Chương 1. Hàm số một biến số Chương 2. Phép tính vi phân của hàm số một biến số Chương 3. Phép tính tích phân Chương 4.
Hệ phương trình tuyến tính Chương 5. HAM SO MOT BIEN SO Moi vat xung quanh ta đều biến đôi theo thời gian. Chúng ta có thể nhận thấy điều đó qua sự chuyên động cơ học của vật thê: ô tô, máy bay; sự thay đôi của các đại lượng vật lý: nhiệt độ, tôc độ, gia tôc,. Tât cả các loại hình đó được găn một tên chung là đại lượng hay hàm sô, nó phụ thuộc vào đôi sô nào đó.
Xem xét hàm sô tức là quan tâm đên giá trị, tính chât và biên thiên của nó. Trong chương này sinh viên cân năm vững khái niệm hàm sô, các tính chât của hàm sô. Những hàm sô thông dụng là các hàm sô sơ câp cơ bản, là hàm hữu tỷ sẽ được sử dụng trong các chương sau. Phải lưu ý đến tập giá trị của các hàm ngược của các hàm lượng giác.
Kiên thức tiệp theo sinh viên cân lưu ý đó là giới hạn, đây là khái nệm khó nên các tính chât của hàm có giới hạn, các điêu kiện cân, các điêu kiện đủ phải được hiêu chính xác. Tiệp theo là các vô cùng bé, vô cùng lớn có môi liên hệ trực tiệp đên hàm sô có giới hạn. Chúng ta quan tâm đên một lớp hàm sô đặc biệt quan trọng đó là hàm sô liên tục. Tinh chat liên tục của hàm sô làm cơ sở cho bài toán tìm giá trị nhỏ nhật, lớn nhât, tìm nghiệm đúng của phương trình đại sô hay tính khả tích của nó.Khái niệm hàm số một biến 1.1 Khái niệm ánh xạ Định nghĩa 1.
Cho x,Y là các tập hợp khác rỗng. Ta gọi một ánh xạ từ X vào Y viết là 7: ->Y, là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x thuộc X với một phần tử duy nhất y thuộc Y. Khi đó, X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích của ánh xạ ƒ. Kí hiệu phan tử y tương ứng với phần tử x qua ánh xạ ƒ là y= /(x).
Khi đó, y gọi là ảnh của x qua ý; x gọi là một tạo ảnh của y qua ƒ. Tập các tạo ảnh của phần tử y kí hiệu là #0): Định nghĩa 1. e 7 được gọi là đơn ánh nếu với mỗi y thuộc Y là ảnh của nhiều nhất một x thuộc X. © 7 được gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử y thuộc Y đều có ảnh trong X.
e 7 được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Cho cac tap hop X ={1,2,3,4}, Y ={a,b,c,d,e} Quy tắc f: ¥ > Ysao cho f(1)=a, f(2)=a, f(3)=5,f (4) =c Khi đó ƒ là ánh xạ. không là đơn ánh vì ƒ(I)= ƒ(2)=a không là toàn ánh vì ƒ '(đ)= ø Ví dụ 1. 1) Qui tắc g:R_ R, g(x)=3x+5 1a ánh xạ.
ø là đơn ánh vì : g(x,)=g(x,) > 3x, +5=3x,+5>%, =x,,Vx,x, ER. ø là toàn ánh vì : vyelR ta có s'0)=# cR Do đó g la song anh. 2) Qui tac h:R RE, ñ(x)=x” là ánh xạ. h không là đơn ánh, vì ñ(1)= z(—1) =1.
h không là toàn ánh vi y =-2 chang hạn thì #'(y)=ø 3) Ánh xạ đi từ § vào R xác định bởi y=2"', là một đơn ánh nhưng không phải là toàn ánh. Cho /: x ->Y là một song ánh. Ánh xạ g:Y-—> X thỏa mãn điều kiện y=ƒ(z) khi và chỉ khi x= g(y) gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ / ; kí hiệu fi. Ta có g la song anh ( xem vi du 1.2) va anh xa ngược của g là g '(x)= 3 1.
Hàm số một biến số 1.1 Khải niệm Định nghĩa 1. Cho X,Y là các tập con khác rỗng của tập số thực R. Ánh xạ /ƒ:X->Y được gọi là hàm số một biến số thực, kí higu y= f(x). Khi d6 x gọi là biến số, y gọi là hàm số với biến x.
