Chương 1: Cấu trúc tinh thề Ví dụ: Trên hình l -4 mặt mạng có ba giao điểm với trục toạ độ cho ta m = 2, n = 3, p = 2. Vậy ta có -L -I-í =!•! =! v m _ 2 ; n _ 3 : p ~ 2 va 1 : 1:1 =3:2:3 m n p Kết quả chỉ sô' Miller của mặt mạng là (3,2,3). , , , Hình 1-4: Giải thích cách tìm chi sô' Miller Chỉ sô Miller của một phương mạng của mặt mạng. được xác định như sau: 1.
Chọn vectơ mạng ngắn nhất theo phương đó n(u, V, w) = uãi + vã 2 + wäß 2. Chỉ sô' Miller của phương mạng là [u, V, w]. Đối với các mạng trong tinh hệ lập phương, trục toạ độ trực giao ta thấy phương mạng vuông góc với mặt mạng được ký hiệu (h, k, 1) có chỉ sô' miller là [h,k,l]. Phương pháp ký hiệu dùng ba chỉ sô' Miller trên đây rất thuận tiện và có thể dùng cho mọi hệ tinh thể.
Tuy nhiên riêng đối với hệ sáu phương người ta hay dùng cách ký hiệu bốn chỉ sô' cho các mặt mạng, gọi là các chỉ sô' Miller - Bravais. Để xây dựng hệ ký hiệu bốn chỉ sô' cho mạng sáu phương ta dùng 4 trục toạ độ OXị, OX2, OX3 và OZ như biểu diễn ở hình 1-5. Cách tìm các chỉ sô' của mặt mạng cũng giống như đã trình bày trên đây và nhận được các chỉ số mặt mạng dạng (h, k, t, 1). Nếu ta dùng ba trục toạ độ Xj, x2 và z để tìm ba chi sô' miller, ví dụ (h \ k \ 1’) khi đó mối liên hệ giữa hai hệ ký hiệu sẽ là: h = ị (2h’ - k’) k = ậ (2k’ h’) Hình 1-5: Giải thích chì số Miller và chì số t = - (h + k) Miller- Bravais đôi với hệ sáu phương.
1= nl’ trong đó n là thừa số chung có thể ước lược. Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 23 VẬT LIỆU BÁN DẪN 1. Định luật nhiễu xạ Vulf-Bragg Chúng ta biết rằng các nguyên tử trong tinh thể sắp xếp một cách có trật tự tuần hoàn, khoảng cách giữa các nguyên tử cỡ vài  nghĩa là cỡ bước sóng của tia X, của tia điện tử. Chính vì vậy tinh thể chất rắn có thể đóng vai trò như một cách tử nhiễu xạ đối với tia X và tia điện tử.
Mặt khác hiện tượng nhiễu xạ tia X và nhiễu xạ điện tử được sử dụng làm phương pháp nghiên cứu cấu trúc của chất rắn. Chúng ta tìm điều kiện nhiễu xạ tia X theo Laue, bằng cách xét sự tán xạ tia X trên hai nguyên từ ở điểm o và A cách nhau một vectơ cơ sở ã ị như ở hình 1-6. Giả sử tia tới lan truyền theo hướng vectơ ĩĩỉ (với m =1) từ các điểm IK nằm trên mặt sóng đồng pha và bị tán xạ bởi hai nguyên tử theo mọi phương. Xét tia tán xạ về phía các điểm RS theo hướng xác định bởi vectơ m' (với m ’ = 1), trong đó IAR và KOS tăng cường lẫn nhau do giao thoa, nghĩa là đáp ứng điều kiện giao thoa.
Điều kiện đó trong ví dụ ở hình 1-6 là: BO + o c = g|A, trong đó gị là một số nguyên bất kỳ. Nếu biểu diễn BO và o c dưới Hình 1-6: Tán xạ tia X trôn tinh thể. dạng tích hai vectơ ta có điều kiện giao thoa dưới dạng: - aun + aim' = ai(m- m) = g|A. Trong mạng tinh thể ba chiều, điều kiện giao thoa sẽ là: ai(m'-m) = giẰ a 2(m-m) = g2A.
