Giáo trình Biến đổi z Xử lý tín hiệu số - Đại học Thủy Lợi (Phần 2)

Giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 dành cho sinh viên Đại học Thủy lợi. Nội dung tập trung vào các phương pháp phân tích và thiết kế bộ lọc số nâng cao.

• Trường học: Trường Đại học Thủy lợi
• Chuyên ngành: Xử lý tín hiệu số
• Đề tài: Biến đổi 𝒛
• Loại tài liệu: Giáo trình

Tóm tắt

I. Tổng quan về xử lý tín hiệu số phần 2 và biến đổi z

Giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi tập trung vào biến đổi z. Đây là công cụ cốt lõi để phân tích hệ thống tuyến tính bất biến. Phần một đã trình bày phân tích trong miền thời gian. Cách tiếp cận đó có giới hạn. Nó chưa thể hiện hết đặc tính của tín hiệu và hệ thống. Biến đổi z giải quyết vấn đề này. Nó chuyển tín hiệu rời rạc x(n) sang hàm phức X(z). Công thức định nghĩa là tổng vô hạn của x(n) nhân z mũ trừ n. Biến z là một số phức. Vì vậy X(z) là một hàm số phức. Mỗi biến đổi z luôn đi kèm miền hội tụ. Miền hội tụ là tập giá trị z làm X(z) hữu hạn. Giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi xây dựng kiến thức theo từng bước. Người học bắt đầu từ định nghĩa. Sau đó là các ví dụ đơn giản. Cuối cùng là ứng dụng vào hệ thống thực. Nội dung bám sát chương trình kỹ thuật điện tử viễn thông. Tài liệu phù hợp cho sinh viên năm ba và năm tư.

1.1. Vai trò của biến đổi z trong giáo trình

Biến đổi z đóng vai trò trung tâm trong giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi. Nó là cầu nối giữa lý thuyết và ứng dụng. Phép biến đổi này mô tả hệ thống tuyến tính bất biến một cách gọn gàng. Phép tích chập trong miền thời gian trở thành phép nhân trong miền z. Điều này giúp tính toán đơn giản hơn nhiều. Hàm truyền đạt H(z) xuất hiện từ đây. Nó đặc trưng đầy đủ cho hệ thống. Sinh viên dùng công cụ này để thiết kế bộ lọc số. Kiến thức nền tảng được củng cố qua nhiều ví dụ thực tế.

1.2. Cấu trúc nội dung phần 2

Phần 2 của giáo trình được tổ chức theo trình tự logic. Chương mở đầu bằng định nghĩa biến đổi z. Tiếp theo là khái niệm miền hội tụ. Phần giữa trình bày các tính chất quan trọng. Tính tuyến tính, dịch thời gian và tích chập đều được nêu rõ. Sau đó là biến đổi z ngược. Người học tra bảng để tìm lại tín hiệu gốc. Phần cuối phân tích điểm cực và điểm không. Vị trí điểm cực quyết định đặc tính hệ thống. Mỗi mục đều có ví dụ minh họa cụ thể. Cách trình bày này giúp sinh viên đại học Thủy Lợi dễ theo dõi.

II. Phân tích miền hội tụ và điểm cực trong tín hiệu số

Vấn đề trọng tâm của giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi là miền hội tụ. Mỗi biến đổi z phải chỉ rõ miền này. Thiếu nó, biểu diễn trở nên mơ hồ. Tín hiệu hữu hạn có miền hội tụ là toàn bộ mặt phẳng z. Có thể loại trừ điểm z bằng không hoặc z bằng vô cùng. Tín hiệu vô hạn phức tạp hơn. Ví dụ tín hiệu nhân quả tạo chuỗi cấp số nhân. Chuỗi này hội tụ khi z lớn hơn một giá trị nhất định. Điểm cực là nơi hàm X(z) tiến tới vô cùng. Vị trí điểm cực quyết định dạng tín hiệu trong miền thời gian. Điểm cực nằm trong vòng tròn đơn vị làm tín hiệu suy giảm. Điểm cực càng gần gốc tọa độ, tín hiệu suy giảm càng nhanh. Điểm cực trên vòng tròn đơn vị giữ biên độ không đổi. Cặp điểm cực liên hợp phức tạo tín hiệu dạng sin. Phân tích này giúp người học hiểu bản chất hệ thống. Đây là kỹ năng nền cho thiết kế bộ lọc. Giáo trình minh họa bằng nhiều hình vẽ trực quan.

