mở đầu và kết thúc việc kê khai này bởi đấu “{" và dấu “}”. Chẳng hạn để biểu diễn tập Hình 2.1: jiu dB Venn. hỢP Á bao gồm 3 phần tử là các số tự nhiên 1, 2 và 3, tê * viét A = {1,2,3}. Tương tự như vậy, tập hợp B gdm 6 sé nguyên dương đầu tiên sẽ là Ö = {1,2,3,4,5,6}.
Tuy nhiên chỉ có các tập hợp có hữu hạn phần tử mới biểu diễn được theo cách này. b) Biểu diễn tập hợp thông qua quy luật đơn giản. “Trong cách biểu diễn này, ta cũng liệt kẽ những phần tử đầu tiên của tập hợp, và sử dụng ba dầu chấm để thể hiện là tập hợp còn các phần tử khác mà có thể dễ dàng xác định được chúng. Cách biểu diễn này chỉ dùng cho những tập hợp có quy luật nhận biết các phần tử rất đơn giản ai cũng có thể nhận biết dễ dàng.
Chẳng hạn, khi biểu diễn tập hợp tắt cả các số tự nhiên chẵn, ta có thể viết A = {0,2,4,.}, va tập hợp tất cả các số tự nhiên lẻ có thể biểu diễn là B = {1,3,5. Tap hợp các số nguyên có thể biểu diễn thành Z.}, tag hợp các số tự nhiên làÑ = {0,1,2,. c) Biểu diễn tập hợp thông qua quy tắc nhận biết. Day là cách biểu diễn tập hợp thông thường nhất.
Trong cách biểu diễn này, ta pha đưa ra quy tắc nhận biết các phần tử của tập hợp mà không cần biết việc kiểm tre tính chất nhận biết được đưa ra có dễ dàng hay không. “Thay vì dùng dấu gạch đứng *|”, ta cũng có thể dùng dấu hai chim “:”. Kiểm tra xem các mối quan hệ sau là đúng hay sai: a) {1} € {{1}}, b) 1€ {{1}}. Những số nào trong các số sau thuộc tập Ñ: —1, V‡ 2: 3.
Những số nào trong các số sau thuộc tập hợp Z: 5, R/S es 4. Biểu diễn các tập hợp sau: a) Tập hợp các chữ số của hệ thập phân. b) Tập hợp có phần tử là các số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 10 và các nguyên âm của bảng chữ cái tiếng Việt. ©) Tập hợp các số chính phương.
d) Tập hợp các số nguyên tố dạng 4k + 1. ©) Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100.2 Tập hợp con và tập hợp bằng nhau 2.1 Tap hợp con Trong phần này chúng ta định nghĩa sự bằng nhau của các tập hợp trên cơ sở định nghĩa thế nào là tập hợp con của một tập hợp cho trước. Cho trước hai tập hợp A uà B. Ta nói rằng tập hợp A là tập hợp cơn của tập hợp B, nếu như mỗi phần tử của tập hợp A là phần tử của tập hợp B, Khi dé ta viét AC B.
“Trong trường hợp tập hợp 4 là tập hợp con của. tập hợp B, ta còn nói rằng tập hợp Z chứa tập hợp. Trong trường hợp tập hợp 4 là tập hợp con của tập hợp Z và tập hợp Z không phải tập hợp con của tập hợp A thì ta nói ae Ala tap hgp con thật sự Hình 2.2: ý Tập hợp chứa; nhaw. “của tập niỄ, hợp Ö, và của qà Vem ta viết tập hợp4 C conB.
bị chứa trong biểu đồ Venn của tập hợp chứa nó (Hình 2. Tập hợp các số tự nhiên Ñ là tập hợp con thật sự cũa tập hợp các số nguyên Z. Tập hợp các số thực R là tập hợp con thật sự của tập hợp các số phức C. hợp các số hữu tỷ Q là tập hợp con thật sự của tập hợp các số thực R.
