MỞ ĐẦU 1. Chuyển động và hệ quy chiếu Chuyển động là một khái niệm cơ bản của cơ học. Chuyển động của một vật là sự chuyển dời vị trí của vật đó đối với các vật khác trong không gian 15 và thời gian. Muốn xác định vị trí của một vật trong không gian ta phải tìm những khoảng cách từ vật đó tới một hệ vật khác mà ta quy ước là đứng yên.
Hệ vật mà ta quy ước là đứng yên dùng là mốc để xác định vị trí của các vật trong không gian gọi là hệ quy chiếu. Để xác định thời gian của vật khi chuyển động, ta gắn vào hệ quy chiếu một cái đồng hổ. Khi một vật chuyển động thì những khoảng cách từ vật đó đến hệ quy chiếu thay đổi theo thời gian. Rõ ràng, một vật chuyển động hay đứng yên là tuỳ theo hệ quy chiếu ta chọn.
Một vật có thể là chuyển động đối với hệ quy chiếu này nhưng có thể là đứng yên đối với hệ quy chiếu khác, ta nói rằng chuyển động của một vật có tính tương đối. Chất điểm và hệ chất điểm Chất điểm là một vật có kích thước nhỏ không đáng kể so với những khoảng cách, những kích thước mà ta đang khảo sát. Ví dụ : Khi xét chuyển động của viên đạn trong không khí, chuyển động của Trái Đất xung quanh Mat Trời. ta có thể coi viên đạn, Trải Đất.
là những chất điểm. Như vậy việc xem một vật có là chất điểm hay không, phụ thuộc vào điều kiện bài : toán ta nghiên cứu. Một tập hợp chất điểm được gọi là hệ chất điển. Vật rắn là một hệ chất điểm, trong đó khoảng cách tương hỗ giữa các chất điểm của hệ không thay đổi.
Phương trình chuyển động (phương trình động học) của chất điểm Để xác định chuyển động của một chất điểm người ta thường gắn vào hệ quy chiéu mét hé tog độ. Hệ toạ độ Đứcac gôm có ba trục Ox, Oy, Oz vuông gốc với nhau từng đôi một hợp thành tam điện thuận Oxyz ; O gọi là gốc tog độ. Vị trí của một chất điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi ba toa độ x, y, z của nó đối với hệ toạ độ Đẽcac, ba toạ độ này cũng là ba toạ độ của bán kính vectơ OM = r trên ba trục. Khi chất điểm M chuyển động, các toạ độ x,-y, z của nó thay đổi theo thời gian † ; nói cách khác x, y, z là các hàm của thời gian t : 16 x = f(t) Miy=g() - ab z= h(t) Nói gọn hơn, bán kính vectơ T1 của chất điểm chuyển động là hàm của thời gian I: r=r@) .2) Phương trình (1.2) gọi là những phương trình chuyển động của chất điểm M.
Vì ở mỗi thời điểm t, chất điểm M có một vị trí xác định và khi t biến thiên thì M chuyển động một cách liên tục nên các hàm f(Ò, ø(Ð, hŒ), hay nói gọn hơn hàm r(t), sé là các hàm xác định, đơn trị và liên tục của t. Viết những phương trình chuyển động của một chất điểm chuyển động trong một mặt phẳng. Quỹ đạo Quỹ đạo của chất điểm chuyển động là đường tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của nó trong không gian, trong suốt quá trình chuyển động. Để xác định quỹ đạo, người ta có thể đừng các phương trình chuyển động (1.
Các phương trình này có thể coi là các phương trình tham số của quỹ đạo. Muốn tim liên hệ giữa các toạ độ của M, ta phải khử t trong các phương trình chuyển động (1. 5, Hoành độ cong Giả thiết chất điểm M chuyển động trên đường cong quỹ đạo (C) (h. 1-1), trên (C) ta chọn một điểm P nào đó cố định làm gốc và một chiều dương.
Khi đó, ở mỗi thời điểm t, vị trí của M trên y= (© sẽ được xác định bởi trị đại số của x. cung PM, ký hiệu là : Hinh 1-1 PM =s ` Hệ toa dé Décac và quỹ đạo s gọi là hoành độ cong của M. Khi M chuyển động, s là hàm của thời gian t: s = s(t) (1. VAN TOC Vận tốc là một đại lượng đặc trưng cho phương, chiều và sự nhanh chậm của chuyển động.
1, Định nghĩa vận tốc Xét chuyển động của một chất điểm trên đường cong (C), trên (C) ta chọn gốc P và một chiều dương. Giả thiết tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M xác định bởi : PM =s Tai thoi diém t' = t + At, chat điểm ở vị trí M' xác định bởi : PM’ =s'=s+ As Quãng đường chất điểm đi được trong khoang thi gian t' - t = At sé 1a: MM' = s'~s = As As Quãng đường trung bình chất điểm đi được trong đơn vị thời gian AL , theo định nghĩa gọi là vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian At, được ký hiệu là : As Yb = aE (1.4) Vận tốc trung bình chỉ đặc trưng cho độ nhanh chậm trung bình của chuyển động chất điểm trên quãng đường MM:' ; trên quãng đường này, độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm nói chung mỗi chỗ một khác, nghĩa là mỗi thời điểm một khác. Dé đặc trưng cho độ nhanh chậm của chuyển động tại từng thời điểm, ta phải tính tỉ số = trong những khoảng thời gian At vô cùng nh. Theo định nghĩa, khi cho At 0 (t' > 1), ti số = dân tới một giới hạn, gọi là vận tốc tức thời (gọi tắt là vận rốc) của chất điểm tại thời điểm t, và được ký hiệu là : 7 18 SVLA CUONGII 8 v= lim As At>o At Theo định nghĩa của đạo hàm, ta có thể viết : ds ` Yaa (1.5) Vay : Vận tốc của chất điển có giá trị bằng dạo hàm hoành độ cong của chất điểm đối với thời gian.