2.1. Xác định miền hội tụ của tín hiệu

Miền hội tụ là tập giá trị z làm biến đổi z hữu hạn. Quy tắc xác định phụ thuộc dạng tín hiệu. Tín hiệu nhân quả có miền hội tụ nằm ngoài vòng tròn bán kính r. Tín hiệu phản nhân quả có miền hội tụ nằm trong vòng tròn. Tín hiệu hai phía cho miền hội tụ dạng vành khuyên. Giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi nhấn mạnh quy tắc này. Sinh viên phải vẽ được miền hội tụ trên mặt phẳng phức. Việc xác định đúng giúp tránh nhầm lẫn khi tìm biến đổi z ngược.

2.2. Ý nghĩa vị trí điểm cực

Vị trí điểm cực mang nhiều thông tin về hệ thống. Điểm cực bên trong vòng tròn đơn vị cho tín hiệu tắt dần. Điểm cực trên vòng tròn giữ biên độ ổn định. Điểm cực ngoài vòng tròn làm tín hiệu tăng vô hạn. Khoảng cách từ điểm cực tới gốc tọa độ quyết định tốc độ suy giảm. Cặp điểm cực liên hợp phức tạo dao động hình sin. Điểm cực kép trên vòng tròn làm tín hiệu tăng dần. Hiểu rõ điều này, người học dự đoán được đáp ứng hệ thống mà không cần tính lại trong miền thời gian.

III. Phương pháp hàm truyền đạt và xét tính ổn định

Giải pháp phân tích hệ thống trong giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi là hàm truyền đạt. Trong miền thời gian, đầu ra bằng đầu vào tích chập với đáp ứng xung. Tích chập khó tính trực tiếp. Biến đổi z biến phép này thành phép nhân. Khi đó Y(z) bằng X(z) nhân H(z). Hàm truyền đạt H(z) là tỉ số Y(z) trên X(z). Với hệ thống mô tả bằng phương trình sai phân hệ số hằng, H(z) là một hàm hữu tỉ. Tử số và mẫu số là đa thức của z. Nghiệm mẫu số là điểm cực. Nghiệm tử số là điểm không. Tính ổn định gắn liền với miền hội tụ. Một hệ thống ổn định khi miền hội tụ của H(z) chứa vòng tròn đơn vị. Hệ thống nhân quả có miền hội tụ nằm ngoài điểm cực xa nhất. Kết hợp hai điều kiện cho kết luận quan trọng. Hệ thống nhân quả ổn định khi mọi điểm cực nằm trong vòng tròn đơn vị. Phương pháp này áp dụng trực tiếp vào thiết kế bộ lọc số. Nó là công cụ làm việc hằng ngày của kỹ sư tín hiệu.

3.1. Xây dựng hàm truyền đạt H z

Hàm truyền đạt được xây dựng từ phương trình sai phân. Áp dụng biến đổi z cho cả hai vế. Tính chất dịch thời gian biến trễ mẫu thành nhân z mũ âm. Sắp xếp lại các số hạng thu được tỉ số đa thức. Tử số chứa các hệ số đầu vào. Mẫu số chứa các hệ số đầu ra. Phân tích thành phân thức đơn giản giúp tìm đáp ứng xung. Giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi hướng dẫn từng bước rõ ràng. Sinh viên tra bảng biến đổi z để khôi phục h(n). Cách làm này nhanh và ít sai sót.