Tập X được gọi là tập xác định của hàm ƒ, ký hiệu là D. Tap G= f(X) ={/Z(x)xex] được gọi là tập giá trị của hàm ƒ/. Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số y= 2xx? Hàm số đã cho xác định khi :2x—x? >0 © x(2-x)>0<>0<x<2 Vậy tập xác định của hàm số đã cho la D =[0,2]. Tap gia tri G=[0, +00).
Hàm số hợp: Cho hàm số y= ƒ(x) xác định trên tập Ð và hàm số y=g(x) xác định trên tập ƒ(D). Hàm số gø(ƒ(x)) gọi là hàm số hợp của hàm /ƒ và hàm z. Cho các hàm số f(x) =2x+6 va g(x)=sinx Khi đó f(g(x)) = 2sinx +6, ¢(f(x)) =sin(2x+6) 1. Hàm ngược và đồ thị của nó Định nghĩa 1.
Giả sử X,Y c]R, ƒ: X —>Y là song ánh. Ảnh xạ ngược của ánh xạ đó f':Y ->X được gọi là hàm ngược của hàm /. Theo định nghĩa của hàm ngược ta có : (y= ƒ(x),xe X)©(x= ƒ '(),yeY) Định nghĩa 1. Trong mặt phẳng chọn hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy Tập điểm {M(x,y)|x eD;,y= f(x)} được gọi là đồ thị của ham sé.
Chú ý: Đồ thị của hàm số ngược y= ƒ '{x) đối xứng với đồ thị của hàm số y= /(x) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Các hàm số sơ cấp cơ bản e - Hàm luỹ thừa: y=x”,ze#R e - Hàm số mũ:y=a`,(0<a#l) e Ham logarit: y=log, x,(0<a¥#1) e - Các hàm số lượng giác: y =sin x,y =cosx, y = tan x, y =cotx e - Các hàm lượng giác ngược a) Hàm arcsin Định nghĩa 1. Hàm /: 1 —>[-1:1] có quy tắc tương ứng là xr> y=sinx là song ánh nên có hàm ngược ƒˆÌ:[-I:l]— I-55] Quy tắc tương ứng của hàm ngược đó ký hiệu la yo x =arcsiny. Vay (z =sinx,xe [-2/2;7/2]) <> x =arcsin y Ký hiệu biến độc lập là x, biến phụ thuộc là y, ta có công thức của hàm ngược của hàm y =sinx,x €[-2/2;7/2], la y=arcsinx.
Hàm y=arcsinx có tập xác định là đoạn [—1;I], tập giá trị là đoạn [— z/2;z/2]; hàm số đó đơn điệu tăng trên đoạn [— 1:1] và là hàm lẻ. Đồ thị của các hàm ngược nhau y=sinx,xc[—z/2;z/2], và y =arcsinx đối xứng nhau qua phân giác của các góc phần tư 1 và 3, do đó dựa vào đồ thị của hàm số y =sinx,x [—Z/2;Z/2] ta có đồ thị của hàm số y=arcsinx như hình 1. b) Hàm arccos Định nghĩa 1. Quy tắc tương ứng của hàm ngược đó ký hiệu là yE>x=arccosy.
Vay (y =cosx,x e[0:z]) <> x =arccos y Ký hiệu biến độc lập là x, biến phụ thuộc là y, ta có công thức của hàm ngược của hàm y=cosx,x e|0;Z], là y=arecosx. Hàm y=arccosx có tập xác định là đoạn [- I;I], tập giá trị là đoạn [0;z]; hàm số đó đơn điệu giảm trên đoạn[—1;I]. Đồ thị của các hàm ngược nhau y=cosx,x e|0;z], và y=arccosx đối xứng nhau qua phân giác của các góc phần tư | va 3, do đó dựa vào đồ thị của hàm số y = cosx,x e[0;z] ta có đồ thị của hàm số y =arccosxnhư hình 2. c) Ham arctan Dinh nghia 1.
