Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều Chứng mình : Theo hệ thức Chasles, 2M = f2ý2'+ Z2M, từ đó có kết quả bằng cách chuyển sang các thành phân trong cơ sở (7 ) và sử dụng công thức đổi cơ sở cho một vectg (xem Tập 5, 8. NHẬN XÉT - 1) Như vậy ta biểu diễn các rọø độ cñ (x, y, 2) của M theo các tọa độ mới (x, y, z) của nó. 2) Trong trường hợp riêng khi ta chỉ đổi gốc tọa độ, thì ta sẽ có các công thức đổi hệ quy chiếu bằng phép “đối gốc tọa độ” : x=xp+x y#yp+ty Z=7a+z VÍDỤ: 1) PTD của một đường thẳng trong một hệ quy chiếu mới Giả sử (,j, k) là cơ sở chính tắc của 3°, Ø = (0,0, 0), Kụ = (O;Ï,7,É), A là điểm có các tọa độ (1, -1, 3) trong €¿,'= 2 — 1+j+3E,k'= -Ï+3j + Ð là đường thẳng có HPTD trong #ạ: nh =0 x Lập một HPTD của Ð trong £'= (A;7',ƒ',È'). Nhận xét trước tiên rằng (Ï',ƒ',Ê') đúng là một cơ sở của 2” (chẳng hạn, 2 1 -4 -l tL 3J=-12 #0).
0 3 1 Các công thức đổi hệ quy chiếu biểu diễn các tọa độ cũ (x, y, z) của một điểm Ä bất kỳ thuộc +3; theo các tọa độ mới (+, y, z) của nó là : x 1 2 1-1\fx yl=|-ife}-1 1 3 ify}. z 3 0 3 Iz +x=2x+y-z+l Tức là : y=-x+y+3:—l. z=3y+z+3 ae Sx'+10y'-22'+11=0 TỐ: MeD 2 ce. 2) BDTS một đường thẳng trong một hệ quy chiếu mới Cho# =(Ó; ¡,/ ,k) là hệ quy chiếu chính tắc của 'R3, A(2,1,1) Ry? f'=21+j+E, 7= i+27+E,kh= i+j+2Ê, D là đường thẳng đi qua Mu(1, -1, 3) mq.
va dinh phương bởi @ = (3,2,-4). Lap mot BDTS của Ð trong #'=(A;,#,Ê) - 4.3 Hệ quy chiếu Descartes 3T 2 1 1 Ta ký hiệu P =Matz ; p(,7,E)=|1 2 1 11 2 Vì P khả nghịch (det(P) = 4 z 0), nên (7, /',Ê') đúng là một cơ sở của '82. Các công thức đổi hệ quy chiếu cho một điểm Ä ((x, y, z) ry OY 2) pe" ) bat Ky là: x 2 11 ae LT tì Mee ylela + 21 z 1 12 6 đây ta phải biểu diễn x’, y’, z’ theo x, y, z. Ta tính nghịch đảo của Ð : 3 =1 -I pte iy 3-1 4\-1 -1 3 x 4 x-2 3x—y—z-4 Từ đó : y|cP |y-1|=—|-x+3y-z |.
z z-1 —x-y+32 x=1434 Vì D nhận BDTS 4 y=—1+24| trong £; nên Ð nhận BDTS trong £': z=3-4Â x=—=(1Ã- * dana 3) 4 1 "s<(7A-T) |, AER. 1 Z=—(-174 49) 4 Bai tap Các bài tập 1.2 được xét trong mặt phdng afin A,.1 ChoA,8,C, A”, B', C' là sáu điểm phân biệt từng cặp sao cho A, 8, C thẳng hàng và Á”, 8', C' thẳng hàng, Chứng minh : { (AB’) {I (BA') AC’ CA').2" Dinh ly Pappus Cho Ð, Ð' là hai đường thẳng, (A, 8, C) e Ð3, (A', 8. Ching minh ring A", 8”, C” thang hang. ae 2 ‘ Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều Các bài tập 1.6 được xét trong khong gian afin Ay.3" ChoA, 8, C, Ð là bốn điểm không đồng phẳng, M, N, P, Q là những điểm được lấy theo thứ tự trên các đường thẳng (AB), (BC), (CD), (DA).