3.2. Điều kiện ổn định và nhân quả

Tính ổn định và nhân quả là hai điều kiện riêng biệt. Một hệ thống nhân quả có thể ổn định hoặc không. Một hệ thống ổn định có thể nhân quả hoặc không. Điều kiện ổn định yêu cầu miền hội tụ chứa vòng tròn đơn vị. Điều kiện nhân quả yêu cầu miền hội tụ nằm ngoài điểm cực. Khi kết hợp, mọi điểm cực phải nằm trong vòng tròn đơn vị. Đây là tiêu chí kiểm tra nhanh trong giáo trình. Với hệ thống có điểm cực ngoài vòng tròn, chọn miền hội tụ phù hợp sẽ đổi tính chất của đáp ứng xung.

IV. Ứng dụng và kết luận về giáo trình phần 2 Thủy Lợi

Giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi không dừng ở lý thuyết. Nó hướng tới ứng dụng thực tế. Biến đổi z là nền tảng thiết kế bộ lọc số. Kỹ sư dùng nó để lọc nhiễu trong tín hiệu đo lường. Trong ngành thủy lợi, cảm biến đo mực nước tạo ra tín hiệu rời rạc. Xử lý các tín hiệu này cần bộ lọc ổn định. Phân tích điểm cực giúp đảm bảo bộ lọc không phân kỳ. Hàm truyền đạt cho phép mô phỏng hệ thống trước khi triển khai. Kiến thức này còn áp dụng cho xử lý ảnh và âm thanh. Tóm lại, phần 2 trang bị công cụ toán học mạnh mẽ. Người học nắm được định nghĩa biến đổi z. Người học hiểu vai trò của miền hội tụ. Người học biết xét tính ổn định qua vị trí điểm cực. Đây là hành trang vững chắc cho công việc kỹ thuật. Giáo trình viết rõ ràng và nhiều ví dụ. Nó phù hợp cho cả tự học lẫn học trên lớp. Sinh viên đại học Thủy Lợi nên ôn kỹ nội dung này trước kỳ thi.

4.1. Ứng dụng trong thiết kế bộ lọc số

Bộ lọc số là ứng dụng quan trọng nhất của biến đổi z. Thiết kế bắt đầu từ yêu cầu đáp ứng tần số. Kỹ sư đặt điểm cực và điểm không trên mặt phẳng z. Vị trí này quyết định băng thông và độ dốc. Điểm cực phải nằm trong vòng tròn đơn vị để bộ lọc ổn định. Giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi giải thích nguyên lý này. Trong thực tế, bộ lọc loại bỏ nhiễu khỏi tín hiệu cảm biến. Kết quả là dữ liệu sạch và đáng tin cậy hơn cho hệ thống giám sát.

4.2. Lời khuyên ôn tập cho sinh viên

Ôn tập hiệu quả cần đi theo trình tự. Trước tiên, nắm vững công thức định nghĩa biến đổi z. Sau đó luyện xác định miền hội tụ cho nhiều dạng tín hiệu. Tiếp theo, làm thành thạo biến đổi z ngược bằng cách tra bảng. Cuối cùng, giải các bài toán xét ổn định và nhân quả. Vẽ mặt phẳng z cho mỗi bài là thói quen tốt. Giáo trình xử lý tín hiệu số phần 2 đại học Thủy Lợi có nhiều bài tập mẫu. Làm lại các ví dụ trong sách giúp ghi nhớ lâu. Sự kiên trì luyện tập sẽ mang lại kết quả cao trong kỳ thi.

