Chuyên Đề Hàm Số Bậc Hai: Lý Thuyết và Bài Tập Tự Luận

Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c, với a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Hệ số a quyết định hướng của parabol (lên nếu a > 0, xuống nếu a < 0). Hệ số b và hệ số c ảnh hưởng đến vị trí của đỉnh parabol và giao điểm với trục tung. Việc xác định chính xác các hệ số này là bước đầu tiên quan trọng trong việc khảo sát hàm số bậc hai và giải các bài toán liên quan. Ví dụ, hàm số y = 2x² - 3x + 1 là một hàm số bậc hai với a = 2, b = -3, và c = 1.

Miền xác định của hàm số bậc hai là tập hợp tất cả các giá trị x mà hàm số có nghĩa, thường là tập hợp số thực R (tức là mọi số thực). Tập giá trị của hàm số bậc hai là tập hợp tất cả các giá trị y mà hàm số có thể nhận. Tập giá trị này phụ thuộc vào hệ số a và tọa độ đỉnh parabol. Ví dụ, nếu a > 0, tập giá trị là [y_min, +∞), trong đó y_min là tung độ của đỉnh parabol.

Khi hàm số bậc hai xuất hiện trong căn bậc hai, ta cần đảm bảo biểu thức bậc hai không âm. Điều này dẫn đến việc giải bất phương trình bậc hai. Khi hàm số bậc hai xuất hiện trong mẫu số, ta cần đảm bảo biểu thức bậc hai khác 0. Điều này dẫn đến việc giải phương trình bậc hai và loại bỏ các nghiệm (nếu có) khỏi tập số thực. Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào biệt thức delta là kỹ năng quan trọng.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số y = √(x² - 4x + 3). Ta cần giải bất phương trình x² - 4x + 3 ≥ 0. Nghiệm của phương trình x² - 4x + 3 = 0 là x = 1 và x = 3. Do đó, tập xác định là (-∞, 1] ∪ [3, +∞). Học sinh cần luyện tập nhiều bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng giải bất phương trình và xác định tập xác định.

Bài toán này yêu cầu tìm giá trị của tham số m để hàm số xác định trên một tập hợp K cho trước. Phương pháp giải là tìm điều kiện xác định của hàm số theo m, sau đó đảm bảo rằng tập xác định D của hàm số chứa tập K (K ⊂ D). Ví dụ, cho hàm số y = 2/(x + x + m), tìm m để hàm số xác định trên . Điều kiện là x² + x + m ≠ 0 ∀x ∈ , tức là phương trình x² + x + m = 0 vô nghiệm, suy ra Δ < 0 hay 1 - 4m < 0 ⇒ m > 1/4.

Tọa độ đỉnh của parabol y = ax² + bx + c là (-b/2a, -Δ/4a), trong đó Δ = b² - 4ac là biệt thức delta. Trục đối xứng là đường thẳng x = -b/2a. Đây là những yếu tố quan trọng nhất để định vị và vẽ parabol một cách chính xác.

Giao điểm với trục tung là điểm có tọa độ (0, c). Giao điểm với trục hoành là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0. Số lượng giao điểm với trục hoành phụ thuộc vào dấu của biệt thức delta (Δ > 0: 2 giao điểm, Δ = 0: 1 giao điểm, Δ < 0: không có giao điểm).

Sau khi xác định đỉnh, trục đối xứng và giao điểm, ta vẽ parabol bằng cách nối các điểm này lại với nhau. Lưu ý đến hướng của parabol (lên nếu a > 0, xuống nếu a < 0) và tính đối xứng qua trục đối xứng. Có thể vẽ thêm một vài điểm đặc biệt để tăng độ chính xác.

Để giải các bài toán thực tế bằng hàm số bậc hai, ta cần xác định các biến và thiết lập mối quan hệ giữa chúng dưới dạng một hàm số bậc hai. Ví dụ, trong bài toán tối ưu hóa diện tích, ta có thể biểu diễn diện tích bằng một hàm số bậc hai theo một biến (ví dụ, chiều dài hoặc chiều rộng).

Giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai đạt được tại đỉnh parabol. Nếu a < 0, đỉnh là điểm cao nhất (giá trị lớn nhất). Nếu a > 0, đỉnh là điểm thấp nhất (giá trị nhỏ nhất). Áp dụng kiến thức này, ta có thể giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tế.

Cho rằng diện tích rừng nhiệt đới trên trái đất được xác định bởi hàm số S = 718,3 − 4, 6t , trong đó S được tính bằng triệu hec-ta, t tính bằng số năm kể từ năm 1990. Hãy tính diện tích rừng nhiệt đới vào các năm 1990 và 2018. Khi t = 0 (năm 1990), S = 718,3 triệu ha. Khi t = 28 (năm 2018), S = 718,3 - 4.6*28 = 589,5 triệu ha. Các bài toán thực tế có thể được biểu diễn bằng hàm số bậc hai.

Các dạng bài tập bao gồm: Tìm miền xác định, tập giá trị, tọa độ đỉnh parabol, phương trình trục đối xứng, vẽ đồ thị, tìm giao điểm, xét tính đồng biến, nghịch biến, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải phương trình, bất phương trình, và các bài toán liên quan đến tham số m.

Với mỗi dạng bài tập, cần có hướng dẫn giải chi tiết từng bước, kèm theo phân tích các lỗi thường gặp và cách khắc phục. Điều này giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề và tránh mắc sai lầm trong quá trình giải toán. Chú trọng vào việc rèn luyện tư duy logic và kỹ năng tính toán.

Để tìm phương trình tiếp tuyến parabol tại một điểm cho trước, ta cần tính đạo hàm của hàm số bậc hai tại điểm đó (để tìm hệ số góc của tiếp tuyến), sau đó sử dụng phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước.

Các bài toán chứa tham số m thường yêu cầu tìm giá trị của m để phương trình (hoặc bất phương trình) liên quan đến hàm số bậc hai có nghiệm, vô nghiệm, hoặc có số lượng nghiệm thỏa mãn một điều kiện nào đó. Cần sử dụng biệt thức delta và tương giao đồ thị để giải quyết các bài toán này.