Chimg minh rang M, N, P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi : MA NB PC QD —. MB NC PD QA 9 1. Cho D, D', D" là ba đường thẳng đồng quy tại diém 0; P,, P,, P, I ba mat phang song song, P, và P; không đối xứng qua Q. Ta ký hiệu Ay, By, C, là các giao điểm theo thứ tự của P, với Ð, Д, Ð" Ay, By, Cz l& các giao điểm theo thứ tự của P; với Ð, D”, Д Ay, By, Cy la cdc giao diém theo thứ tự của P› với Ð, Ð', Ð".
(ịC2) 3(B€) = (Lh, (CAD (CA) = (M1), (A,B) (AB, = (NỊ Chứng mính rằng các đường thẳng (1.4;), (MB,), (NC,) đồng quy hoặc song song.5" Cho A, 4, A;, Á, là bốn điểm không đồng phẳng và &2 là một điểm. Ta giả thiết ring mặt phẳng (AƒẢ,4;) (tương ứng : (ăÁx4;), tương img : (MA, 4,), tuong ứng : (MA,A,)) cắt đường thẳng (4;4,) (tương ứng (4,4,), tương ứng : (4,4;), tương ứng : (A,A,)) tai mot diém B, (twong ứng : Ö;, tương ứng : Ö;, tương ứng : B,). Chứng minh ring B,, B,, By, B, đồng phẳng.6" Cho A, B,C, A’ B’, C' là sấu điểm sao cho t6n tại u z Ú và ø, /, y £.B,C không thẳng hàng aKhong thuộc phương của mặt phẳng (ABC). AA'=ai, - BB'= đủ, CC =yñ Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng song song với ba mật phẳng (A‘BC), (ABC), (ABC) khí và chỉ khi : 11 1 —*+—+—=0.
a py 14 Anhxaafin 33 14 Anh xa afin 1.41 Đại cương + Định nghĩa Một ánh xạƒ: +3; —2 x3; được gọi là ánh xạ afin khi và chỉ khi tôn tại Á e z3; sao cho ánh xạ ở: '3° — ;& định nghĩa bởi : W*eR ,ø()=J7UÐ/1Ã+X) là tuyến tính. Ta ky hiéu tập hợp các ánh xa afin từ zA¿ vào z4; là Aff 4s, zA¿). Tổng quát hơn, ta có thể định nghĩa khái niệm ánh xạ afin từ một không gian vecto E vào một không gian vecrơ F (xem dudi day, 3. Với các ký hiệu trong định nghĩa trên, với mọi 8 thuộc zÄ ¿, ta có : ø(BM) = g(AM ~ AB) = g( AM) — 9(AB) = ƒ(A)ƒ(M)~ f(A)ƒ(B) = f(B)f(M).
Đặc biệt, ø không phụ thuộc vào việc chọn 4 (trong z4). Từ đó có định nghĩa sau : +¡ Mệnh đề - Định nghĩa - Ký hiệu 1 Choƒ: ›A; —› A, JA một ánh xạ afin. Tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính từ gọi là bộ phận tuyến tính của ƒ (hoặc : ánh xạ tuyến tính liên kết với /), được ký hiệu là Ÿ , sao cho : 2 a = V(A,M)SÓM). ¢| Ménh dé2 Cho/ e Aff(z3;, „A;).
Ta có : VAE Ag, ViER?, f(A+i) = f(A)+ A) Ching mink : Ký hiệu M = A + ñ, ta có : f(M)= f(A) + f(A)FOM) = f(A) + FAM) = f(A} + ft). Biểu thức Descartes của một anh xa afin Cho f € Aff(Ay, As), R =(Q;1,7,2), R= (Qi, 7,4) 1a hai hệ quy chiếu của Ax (a, By) céc toa dé cha2 trong R'. Vì /(M) = ƒ(2) + (2M) ta có : x a x yI=I#8l+A|y z xy Zz 34 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều + | Mệnh đề 3 1) Néu f: A; > A; vag: A; > A, déu [A afin, thì gof: A> A, IA afin, va gof=Bof. 2) Cho f : Ay > A; IA afin.
Muốn cho f 1A song ánh, cần và đủƒ cũng là song ánh, và khi đó ƒ ˆ là afin và f =f". Chứng mình : 1) Với mọi A, Ä thuộc z;Ä;: nef (A)gof (M) = g(F AN FO) = BUA) (MD) = BCF(AM)) = Bef (AM) Vì Sof tuyén tinh, nén suy ra ring gof IA afin va of = fof 2) Cho ánh xạ afin ƒ: xÃ; —z „À; : s Giả sử A e zA, ; ta ký hiệu #: „3; —ÏR` và đ: z3; -+lR°. Ta có: MW AM Mrs f(AYM VM € As, (foa)(M)= F(AM) = f(AFM) = 8Œ(M)= 8sƒ(M) - Ata Vay thi: foa = fof (tanéi ring bidu dé at +B giao hoán). RỶ ——> rR Khi đó rõ ràng ƒ là song ánh khi và chỉ khi f là song ánh (vì ø và / đều là song ánh).