Trích đoạn nội dung tài liệu

GIÁO TRÌNH XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ BIẾN ĐỔI 𝒛 Chương trước, ta đã tìm hiểu việc phân tích tín hiệu và hệ thống trong miền thời gian, tuy nhiên kỹ thuật này có một số điểm hạn chế do chưa thể hiện được các đặc tính khác của tín hiệu và hệ thống. Trong chương này, chúng ta tìm hiểu thêm một kỹ thuật phân tích khác, đó là biến đổi 𝑧. Đây là công cụ quan trọng trong phân tích và mô tả đặc tính hệ thống tuyến tính bất biến. BIẾN ĐỔI 𝒛 Định nghĩa biến đổi 𝐳 Biến đổi 𝑧 của tín hiệu rời rạc 𝑥(𝑛) được định nghĩa như sau: ∞ 𝑋(𝑧) ≡ ∑ 𝑥(𝑛) 𝑧 −𝑛 (3.1) 𝑛=−∞ trong đó, z là một biến số phức. Biến đổi 𝑧 được ký hiệu như sau: 𝑋(𝑧) ≡ 𝑍{𝑥(𝑛)} (3.2) Hoặc chúng ta có thể mô tả mối quan hệ giữa 𝑥(𝑛) và 𝑋(𝑧) như sau: 𝑧 𝑥(𝑛) ↔ 𝑋(𝑧) (3.3) Biến đổi 𝑧 đã chuyển dạng biểu diễn của tín hiệu: từ dạng biểu diễn trên miền thời gian, 𝑥(𝑛) sang dạng biểu diễn trên miền 𝑧, 𝑋(𝑧). Với 𝑧 là một biến phức, 𝑋(𝑧) là một hàm số phức. Theo công thức (3.1), nếu tín hiệu 𝑥(𝑛) là dãy vô hạn thì 𝑋(𝑧) cũng là chuỗi lũy thừa vô hạn. Trong trường hợp 𝑋(𝑧) là một chuỗi luỹ thừa vô hạn, sẽ tồn tại một tập các giá trị của 𝑧 làm cho 𝑋(𝑧) hội tụ. Vậy ta có khái niệm Miền hội tụ (MHT) của 𝑋(𝑧) là tập hợp tất cả các giá trị của 𝑧 làm cho 𝑋(𝑧) có giá trị hữu hạn. Do đó, khi thực hiện một biến đổi 𝑧, ta luôn phải chỉ ra MHT của nó. Chúng ta sẽ minh họa điều này qua một số ví dụ đơn giản.1 Xác định biến đổi 𝑧 của các tín hiệu hữu hạn sau: a. Từ công thức định nghĩa (3. 𝑋1 (𝑧) = 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 4𝑧 −3 , MHT: toàn bộ mặt phẳng 𝑧 trừ điểm 𝑧 = 0. 𝑋2 (𝑧) = 𝑧 + 2 + 3𝑧 −1 + 4𝑧 −2 , MHT: toàn bộ mặt phẳng 𝑧 trừ điểm 𝑧 = 0 và 𝑧 = ∞. 𝑋3 (𝑧) = 𝑧 −2 + 2𝑧 −3 + 3𝑧 −4 + 4𝑧 −5 , MHT: toàn bộ mặt phẳng 𝑧 trừ điểm 𝑧 = 0. 𝑋4 (𝑧) = 1, MHT: toàn bộ mặt phẳng 𝑧. Áp dụng công thức (3. 