Giáo trình Toán Cao Cấp C1 2: Khám Phá Đạo Hàm Hai Biến và Ứng Dụng

Tài liệu giảng dạy Toán cao cấp c1 2: đạo hàm hai biến hệ thống hóa kiến thức từ cơ bản đến nâng cao ngành phục vụ đào tạo và ngh

• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Toán Cao Cấp
• Đề tài: Đạo Hàm Hai Biến
• Loại tài liệu: Giáo Trình
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• 3. CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH VI PHÂN HAI BIẾN
• 3.1. Đạo hàm riêng
• 3.2. Đạo hàm riêng cấp một
• 3.3. Đạo hàm riêng cấp hai
• 3.4. Vi phân
• 3.5. Vi phân cấp hai
• 3.6. Cực trị tự do
• 3.7. Ứng dụng cực trị tự do trong kinh tế
• 3.8. Cực trị có điều kiện
• 3.9. Ứng dụng cực trị có điều kiện trong kinh tế

Tóm tắt

I. Giáo trình Toán Cao Cấp C1 2 Tổng Quan Đạo Hàm Hai Biến

Toán cao cấp C1 2 mở ra cánh cửa vào thế giới Giải tích hàm nhiều biến, đặc biệt tập trung vào đạo hàm hai biến. Chương này không chỉ là nền tảng lý thuyết mà còn cung cấp công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán thực tế trong kỹ thuật, kinh tế và khoa học máy tính. Hiểu rõ đạo hàm hai biến giúp ta mô hình hóa và tối ưu hóa các hệ thống phức tạp. Theo định nghĩa trong tài liệu gốc, hàm hai biến là quy tắc tương ứng mỗi cặp số thực có thứ tự (x, y) với một và chỉ một số thực z, được ký hiệu là z = f(x, y). Điều này tạo ra một bề mặt trong không gian ba chiều, và đạo hàm hai biến giúp ta khám phá các đặc tính của bề mặt này, như độ dốc và hình dạng.

1.1. Khái niệm hàm hai biến Định nghĩa và ví dụ minh họa

Hàm hai biến nhận hai đầu vào độc lập (x, y) và trả về một giá trị duy nhất z. Ví dụ, lợi nhuận của một công ty sản xuất hai loại sản phẩm phụ thuộc vào số lượng mỗi loại được sản xuất. Hàm lợi nhuận có thể được biểu diễn như II(x, y) = 4x + 6y, trong đó x và y là số lượng sản phẩm loại 1 và loại 2, tương ứng. Miền xác định của hàm là tập hợp tất cả các cặp (x, y) mà hàm có giá trị thực. Theo tài liệu, khi cho hàm số z = f(x; y) bằng công thức, ta hiểu miền xác định là tập hợp tất cả các điểm (x; y) làm cho biểu thức f(x; y) có nghĩa.

Ví dụ khác, hàm sản xuất Cobb-Douglas Q(K, L) = A * K^α * L^(1-α) mô tả mối quan hệ giữa vốn (K) và lao động (L) với sản lượng (Q). Các hằng số A và α xác định hiệu quả và tỷ lệ đóng góp của từng yếu tố sản xuất.

1.2. Ứng dụng thực tế của hàm hai biến trong kinh tế và kỹ thuật

Trong kinh tế, hàm hai biến được sử dụng để mô hình hóa doanh thu, chi phí, và lợi nhuận phụ thuộc vào nhiều yếu tố như giá cả, sản lượng, và chi phí quảng cáo. Ví dụ, một công ty sản xuất hai loại sản phẩm có thể có hàm doanh thu R(Q1, Q2) = Q1 * P1 + Q2 * P2, trong đó Q1, Q2 là số lượng sản phẩm và P1, P2 là giá tương ứng. Trong kỹ thuật, hàm hai biến được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý như nhiệt độ trên một bề mặt, áp suất trong một hệ thống, hoặc điện thế trong một trường điện. Việc phân tích hàm hai biến giúp kỹ sư tối ưu hóa thiết kế và điều khiển các hệ thống này.