«© Giả thiết rằng ƒ là song ánh. vi J tuyéa tính, kết qua Af? B doh xa afin va ƒ”Ì =ƒ "1 " Các Mệnh đê sau đây là hiển nhiên : + | Mệnh để - Định nghĩa 4 = Tap hop các ánh xạ afin từ ;A; vào „A, là một nhóm đối với o, gọi là nhóm afin của /A,, ky hiệu là GAff(2A;).4 Anh xa afin 35 «¡ Mệnh để5 = Cho anh xa afin f: A; > Ax 1) Véi moi duéng thang D cla Aj, f(D) là một đường thẳng hoặc một don tit cia Ay. 2) Với mọi mặt phẳng P của A;, f(P) a mot mat phẳng hoặc một đường thẳng hoặc một đơn tử của zÄ ¿. xạ Tổng quát hơn, dưới đây ta sẽ xét ảnh của một không gian afin con qua một ánh afin (3.
bảo toàn tính Nói cách khác, các anh xa afin bdo toàn tính thẳng hàng. Chúng cũng đồng phẳng.2 Các ví dụ thông thường về ánh xạ afin 1) Pháp tịnh tiến « Định nghĩa Với mọi ø thuộc 3Ÿ, ta gọi ánh xạ Tạ : zAs —> zÀs là ARATE phép tịnh tiến theo vectơ ö , và ký hiệu là Tự ø Các mệnh để sau đây là hiển nhiên. i A © | Mệnh để 1 Mot anh xaf: A; > A; la mot phép tinh tién khi va chi khi: /ƒlà ánh xạ afin và Ÿ= Id + ¡ Mệnh đề 2 I) Vũ,yeR`, TgeTp =Tg¿y 2) ) TạTạ =ld ễ 3) Với mọi @ thudc ‘2°, Ty 18 song anh va (Tạ}! =Tạ. + | Mệnh để 3 Tập hợp |T;;ữe R2} là một nhóm đối với luật o, và ánh xạ ủ-> Tự là một phép đẳng cấu từ nhóm C #3, +) lên nhóm đó.
phép + Mệnh đe 4 Với mọi (A, A') thuộc (2À :}, tồn tại một và chỉ một tịnh tiến đời A đến A', và đó là Ty 36 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều + Mệnh đề 5 1)Cho 7 6ï. e - Với mọi đường thing D của zA;, Ty(Ð) là một đường thẳng của A, song song với D. © Với mọi mặt phẳng P của A;, T;(P) là một mặt phẳng của zA, song song với P. 2) Ngược lại : « _ Với những đường thẳng Ø, Г song song bất kỳ, ta có : VAeD, VAeÐD', Trạ(Đ)= D © V6i nhiing mat phang P, P’ song song bat kỳ, ta có : VASP, VAEP, T.
« ¡Mệnh để6§ ChodA € A, f e Aff(+A,, A,). Tén tai mot cap (ii,g) duy nh&t thudc IR’ x AffCA,,,4,) sao cho : Ứ =Tzog. s(A)=A Chững mình : 1) Tính duy nhất Giả sử (,ø) thích hợp. Ta có /(4)=Tz(œ(A)) =Tạ(4), vậy ñ= Aƒ(1), rôi g=T_goƒ.
2) Sự tồn tại Ta ký hiệu a= Af(A), và g=T-_goƒ. Vay thì ¿ là ánh xạ añn, ƒ =Tgo£, và ạ(A4)=T_z(ƒ(4))= A. lđ Anh xa afin 37 2) Phép vitu + Định nghĩa Cho Me ~,,k & R’. Phép vị tự tâm Qva ty 86 k, ky hiệu Hạ,, là ánh xạ Hạ, : z3; —> >3; xác định bởi : MRM M.
# Nối cách khác: VMe ;A;,Hạ; ¿(M) = (2+ k⁄2M. NHẬN XÉT : Với mọi 2, £2' thuộc z3;, mọi &, È' thuộc lề - {0,1}, ta có : “2= Hoe =How off ch” Như vậy, một phép vị tự của x^; (ngoài phép đồng nhất) có một và chỉ một tâm, và một và chỉ một tỷ số. a Các mệnh để sau đây là hiển nhiên.