𝑧 −𝑛 𝑛=−∞ 𝑛=0 = 1 + 𝑧 −1 + 𝑧 −2 + ⋯ 𝑋5 (𝑧) là một chuỗi lũy thừa vô hạn hay nói cách khác 𝑋5 (𝑧) là tổng một cấp số nhân có công bội 𝑧 −1 . Do đó, 𝑋5 (𝑧) hội tụ tại giá trị: 1 𝑋5 (𝑧) = 1 − 𝑧 −1 với điều kiện |𝑧 −1 | < 1 hay |𝑧| > 1. Vậy miền hội tụ của biến đổi 𝑧 trên là: |𝑧| > 1 f. Tín hiệu 𝑥6 (𝑛) gồm một dãy vô hạn các giá trị khác không như sau: 1 1 2 1 3 𝑥6 (𝑛) = {1, , ( ) , ( ) , … } ↑ 2 2 2 Áp dụng công thức (3.1), ta có biến đổi 𝑧 của 𝑥(𝑛) như sau: 1 1 −1 1 2 −2 1 𝑛 −𝑛 𝑋6 (𝑧) = 1 + ( ) 𝑧 + ( ) 𝑧 + ⋯ + ( ) 𝑧 + ⋯ 2 2 2 ∞ 1 −1 𝑛 = ∑( 𝑧 ) 2 𝑛=0 Đây là một chuỗi vô hạn và hội tụ tại: 1 𝑋6 (𝑧) = 1 1 − 2 𝑧 −1 1 1 với điều kiện |2 𝑧 −1 | < 1. Vậy biến đổi 𝑧 của 𝑥6 (𝑛) là 𝑋6 (𝑧) với MHT: |𝑧| > 2 Từ ví dụ này ta dễ dàng thấy rằng MHT của tín hiệu hữu hạn là toàn bộ mặt phẳng 𝑧, có thể loại trừ điểm 𝑧 = 0 và/hoặc 𝑧 = ∞. Nhìn theo quan điểm toán học, biến đổi 𝑧 chỉ đơn giản là một cách biểu diễn khác của tín hiệu 𝑥(𝑛). Như trong Ví dụ 3.1 ta có thể thấy các hệ số của 𝑧 −𝑛 chính là giá trị của tín hiệu tại thời điểm n, số mũ của 𝑧 chính là các giá trị thời gian tương ứng của các mẫu của tín hiệu. Miền hội tụ của biến đổi 𝒛 𝑧 là một biến số phức, các giá trị của nó được biểu diễn trên mặt phẳng phức 𝑧 với hai trục là: trục thực 𝑍𝑒[𝑧] và trục ảo 𝐼𝑚[𝑧]. Như đã nói ở trên, miền hội tụ của biến đổi 𝑧 là tập hợp tất cả các giá trị của 𝑧 làm cho 𝑋(𝑧) có giá trị hữu hạn. Do đó, MHT của biến đổi 𝑧 là một miền biểu diễn trên mặt phẳng phức 𝑧 Hình 3-1 Mặt phẳng 𝐳 Biến số phức 𝑧 được biểu diễn trong toạ độ cực là: 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑗𝜃 (3.5) 𝑛=−∞ 𝑛=−∞ 𝑛=−∞ ≤∞ Do vậy, |𝑋(𝑧)| là hữu hạn nếu dãy 𝑥(𝑛)𝑟 −𝑛 khả tổng tuyệt đối. Như vậy, miền MHT của 𝑋(𝑧) sẽ phụ thuộc vào khoảng giá trị của 𝑟 để cho dãy 𝑥(𝑛)𝑟 −𝑛 là khả tổng tuyệt đối. Ta biến đổi thêm (3.6) 𝑟 𝑟 𝑛=−∞ 𝑛=0 𝑛=1 𝑛=0 Nếu 𝑋(𝑧) hội tụ trong một miền nào đó thì hai tổng chuỗi trong công thức (3.6) cũng phải có giá trị hữu hạn trong miền này. Để ∞ ∑|𝑥(−𝑛)𝑟 𝑛 | ≤ ∞ 𝑛=1 phải tồn tại một giá trị 𝑟 đủ nhỏ để dãy 𝑥(−𝑛)𝑟 𝑛 với 1 ≤ 𝑛 < ∞ là dãy khả tổng tuyệt đối. Gọi giá trị là 𝑟1, miền được bao quanh bởi đường tròn có bán kính 𝑟1 này sẽ là MHT của tổng