệm œ k”- vectơ sao cho: v(no) = (1,0,.)", trong đó, 1 i tri dau tiên, thứ k + 2,2& + 3,.0 ở các vị trí còn lại. Vectơ ø được chuyển thành ma trận W(n) cấp k x k bing cách nhóm các thành phần thành tập của & phần tử, trong đó mỗi tập là một cột.
Cho ®{n) là một ma trận cơs , vì vậy ma trận ®{n)®ˆ`(no) cũng là một ma trận cơ sở. Ma trận cơ sở đặc biệt này được kí hiệu bởi ®ín, nạ) và được gọi là ma trận chuyển tiếp trạng thái. Ta c6 thể viết ®(n,mm) = ®(n)®~!(m) với n,m là hai số nguyên dương, mà ñì > ïm. Ma tran cơ sở ®{(n,rm) có một số tính chất cơ bản sau: (i) ®ˆ{n,m) = ®(m,n); (i) #(n,m)= #(n, on r,m); (iii) ®(n,m) = il A(i Ching minh.
Do đó: na m— m a ona ®(n,m) = &(n)®"(m) = [Th Ali i I1 46) = ][ 40 —¬ — i=m Hệ quả 1. Nghiệm duy nhất z(n, nạ, +) của (1. Theo công thức (1.20), ta có: x(n, no, 20) [i140] in not ma T] A(i) = ®(n,no) theo tính chất 1. Theo công thức (1.
Giải phương trình trên ta được: n=l det ®ịn) =(il {det x0) det ®(ng).18), A là ma trận hằng thì đet ®(n) = [det 4]"”"° det ®(nụ). Theo công thức Abel, ta có: đetĐịn) = (il ) det (no) iil det A det (np) = [det A]””"° đet ®(ng). ÁMa trận cơ sở ®(n) là ma trận không suy biến uới moin > no khi tà e ¡ khi ®(ng) là ma trận không suy biến. Từ công thức Abel, ta có nà det &(n) = ( J leet x9) det &(no) sng mà ma trận cơ sở ®{(n) là ma trận không suy biến nên det ®(n) # 0.
Mat khác đet A; # 0 nên det ®(n) 4 0 + det &(ng) 4 0.z‡(n) là độc lập tuyến tính uới mọi n > no khi va chi khi ®(nạ) là ma trận không suy biến. Ta đã biết các nghiệm z¡(n), #a(n). „#(n) là độc lap tuy tính khi và chỉ khi ®(n) là ma trận không suy biến với mọi n > nụ. Từ Hệ quả 1.3 ta suy ra điều phải chứng minh.18) có k nghiệm độc lập tuyến tính uới mọi n > no.,0)7 là vectơ đợn vị trong RẺ, trong đó 1 ở vị trí thứ i.2, với mỗi e¡ € R*, tồn tại nghiệm #{n, nọ, e;) của (1.18) với x(no, no, € “Tiếp theo, ta sẽ chứng minh tập nghiệm {z(n, nọ, e;) |1 < ¿ < k} độc lập tuyến tính.
Vì ®(nạ) = I nên nó không suy biến. Theo Hệ quả 1.1 thì {z(n,nọ,e¡) [L< ¿ < k} độc lập tuyến tính. Một kết quả khá quan trọng là các nghiệm của hệ (1.18) đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng. Nếu zi(n),za(n) là hai nghiệm của (1.13) tà c € ® thà: (1) #i(n) + za(n) cũng là nghiệm của (1.
(3) cri(n) cũng là nghiệm của (1. Do đó, z(n) là nghiệm của phương trình thuần nhất (1. Tiếp theo, ta xây dựng công thức để tìm nghiệm riêng y,(n). Nghiệm riêng của (1.19) được cho bởi công thức mộ] yp(n) = Ð 2 ®(n,r + 1)g(r) tới (nạ) = 0.
Vay yp(n) là một nghiệm của (1. Nghiệm duy nhất của phương trình y(n +1) = A(n)y(n) + g(n) (1.27) vdi diéu kien dau y(no) = yo, duge cho bdi: nl y(n, No, yo) = ©(n, no)yo + D> O(n, r + 1)g(r), (1.28) 18 hoặc một cách rõ rùng hơn: mà mt fn y(n, no, yo) = (1 40) ywo+ ( Il 40) g(r)- (1.29) jane fem \iort Chitng minh. Sit dung Dinh ly 1.2 ta có: nal ty(n) = 32 ®(n,r + 1)g(r), do đó: y(n, no, yo) = ®(n,no)o + Yp(n, No, Yo) nt n—1 = (il A0} 9o + 3) Đ(n,r + 1)g(r) = (iis) + Š (is) g(r). Nếu A là ma trận hằng trong hệ Ô-tô-nôm thì nghiệm của (1.7) được cho bởi công thức y(n, No, yo) = A™™ yy + SO An=r=N(y), (1.