Ham f (-š$JÐ R có quy tắc tương ứng là xE> x là song ánh nên có ham nguoc f':R 3] Quy tắc tương ứng của hàm ngược đó ký hiệu là — yR tany. Vay (y =tanx,xc(—Zz/2;Z/2))© x =arctan y Ký hiệu biến độc lập là x, biến phụ thuộc là y, ta có công thức của hàm ngược của hàm y=tanx,xe(—Zz/2;:z/2), là y=arctanx. Hàm y=arctanx có tập xác định là tập R, tập giá trị là khoảng (—z/2:Zz/2); hàm số đó đơn điệu tăng trên và là hàm lẻ. Đồ thị của các hàm ngược nhau y=tanx,xe(—z/2;z/2), và y=arctanx đối xứng nhau qua phân giác của các góc phần tư 1 va 3, do đó dựa vào đồ thị của hàm số y=tanx,xc(—Z/2;Z/2) ta có đồ thị của hàm số y=arctanx như hình 3.
d) Ham arccot Dinh nghia 1. Quy tắc tương ứng của hàm ngược đó ký hiệu là y> coty. Vậy (y =cotx,x e(0;m)) © x = arccoty Ký hiệu biến độc lập là x, biến phụ thuộc là y, ta có công thức của hàm ngược của hàm y =cotgx,x e(0;z), là y=arccotx. Hàm y=arccotx có tập xác định là tap R, tap giá trị là khoảng (0;z); hàm số đó đơn điệu giảm trên.
Đồ thị của các hàm y = cotgx,x € (0;n), va y=arccotx đối xứng nhau qua phân giác của các góc phần tư I và 3, do đó dựa vào đồ thị của hàm số y =cotgx,x e(0;7) ta có đồ thị của hàm số y=arccotx như hình 4. Các phép toán sơ cấp trên hàm số một biến số Cho hai hàm số y= ƒ(x) và y= g(x) cùng xác định trên tập Ð. Ta có các phép toán sơ cấp giữa hai hàm số như sau: e Tổng hai hàm số ƒ và g là hàm số ƒ+g sao cho (Z+z)(x)=/(s)+sŒ) e Tíchhaihàm số ƒ và ø là hàm số / sao cho (/#)(x)= /(x). Hàm số sơ cấp là hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép lấy tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng số.
Các hàm số sau là các hàm số sơ cấp 1)y = cos(2x+1)+xsinx — In(x? +1) 2)y Yx—1 2x? +3x-1 3)yp- 2 Dy 2x-5 Trong các hàm số sơ cấp người ta chú ý đến 2 loại hàm số sau: hàm đa thức và hàm hữu tỉ. Hàm đa thức là hàm số có dang P(x)=a,+a,x+a,x°+. Nếu a, #0 thì P,(x) được gọi là đa thức bậc n. Hàm hữu tỉ là thương số của 2 hàm đa thức như sau P(x) qạ+aix+.Dãy số và giới hạn dãy số 1.1 Các khải niệm cơ bản Định nghĩa 1.
« Một đấy số là một ánh xạ x:Ñ R,biến neN > R. Ki hiéu {x,} ni ` e Ta nói dãy số {zx,)hội tụ đến số thực ø nếu V£ >0,3z„ sao cho |x—al<e,Vn>n. « Ta nói dãy số {x,} có giới hạn vô hạn nếu |x,| lớn tùy ý khi n đủ lớn, tức là : VM >0,4n, €N sao cho |x„|> Â⁄,Vø > mạ. Kí hiệu limx, =œ n> Vi du 1.
Dung định nghĩa giới hạn chứng minh: pret lim YD” ~ 9 2)im—— =I 3)lim(@~D=œ nm on noo N Giai: NG 1 1) Ta có -0|<£«©-l<e©n>— n n é cy n -0 Do đó Ve>0chọn ø = ñ sao cho <£;Vn > nạ é yet Vay tim £ ) =0 n> n 2) Ta có ego | <e@n>T~1 n+1 n+l é. 1 Do đó Ve>0chọn ny =| 2-1] cho | -1 <£;Vñ > nụ £ n+1 Vay lim =1 n> n+] 3) Ta có \n?-1|>M <n? >M+1 (n>l©n>NM +1 Do dé VM >O0chon n, = VM +1 sao cho In? =I >M;Vn>n, Vay lim(n* -1) =00 1. Các tinh chất của dãy hội tụ « Giới hạn của một dãy số (nếu có là đuy nhất). « Nếu limx, =x,limy„ =y thì lim(x, + y„)=x+y lim(x„y„) =xy lim(=2) = 2 y, #0,y #0.