chuỗi này. Hay nói cách khác, miền này là miền |𝑧| < 𝑟1 và được minh hoạ là phần gạch chéo trong Hình 3-2(a). Mặt khác để cho tổng chuỗi thứ hai của (3.6) có giá trị hữu hạn, nghĩa là: ∞ 𝑥(𝑛) ∑| |<∞ 𝑟𝑛 𝑛=0 𝑥(𝑛) phải tồn tại một giá trị 𝑟2 đủ lớn để cho dãy 𝑟 𝑛 , 0  n   là khả tổng tuyệt đối, nghĩa là |𝑧| > 𝑟2 . Do vậy, MHT của tổng này sẽ gồm tất cả các điểm nằm ngoài đường tròn bán kính 𝑟2 như trong Hình 3-2(b). Do đó, miền hội tụ của 𝑋(𝑧) là giao của hai miền hội tụ trên. Vậy nếu 𝑟2 ≥ 𝑟1 , hai miền hội tụ không giao nhau, 𝑋(𝑧) = ∞, ∀𝑧, như vậy không tồn tại 𝑋(𝑧). Nếu 𝑟2 < 𝑟1 , MHT của 𝑋(𝑧) sẽ là miền vành khuyên như trong Hình 3-2(c). Hình 3-2 Miền hội tụ của 𝐗(𝐳) và các thành phần nhân quả, phi nhân quả tương ứng 1 Như vậy, miền hội tụ trong Ví dụ 3.1f là miền nằm ngoài đường tròn bán kính 2 trong mặt phẳng phức 𝑧. Ta xét thêm ví dụ sau: VÍ DỤ 3.2 Xác định biến đổi 𝑧 của tín hiệu: 0, 𝑛≥0 1 𝑛 𝑥(𝑛) = − ( ) 𝑢(−𝑛 − 1) = { 1 𝑛 2 −( ) , 𝑛 ≤ −1 2 Lời giải. Từ định nghĩa (3. Áp dụng công thức: 𝐴 𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 + ⋯ = 𝐴(1 + 𝐴 + 𝐴2 + ⋯ ) = , với |𝐴| < 1 1−𝐴 ta có: 2𝑧 1 1 𝑋(𝑧) = − = , với |2𝑧| < 1 hay |𝑧| < 1 − 2𝑧 1 − 1 𝑧 −1 2 2 Vậy, kết luận lại ta có: 1 𝑛 𝑧 1 1 𝑥(𝑛) = − ( ) 𝑢(−𝑛 − 1) ↔ 𝑋(𝑧) = −1 với MHT: |𝑧| < 2 1 − 𝑎𝑧 2 1 Như vậy MHT của biến đổi 𝑧 trên là miền nằm trong đường tròn bán kính 2.2 ta thấy dãy (2) 𝑢(𝑛) và dãy − (2) 𝑢(−𝑛 − 1) có biến đổi 𝑧 giống nhau: 1 𝑍{𝑎𝑛 𝑢(𝑛)} = 𝑍{−𝑎𝑛 𝑢(−𝑛 − 1)} = 1 − 𝑎𝑧 −1 Điều này có nghĩa là một biểu thức biến đổi z không ứng với một dãy tín hiệu miền thời gian duy nhất. Tuy nhiên, MHT của hai tín hiệu này lại khác nhau. Như vậy, tín hiệu rời rạc 𝑥(𝑛) được xác định duy nhất một biểu thức biến đổi 𝑧, là 𝑋(𝑧) và miền hội tụ của nó. Do đó, khái niệm "biến đổi 𝑧" của một tín hiệu bao gồm cả biểu thức toán và miền hội tụ của nó.1f ta thấy rằng (2) 𝑢(𝑛) là dãy nhân quả và có MHT là miền bên ngoài đường tròn bán kính 1 1 𝑛 , trong khi MHT của dãy phản nhân quả − (2) 𝑢(−𝑛 − 1) nằm bên trong