Quan hệ gii các tập hợp này có thể viết gọn lại là N C Z C QC R c C. Với mỗi n, tập hợp số tự nhiên Ñ có một tập hợp con đặc biệt gồm các số tự nhiên đầu tiên từ 0 tới mø, được ký hiệu là 1,n. ‘Tap hợp Ø được quy định là tập hợp con của tắt cả các tập hợp. Mỗi tập hợp bắt kỳ cũng là tập hợp con của chính nó.
Cho trước tập hợp 4, ta ký. hiệu tập hợp. tht cd cdc tap hgp con cia A 1a P(A). Tap hợp các tập hợp con của tập hợp Á cho trước luôn chứa tập hợp @ va A lam phần tử.
Với A = {1,2} thi P(A) = (0, {1}, {2}, (1,2})- “Tính chất. Quan hệ “chứa nhau” (C) của tập hợp là một quan hệ có tính chất phản. xã và bắc cầu: 1. Với mọi tập hợp A ta c6 AC A.
Néu thi ACC.2 Tập hợp bằng nhau “Yên cơ sở khái niệm của tập hợp con, ta định nghĩa khái niệm sự bằng nhau của. các tập hợp như sau. Cho trước hai tập hợp A và B. Ta nói tập hợp A và B là hai tập hợp bằng nhau khả va chỉ khi A là tập hợp cơn của tập hợp B và B là tập hợp con của tập hợp A.
Khi A uà B là hai tập hợp bằng nhau thì ta viết A = B. Như vậy, nếu Á C B và ö € A thì 4= B. Tap hgp A = {1,2} và tập hợp. {z|z?~3z+2 = 0} là hai tập hợp bằng.
nhau, vì phương trình z2 — 3z + 2 = 0 có đúng hai nghiệm 1và 2. Quan hệ "bằng nhau" của tập hợp là quan hệ tương đương: 1. Với mọi tập hợp 4 ta có 4 = 4 (tính phản xạ). 3, Neu A= B va B=C thì A = Ơ (tính bắc cầu).
Kiểm tra xem các mỗi quan hệ sau là đúng hay sai: a)0= {0}, Ð) 1} C {)}, ©) 0) = (a). Dùng biểu đồ Venn biểu diễn mối quan hệ của các tập hợp A C B và B C Ở. Chứng minh tính chất của quan hệ “C” trong các tập hợp: 1. Với mọi tập hợp A tac6 AC A.
Nếu 4C B và BC A thì A= B. Nếu A CB và BC C thì AC Œ. Cho trước tập hợp A = {1,2,3} va tap hop B = {1,3,5,7}. Hay liệt kê tắt cả.
các tập hợp vừa là tập con của tập hgp A vite la tap hợp con của tập hợp Ö. Tìm hai tập hợp A và B sao cho AE Bva ACB. mối quan hệ giữa các tập hợp sau: 6. Xác định a) A= {1,2 va B=,3} {1,3,5,7}- b) A= {1,2,3} va B= {1,3,5,2,7} - 7.
Xác định xem các cặp tập hợp sau đây có bằng nhau hay không: = a) Tập hợp {1,2,3} và tập hợp {3, 2, 1} b) Tập hợp tất cả các tập hợp con của {a,b} và {0: {a}, {b}. {a, b} - e) Tập hợp 0 và tập hop {0}. d) Tập hợp N va tap hgp {N,0,1,2, i 8. Xéc dinh tap hop P(0) và tập hyp P({0}).
Xác định tập hợp P{1,2,3). Chứng mỉnh các tính chất của quan hệ tập hợp bằng nhau: 1. Với mọi tập hợp A ta có Á = A.NéuA=BvaB=CthA=C. Chứng minh rằng nếu Á = B thi P(A) = P(B).
Các phép toán của tập hợp 2.1 Phép hợp Định nghĩa 2. Cho trước tap hop A va tap hop B. Hop của tập hợp A va tap hợp B là tập hợp chứa tắt cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B, uà chỉ những phần tử đó mà thôi. Hợp của tập hợp A va tập hợp Z được ký hiệu.