ă 3(m'-m) = g3Ằ ( 1-2) trong đó gi là các số nguyên. Chúng ta gọi vectơ sóng của tia tới là K , vectơ sóng của tia tán xạ là K ', nghĩa là K=-YĨn; K'= ^ m ' (1-3) 24 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Chương 1: Cấu trúc tinh thể Bây giờ chúng ta đưa ra một khái niệm - vectơ mạng đảo b , sao cho: ^ b .[a2 X 83]) là thể tích ô nguyên thuỷ của mạng tinh thể. Sử dụng các biểu thức (1-4) (1-5), từ điểu kiện giao thoa (1-2) ta có: ^ ( m ’ - m ) .a 3=27tg3 và rút ra được: b = ( m ’ - m ) hay là 5 = ( ^ S ’ - ^ f S ) = g, bi + g 2b 2 + g 3b 3 = K ’ - K Vậy điều kiện giao thoa Laue có thể viết dưới dạng: K ’- K = 6 hay K ’= K + 6 Vì K’ = K s u y r a ( K ’)2 = K 2 = (ĩc + b )2 Kết quả là: ( K ’)2 = b 2 + ÌC2 + 2(6. Từ các vectơ cơ sở của mạng đảo được định nghĩa bằng ( 1-6) ta có thể xây dựng ô nguyên thuỷ của mạng đảo và toàn bộ mạng đảo như một khái niệm toán học liên quan đến mạng tinh thể.
Có thể chứng minh được rằng vectơ mạng đảo b = gi bi + g 2b 2 + g 3b3 vuông góc với mặt mạng (h, k, 1) nếu: gi : g2 : g3 = h : k : 1 Nếu ký hiệu khoảng cách giữa hai mặt mạng gần nhất trong họ mặt song song (h, k, 1) là d^ị thì ta có: ^_ V trong đó bhkl là độ lớn của vectơ mạng đảo Hình 1-7: Biểu diễn điều kiện nhiễu xạ Laue bằng b = hbi + k t>2 + 1B3 hình học trong không gian mạng đảo. Chúng ta có thể biểu diễn điều kiện nhiễu xạ Laue bằng hình học trong không gian mạng đảo. Để đơn giản ta thể hiện điều này trong mạng hai chiều trình bày ở hình 1-7 theo các bước sau: 1- Dựng mạng đảo ứng với mạng tinh thể. Trong mạng đảo đó chọn một nút mạng đảo o bất kỳ và vẽ vectơ K.
2- Từ điểm đầu của vetơ K (điểm R) vẽ một mặt cầu (ở đây là đường tròn) bán kính bằng K = ^ , đây là mặt cầu Ewald. 3- Tìm những nút mạng đảo nằm trên mặt cầu, ví dụ điểm s trên hình 1-7. Vectơ RS = K ’ là vectơ sóng của tia tán xạ phù hợp điều kiện giao thoa. Vectơ o s bằng b là một vectơ mạng đảo đáp ứng điều kiện K ’= K + b Như vậy dùng hình cầu Ewald trong không gian mạng đảo có thể xác định hướng của các cực đại giao thoa.
26 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Chương 1: Cấu trúc tinh thể Điều kiện Laue cũng có thể biểu diễn bằng cách khác sau đây: Dựng một mặt phảng trung trực của b = os (trên hình (1-7) là đường thẳng PQ). Mặt phẳng vuông góc với vectơ mạng đảo b = g , b i + g2b2 + g 3b3 chính là mặt mạng có chỉ số Miller (h, k, 1) liên hệ với g I, g2, g3 theo hệ thức: h : k : 1 = gj : g2 : g3 Gọi m là thừa sô' chung của gị, g2, g3 ta có: b = Ib I = m.bhkl Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa các mặt gần nhau trong họ mạt (h, k, 1) là: J— _ dhki 1 _— 12ĩĩ —_ m. 27E Q 1 hkl bhkI "■ b Xét tam giác ORS trên hình (1-7), gọi góc QRằ là 0, ta có OS = 2RS sin 0 hay b = 2Ksin0 = 2( - ÿ ) sinG b = 2 n - ^ - = 271^ = 2( ^ E)sin0 dhkl d X Kết quả cuối cùng ta có 2dsin0 = mX trong đó m là một số nguyên. Đây chính là công thức Vulf-Bragg biểu diễn điều kiện phản xạ tia X.