đường tròn bán kính 2 1 . Tiếp theo, chúng ta xét một dãy vô hạn hai phía trong ví dụ dưới đây: 2 VÍ DỤ 3.3 Xác định biến đổi 𝑧 của tín hiệu sau: 𝑥(𝑛) = 𝑎1𝑛 𝑢(𝑛) + 𝑎2𝑛 𝑢(−𝑛 − 1) Lời giải. Tín hiệu 𝑥(𝑛) có thể viết lại như sau: 𝑎𝑛 với 𝑛 ≥ 0 𝑥(𝑛) = { 1𝑛 𝑎2 với 𝑛 < 0 Từ định nghĩa (3.1), biến đổi 𝑧 của 𝑥(𝑛): ∞ −1 𝑋(𝑧) = ∑ 𝑎1𝑛 𝑧 −𝑛 + ∑ 𝑎2𝑛 𝑧 −𝑛 𝑛=0 𝑛=−∞ ∞ +∞ = ∑(𝑎1 𝑧 −1 )𝑛 + ∑(𝑎2−1 𝑧)𝑙 𝑛=0 𝑙=1 Ta có, tổng chuỗi lũy thừa thứ nhất sẽ có giá trị hữu hạn nếu |𝑎1 𝑧 −1 | < 1 hay |𝑧| > |𝑎1 |. MHT của tổng chuỗi lũy thừa thứ hai là |𝑎2−1 𝑧| < 1 hay |𝑧| < |𝑎2 |. Vậy, MHT của 𝑋(𝑧) sẽ là giao của hai miền trên. Tùy thuộc vào các giá trị của 𝑎1 và 𝑎2 ta có các trường hợp như sau: Trường hợp 1: |𝒂𝟐 | ≤ |𝒂𝟏 | Trong trường hợp này hai miền hội tụ không chồng lên nhau, Hình 3-3(a). Do đó không có giá trị của 𝑧 cho cả hai chuỗi luỹ thừa cùng hội tụ. Vậy trong trường hợp này 𝑋(𝑧) không tồn tại. Trường hợp 2: |𝒂𝟐 | > |𝒂𝟏 | Trong trường hợp này, miền hội tụ là miền vành khăn giao của hai miền hội tụ như trong Hình 3-3(b). Ta có: 𝑧 1 1 𝑥(𝑛) = 𝑎1𝑛 𝑢(𝑛) + 𝑎2𝑛 𝑢(−𝑛 − 1) ↔ 𝑋(𝑧) = − 1 − 𝑎1 𝑧 −1 1 − 𝑎2 𝑧 −1 với MHT là |𝑎1 | < |𝑧| < |𝑎2 | Hình 3-3 MHT của biến đổi z trong Ví dụ 3.3 Ta thấy MHT của tín hiệu vô hạn hai phía là một hình vành khuyên trên mặt phẳng 𝑧. Từ các ví dụ trên, ta thấy rằng MHT của tín hiệu phụ thuộc vào dạng của nó (tín hiệu hữu hạn hay vô hạn) và cả tính chất của tín hiệu (tín hiệu nhân quả, phản nhân quả, tín hiệu vô hạn cả hai phía). Chúng tôi tổng kết MHT của các dạng tín hiệu trên trong Bảng 3-1. Bảng 3-1 Họ các tín hiệu và MHT tương ứng của chúng Tín hiệu MHT Tín hiệu hữu hạn Nhân quả Toàn bộ mặt phẳng 𝑧 ngoại trừ 𝑧 = 0 Phản nhân quả Toàn bộ mặt phẳng 𝑧 ngoại trừ 𝑧 = ∞ Hai phía Toàn bộ mặt phẳng 𝑧 ngoại trừ 𝑧 = 0 và 𝑧 = ∞ Tín hiệu vô hạn Nhân quả |𝑧| > 𝑟2 Phản nhân quả |𝑧| < 𝑟1 Hai phía 𝑟2 < |𝑧| < 𝑟1 Biến đổi 𝑧 được định nghĩa trong (3.1) được gọi là biến đổi 𝑧 hai phía. Chúng ta có công thức biến đổi z một phía được định nghĩa như sau: ∞ 𝑋(𝑧) ≡ ∑ 𝑥(𝑛) 𝑧 −𝑛 (3.