Một cách hình thức ta viết: AU B = {rlze€4 hoặc z€ B}. Hợp của hai tập hợp được biểu diễn theo mô hình trong biểu đồ Venn (hình 2. 3 Trong trường hợp tập hợp 4 và tập hợp B có Binh 2.3: Rha, những phần tit chung’ thi ese phn tit chung’nay cht được phép xuất hiện đúng một lần trong hợp của chúng. Hợp của tập hợp {1,2,3,4,5} va {2,4,6} là tập hợp {1,2,3,4,5,6}.
Bằng biểu đồ Venn đễ dàng thấy các tính chất sau của phép hợp hai tập hợp: 1. Luật đồng nhất: AU0 = 4 cho mọi tập hợp 4. Luật nuốt : 4U U = U cho moi tap hgp ACU. Luật lũy đẳng: AU 4 = A cho mọi tap hop A 4.
Luật giao hoán: AU ö = BUA cho tập hợp A va B tay ý. Luật kết hợp: (AU 8)UƠ = 4U (BU C) cho tập hợp A, B, C thy ý- k Lưu ý. Nhờ có định luặt kết hợp, cho nén ta c6 thé viét AU BUC thay vìviế (AUB) UC. Nha 46 ching ta có thể nói hợp của nhiều tập hợp | ].U Án mà không cần phải nói rõ thứ tự thực hiện phép hợp như thế nào.
Các tính chất của phép hợp (sau này là các phép toán khác) có thể còn được chứng minh nhờ sử dụng bảng thuộc tính. Để chỉ một phần tử thuộc một tập hợp ta dùngsố 1, để chỉ một phần tử không thuộc tập hợp đó ta dùng số 0. Ta sẽ xé trong bảng thuộc tính tắt cả các trường hợp có thể xảy ra khi xét một phần tử chc trước có thể thuộc hay không thuộc các tập hợp cho trước, và chỉ ra rằng phần tử đ¿ thuộc hay không thuộc cả hai vế của đẳng thức cần chứng minh. Cụ thể, để chứng minh tinh chất giao hoán của phép hợp, ta có bảng thuộc tính như sau: Bảng này¢ 4 dòng tương ứng với 4 khả năng có thể của một phần tử trong quan hệ thuộc tật hợp.
Kết quả của bằng chỉ ra rằng phép hợp của hai tập hợp có tính giao hoán. “Tương tự ta có thé chứng minh tính kết hợp của phép hợp cũng bằng bảng thuộc tính. Dùng bảng thuộc tính kiểm tra tính giao hoán và kết hợp. A] B]C] GuBs)uC] Au(Buc) 1Ị1|1 1 1 A[B]IAUB|]BU4|J|1|1|0 1 1 1Ị1 1 1 101 1 1 10 1 1 1J0|0 1 1 0|1 1 1 0|1|1 1 1 ojo 0 0 0|J1|0 1 1 0|0|1 1 1 olojo 0 0 2.2 Phép giao Định nghĩa 2.
Cho trước tập hợp A và tập hợp B. Giao của tập hop A va ta hợp B là tập hợp chứa tắt cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, và chi nha phân tử đó mà thôi. Giao của hai tập hyp A và Ø được ký hiệu bởi ANB. Một cách hình thức ta viết: i ANB={z|reAva ze B}.
B “Trong trường hgp tap hợp A va tap hgp B khong có phần tử chung, giao của chúng là tập hợp 0. Trong, trường hợp này, chúng ta còn nói rằng hai tập hợp. là rời nhau. Giao của tập hợp {1,2,3,4,5} và {2,4,6} là tập hợp {2,4}.
Bằng biểu đồ Venn, hoặc dùng bảng thuộc tính ta thấy dễ dàng các tính chất sau của phép giao hai tập hợp: 1. Luật nuốt: A10 = 0 cho mọi tap hgp A. Luật đồng nhất: Af\U = Á cho mọi tập hợp Á € Ứ 3. Luật lũy đẳng: Af\ A = A cho mọi tập hợp A.
Luật giao hon: ANB = BNA cho tap hop A va B tiy ý. Luật kết hợp: (An B)Ø = An (BC) cho tập hợp A, B, Ở tùy ý.