Mạng đảo và vùng Brillouin Để nghiên cứu hiện tượng nhiễu xạ tia X cũng như sự lan truyền của các loại sóng (sóng điện từ, sóng cơ học, sóng điện tử) trong tinh thể người ta đưa ra khái niệm mạng đảo. Theo đó mỗi mạng tinh thể (mạng thuận) với các vectơ cơ sở ã 1, ã 2, ã 3 gắn liền với một mạng đảo có các vectơ cơ sở b ị, b 2, b 3 được xác định bởi các công thức ( 1-6). = ¥ [ * 2 * ^ ] v0 b2 = v ^ ã a x ă i ] v0 b3 = ệ L [ S , x ả 2] (1-9) v0 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 27 VẬT LIỆU BÁN DẪN trong đó V0 = (ai.[a2x a 3]) bằng thể tích ô nguyên thuỷ của tinh thể. Ba vectơ cơ sở mạng đảo b i , b 2 , b3 tạo nên ô nguyên thuỷ của mạng đảo.
“Thể tích” ô nguyên thuỷ của mạng đảo cũng được tính theo công thức: V0‘ = (b,.[b2Xb3]) (1-10) Trong mạng đảo ta cũng xác định được các vectơ mạng đảo b = gi bi + g2b2 + g3b3 Nếu ta “tịnh tiến” ô nguyên thuỷ theo các vectơ mạng đảo 6 , ta nhận được cả mạng đảo. Mạng đảo là một khái niệm toán học được dựng nên trong không gian đảo nhưng nó cũng là những mạng Bravais và phụ thuộc vào tinh hệ của mạng thuận. Ta có thể chứng minh được các kết luận sau đây: - Mạng lập phương đơn giản cóìnạng đảo cũng là mạng lập phương đơn giản. - Mạng lập phương tâm mặt có mạng đảo là mạng lập phương tâm khối.
- Mạng sáu phương (lục giác) có mạng đảo cũng là mạng sáu phương. Vì mạng đảo cũng là những mạng Bravais cho nên nó có thể được mô tả bằng ô nguyên thuỷ hoặc ô cơ bản không phải là ô nguyên thuỷ, hằng sô' mạng trong trường hợp này phụ thuộc vào hằng sô' mạng thuận. Bây giờ chúng ta nghiên cứu một khái niệm khác được xác định trong mạng đảo có liên quan đến sự lan truyền các loại sóng trong mạng tinh thể, như một môi trường có cấu trúc tuần hoàn. Giả sử chúng ta xét dao động cơ học trong một mạng tinh thể mà các nút mạng thứ 1được xác định bởi vectơ: n i = R j = niiã J + n2jã 2 + n3iã 3 ( 1- 11) trong đó nịi, n2i, n3j là những sô' nguyên, i | , ã 2 , ã3 là ba vectơ cơ sở và giả thiết mỗi nút mạng chỉ có một nguyên tử.
Khi đó dao động của mạng tinh thể tại nguyên tử thứ i sẽ có dạng: ũ ị = ẨKexpitĩC.Ri-tOKt] ( 1- 12) trong đó K là vectơ sóng, C0K là tần sô' góc của sóng, ở đây chúng ta bỏ qua các dạng phân cực khác nhau của dao động. Bây giờ nếu thêm vào K một vectơ b thì ta có một hàm sóng mới 28 Trường Đ ại học Bách khoa Hà Nội Chương 1: c ẩ u trúc tinh thể u'i = A k expi[ (K + b ). R ị - coKt] Tuy nhiên hàm sóng mới Uj sẽ trùng hoàn toàn với hàm sóng Uj ở (1-12) nếu vectơ b thoả mãn điều kiện expi (b.