chương 1 này, chúng ta nghiên cứu về các vấn đề biểu diễn, phân tích, nhận dạng, thiết kế và thực hiện hệ thống rời rạc. TÍN HIỆU RỜI RẠC 1. Định nghĩa tín hiệu: Tín hiệu là một đại lượng vật lý chứa thông tin (information). Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bằng một hàm của một hay nhiều biến độc lập.
Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý được biến đổi theo qui luật của tin tức. Về phương diện toán học, các tín hiệu được biểu diễn như những hàm số của một hay nhiều biến độc lập. Chẳng hạn, tín hiệu tiếng nói được biểu thị như một hàm số của thời gian còn tín hiệu hình ảnh thì lại được biểu diễn như một hàm số độ sáng của hai biến số không gian. Mỗi loại tín hiệu khác nhau có các tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất, chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu.
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biên thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần số X(f) hay X( ). Trong giáo trình này, chúng ta qui ước (không vì thế mà làm mất tính tổng quát) tín hiệu là một hàm của một biến độc lập và biến này là thời gian. Giá trị của hàm tương ứng với một giá trị của biến được gọi là biên độ (amplitude) của tín hiệu. Ta thấy rằng, thuật ngữ biên độ ở đây không phải là giá trị cực đại mà tín hiệu có thể đạt được.
Phân loại tín hiệu: Tín hiệu được phân loại dựa vào nhiều cơ sở khác nhau và tương ứng có các cách phân loại khác nhau. Ở đây, ta dựa vào sự liên tục hay rời rạc của thời gian và biên độ để phân loại. Có 4 loại tín hiệu như sau: - Tín hiệu tương tự (Analog signal): thời gian liên tục và biên độ cũng liên tục. - Tín hiệu rời rạc (Discrete signal): thời gian rời rạc và biên độ liên tục.
Ta có thể thu được một tín hiệu rời rạc bằng cách lấy mẫu một tín hiệu liên tục. Vì vậy tín hiệu rời rạc còn được gọi là tín hiệu lấy mẫu (sampled signal). - Tín hiệu lượng tử hóa (Quantified signal): thời gian liên tục và biên độ rời rạc. Đây là tín hiệu tương tự có biên độ đã được rời rạc hóa.
- Tín hiệu số (Digital signal): thời gian rời rạc và biên độ cũng rời rạc. Đây là tín hiệu rời rạc có biên độ được lượng tử hóa. Các loại tín hiệu trên được minh họa trong hình 1.1 Minh hoạ các loại tín hiệu 1. Tín hiệu rời rạc - dãy 1.
Cách biểu diễn: Một tín hiệu rời rạc có thể được biểu diễn bằng một dãy các giá trị (thực hoặc phức). Phần tử thứ n của dãy (n là một số nguyên) được ký hiệu là x(n) và một dãy được ký hiệu như sau: x = {x(n)} với - ∞ < n < ∞ (1.a) x(n) được gọi là mẫu thứ n của tín hiệu x. Ta cũng có thể biểu diển theo kiểu liệt kê.b) Trong đó, phần tử được chỉ bởi mũi tên là phần tử rương ứng với n = 0, các phần tử tương ứng với n > 0 được xếp lần lượt về phía phải và ngược lại. Ta thấy, x(n) là cách viết đơn giản hóa của x(nTs), ngầm hiểu rằng ta đã chuẩn hoá trục thời gian theo TS.
Ts gọi là chu kỳ lấy mẫu (Sampling period). Fs = 1/Ts được gọi là tần số lấy mẫu (Sampling frequency). Ví dụ: Một tín hiệu tương tự x(t) = cos(t) được lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu là Ts = (/8. Tín hiệu rời rạc tương ứng là x(nTs) = cos(nTs) được biểu diễn bằng đồ thị hình 1.
Nếu ta chuẩn hóa trục thòi gian theo Ts thì tín hiệu rời rạc x = {x(n)} được biểu diễn như đồ thị hình 1. Ghi chú: - Từ đây về sau, trục thời gian sẽ được chuẩn hóa theo Ts, khi cần trở về thời gian thực, ta thay biến n bằng nTs. - Tín hiệu rời rạc chỉ có giá trị xác định ở các thời điểm nguyên n. chúng có giá trị bằng 0.
- Để đơn giản, sau này, thay vì ký hiệu đầy đủ, ta chỉ cần viết x(n) và hiểu đây là dãy x = {x(n)}.2 Tín hiệu rời rạc 1. Các tín hiệu rời rạc cơ bản 1/. Tín hiệu xung đơn vị (Unit inpulse sequence): Đây là một dãy cơ bản nhất, ký hiệu làĠ, được định nghĩa như sau: 1, n 0 (1. Dãy (n) được biểu diễn bằng đồ thị như hình 1. Tín hiệu hằng ( Constant sequence): tín hiệu này có giá trị bằng nhau với tất cả các giá trị chủa n.5) Dãy hằng được biểu diễn bằng đồ thị như hình 1.