Đặc biệt, nếu ta chọn gốc hoành độ cong P là vị trí ban đầu của chất điểm (vị trí lúc t = 0) thì PM = s chính là quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến¡.5) có thể phát biểu: Vận tốc của chất điểm có giá trị bằng đạo hàm quãng đường đi của chất điểm đối với thời gian. Vận tốc v cho bởi (1.5) là một đại lượng đại số : ~ Dấu của v xác định chiêu chuyển động : v > 0, chất điểm chuyển động theo chiểu dương của quỹ đạo ; v < 0, chất điểm chuyển động theo chiều ngược lại. ~ Trị tuyệt đối của v xác định độ nhanh chậm của chuyển động tại từng thời điểm. Tóm lại, vận tốc đặc trưng cho chiều và độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm.
Chú ý : Trên hình 1-1, ta giả sử chất điểm chuyển động theo chiều dương. Nếu chất điểm chuyển động theø chiêu âm, ta vẫn thu được cùng một kết quả như trên. Vectơ vận tốc Để đặc trưng một cách đây đủ vẻ cả phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm, người ta đưa ra một vectơ goi la vecto vận tốc. Theo định nghĩa, vectơ vận tốc tại vị trí M là một vectơ v có phương nằm trên tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, có chiều theo chiều chuyển động và có giá trị bằng trị tuyệt đối của v (h.
19 Để có thể viết được biểu thức của vectơ vận tốc v, người ta thường định „ ws - Ly. ro nghia mét vecto vi phdn cung ds nm + trên tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, hướng © theo chiều chuyển động và có độ lớn Hình 1-2. Vectơ vận tốc" bằng trị tuyệt đối của vi phân hoành độ cong đó. Khí đó, ta có =_ dd ay v =a (1.
Vectơ vận tốc trong hệ toạ độ Décac Giả thiết ở thời điểm t, vị trí chất điểm được xác định bởi bán kính vectơ (h.1-3) : OM=r Ở thời điểm t + dt, vị trí chất điểm được xác định bởi bán kính vectơ : OM'=r+ár Rõ ràng là khi dt vô cùng nhỏ thì vectơ chuyển dời : MME' <OM'—OM = dc Hình 1-3. Sự tương đương MM' = OM"— OM = dr của hai vectơ đs va dr có độ dài :. MM' = ds Ngoai ra viedr và ds cùng chiều nên ta có : dĩ = để , (7) nghĩa là (1.6) có thể viết : —_đr veg th, (1.8) Vậy : Vectơ vận tốc bằng đạo hàm của bán kính vectơ đối với thời gian. 20 Kết quả là ba thành phân v„, vụ, v„ của vectơ vận tốc v theo ba trục sẽ có độ dài đại số lần lượt bằng đạo hàm ba thành phần tương ứng của bán kính vectơ r theo ba trục, nghĩa là : yok * dt = đ v vy (1.9) dz Yn ae Độ lớn vận tốc được tính theo công thức yD |V]=AjVš 2 + Vỹ2 + v22 = §1.
GIA TỐC Gia tốc là một đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc. Định nghĩa và biểu thức của vectơ gia tốc Giả thiết tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M có vectơ vận tốc v Œ:1-2: tại thời điểm t' = t +-At, chất điểm ở vị trí M' có vectơ vận tốc V'= V + AY. Trong khoảng thời gian At = t' - t, vecto vận tốc của chất điểm biến thiên một lượng : ` Av=v'~v Độ biến thiên trung bình của vectơ vận tốc trong một đơn vị thời gian a , theo dinh nghĩa, gọi là vectơ gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian Át và được ký hiệu là : > Ấy aD a (1.10) 21 Cũng lý luận như trường hợp vận tốc, ta thấy rằng muốn đặc trưng cho độ biến thiên của vectơ vận tốc ở từng thời điểm, ta phải xác định tỉ số x trong khoảng thời gian At vô cùng nhỏ, nghĩa là cho At — 0. Theo định nghĩa, khi cho At > 0 (t' > 0), ti sé + đần tới một giới hạn gọi là vectơ gia tốc tức thời (gọi tất là vectơ gia tốc) của chất điểm tại thời điểm t, và được ký hiệu là : 2= (1.1) Vậy : Vectơ gia tốc bằng đạo hàm của vectơ vận tốc dối với thời gian.9) ta có thể tính ba toạ độ của vectơ gia tốc theo ba - trục toạ độ Đêcac : 1 = Ws x * dt a2 - dv, dể .12) a =n oe edt ay? Độ lớn của gia tốc được tính theo công thức : Jalafog +ad + a2 §1.
GIA TỐC TIẾP TUYEN VA GIA TOC PHAP TUYEN 1. Gia téc trong chuyén dong thing từ gốc O. Giả sử trong Xét chất điểm chuyển động trên một đường thẳng đường khoảng thời gian từ 0 đến t, chất điểm đi được đoạn OM =s t = t thì chất điểm có vị trí _ (nghĩa là khi t = 0 thì chất điểm có vị trí tại O, tại M).