Tín hiêu nhẫy bậc đơn vị (Unit step sequence) Dãy này thường được ký hiệu là u(n) và được định nghĩa như sau: 1, n 0 u ( n) (1.5) 0, n 0 Dãy u(n) được biểu diễn bằng đồ thị hình 1. Mối quan hệ giữa tín hiệu nhãy bậc đơn vị với tín hiệu xung đơn vị: n u (n) (k ) (n) u (n) u (n 1) (1.6) k với u(n-1) là tín hiệu u(n) được dịch phải một mẫu.3 Các dãy cơ bản a) Dãy xung đơn vị b) Dãy hằng c) Dãy nhảy bậc đơn vị d) Dãy hàm mũ e) Dãy tuần hoàn có chu kỳ N=8 f) Dãy hình sin có chu kỳ N=5 4/.7) Nếu A và α là số thực thì đây là dãy thực. Với một dãy thực, nếu 0 < α < 1 và A>0 thì dãy có các giá trị dương và giảm khi n tăng, hình 1. Nếu –1< α < 0 thì các giá trị của dãy sẽ lần lược đổi dấu và có độ lớn giảm khi n tăng.
Nếu 1 thì độ lớn của dãy sẽ tăng khi n tăng. Tín hiệu tuần hoàn (Periodic sequence) Một tín hiệu x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ N khi: x(n+N) = x(n), với mọi n. Một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N=8 được biểu diễn bằng đồ thị hình 1. Dĩ nhiên, một tín hiệu hình sin cũng là một hiệu tuần hoàn.
2 Ví dụ: x(n) sin (n 3) là một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ là N=5, xem 5 hình1. Các phép toán cơ bản của dãy Cho 2 dãy x1 = {x1(n)} và x2 = {x2(n)} các phép toán cơ bản trên hai dãy được định nghĩa như sau: 1/. Phép nhân 1 dãy với 1 hệ số: y = a. Phép dịch một dãy (Shifting sequence): - Dịch phải: Gọi y là dãy kết quả trong phép dịch phải n0 mẫu một dãy x ta có: y(n) = x(n-n0), với n0 > 0 (1.11) - Dịch trái: Gọi z là dãy kết quả trong phép dịch trái n0 mẫu dãy x ta có: z(n) = x(n+n0), với n0 > 0 (1.12) Phép dịch phải còn gọi là phép làm trễ (delay).
Phép làm trễ một mẫu thường được ký hiệu bằng chữ D hoặc Z-1. Các phép dịch trái và dịch phải được minh họa trong các hình 1.13) k Cách biểu diễn này sẽ dẫn đến một kết quả quan trọng trong phần sau. Ghi chú: Các phép tính thực hiện trên các tín hiệu rời rạc chỉ có ý nghĩa khi tần số lấy mẫu của các tín hiệu này bằng nhau. HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.
Hệ thống thời gian rời rạc (gọi tắt là hệ thống rời rạc): Hệ thống thời gian rời rạc là một toán tử (operator) hay là một toán thuật (algorithm) mà nó tác động lên một tín hiệu vào (dãy vào là rời rạc) để cung cấp một tín hiệu ra (dãy ra là rời rạc) theo một qui luật hay một thủ tục (procedure) tính toán nào đó. Định nghĩa theo toán học, đó là một phép biến đổi hay một toán tử (operator) mà nó biến một dãy vào x(n) thành dãy ra y(n).14) Tín hiệu vào được gọi là tác động hay kích thích (excitation), tín hiệu ra được gọi là đáp ứng (response). Biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa kích thích và dáp ứng được gọi là quan hệ vào ra của hệ thống. Quan hệ vào ra của một hệ thống rời rạc còn được biểu diễn như hình 1.
Ký hiệu một hệ thống rời rạc Ví dụ 1.1: Hệ thống làm trễ lý tưởng được định nghĩa bởi phương trình: y(n) = x(n – nd) , với - < n < (1.15) nd là một số nguyên dương không đổi gọi là độ trễ của hệ thống.2: Hệ thống trung bình động (Moving average system) được định nghĩa bởi phương trình: M 1 y ( n) x(n k ) M 1 M 2 1 k M (1. x(n M 2 ) M1 M 2 1 với M1 và M2 là các số nguyên dương. Hệ thống này tính mẫu thứ n của dãy ra là trung bình của (M1 + M2 + 1) mẫu của dãy vào xung qu./Anh mẫu thứ n, từ mẫu thứ n-M2 đến mẫu thứ n+M1 .17) Trong các phần sau, ta sẽ thấy, trong các điều kiện xác định đáp ứng xung của một hệ thống có thể mô tả một cách đầy đủ hệ thống đó.3: Đáp ứng xung của hệ thống trung bình động là: 1 1 M2 , M 1 n M 2 y ( n) (n k ) M 1 M 2 1 M 1 M 2 1 k M1 (1. Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối Để có thể biểu diễn một hệ thống bằng sơ đồ khối, ta cần định nghĩa các phần tử cơ bản.
Một hệ thống phức tạp sẽ là sự liên kết của các phần tử cơ bản này. Phần tử nhân dãy với dãy (signal multiplier), tương ứng với phép nhân hai dãy, có sơ đồ khối như sau: 2/. Phần tử nhân một dãy với một hằng số (Constant multiplier), tương ứng với phép nhân một hệ số với một dãy, có sơ đồ khối như sau: 3/. Phần tử cộng (Adder), tương ứng với phép cộng hai dãy, có sơ đồ khối như sau: 4/.
Phần tử làm trễ một mẫu (Unit Delay Element): tương ứng với phép làm trễ một mẫu, có sơ đồ khối như sau: Trong các phần sau, ta sẽ thành lập một hệ thống phức tạp bằng sự liên kết các phần tử cơ bản này. Phân loại hệ thống rời rạc Các hệ thống rời rạc được phân loại dựa vào các thuộc tính của nó, cụ thể là các thuộc tính của toán tử biểu diễn hệ thống (T).