Ví dụ: Hàm chi phí hàng tuần được tính bởi C(Q1; Q2) = 500 + 70Q1 + 80Q2, trong đó Q1 va Q2 là số sản phẩm loại thứ nhất và thứ hai được sản xuất.

II. Thách Thức và Cách Giải Quyết Bài Toán Đạo Hàm Riêng

Một trong những thách thức lớn khi làm việc với hàm nhiều biến là sự phức tạp trong việc tính toán và diễn giải đạo hàm riêng. Đạo hàm riêng đo lường tốc độ thay đổi của hàm theo một biến cụ thể, giữ các biến khác không đổi. Điều này đòi hỏi sự cẩn trọng trong việc áp dụng các quy tắc đạo hàm và hiểu rõ ý nghĩa hình học của kết quả. Ví dụ, đạo hàm riêng của hàm f(x, y) theo x tại điểm (a, b) được định nghĩa là lim (Δx→0) [f(a + Δx, b) - f(a, b)] / Δx. Để giải quyết những thách thức này, cần nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản, sử dụng công cụ phần mềm hỗ trợ tính toán, và thực hành giải nhiều bài tập khác nhau.

2.1. Phương pháp tính đạo hàm riêng cấp một Cách tiếp cận hiệu quả

Để tính đạo hàm riêng cấp một, ta xem các biến khác như hằng số và áp dụng các quy tắc đạo hàm thông thường. Ví dụ, nếu f(x, y) = x^2 * y^3, thì đạo hàm riêng theo x là ∂f/∂x = 2x * y^3, và đạo hàm riêng theo y là ∂f/∂y = 3x^2 * y^2. Quan trọng là phải nhớ giữ các biến khác không đổi trong quá trình đạo hàm. Theo định nghĩa 3, cho y = b, thì f(x;b) = h(x) là hàm một biến x. Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số này, ta xem biến số còn lại là hằng và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến.

Ví dụ áp dụng đạo hàm của hàm hợp: zx = e^(x^2+y^2) * 2x

2.2. Quy tắc dây chuyền Chain rule cho hàm nhiều biến Hướng dẫn chi tiết

Quy tắc dây chuyền cho phép ta tính đạo hàm của hàm hợp, trong đó một biến phụ thuộc vào các biến khác. Ví dụ, nếu z = f(x, y) và x = g(t), y = h(t), thì đạo hàm của z theo t là dz/dt = (∂f/∂x) * (dx/dt) + (∂f/∂y) * (dy/dt). Quy tắc này rất quan trọng khi phân tích các hệ thống phức tạp, trong đó các biến liên quan đến nhau. Nắm vững quy tắc dây chuyền giúp ta giải quyết các bài toán tối ưu hóa và mô hình hóa một cách hiệu quả.

Công thức: dz/dt = (∂f/∂x) * (dx/dt) + (∂f/∂y) * (dy/dt). Đây là kiến thức nền tảng trong chương trình Toán Cao Cấp.

III. Bí Quyết Tìm Cực Trị Hàm Hai Biến Điều Kiện và Phương Pháp

Tìm cực trị (cực đại và cực tiểu) của hàm hai biến là một vấn đề quan trọng trong nhiều ứng dụng. Để tìm cực trị, ta cần xác định các điểm dừng, tức là các điểm mà tại đó đạo hàm riêng theo cả hai biến đều bằng không. Sau đó, ta sử dụng các điều kiện đủ (như ma trận Hessian) để xác định xem điểm dừng đó là cực đại, cực tiểu, hay điểm yên ngựa. Nếu AC - B2 > 0 và A < 0 thì (a; b) là điểm cực đại của z. Nếu AC - B2 > 0 và A > 0 thì (a; b) là điểm cực tiểu của z. Nếu AC - B2 < 0 thì (a; b) không là điểm cực trị của z. Trường hợp AC - B2 = 0, ta chưa có kết luận. Việc này đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải toán.

3.1. Điều kiện cần và đủ cho cực trị tự do Phương pháp xác định

Điều kiện cần cho cực trị tự do là đạo hàm riêng phải bằng không tại điểm đó. Tuy nhiên, điều này không đảm bảo rằng điểm đó là cực trị. Điều kiện đủ liên quan đến đạo hàm riêng cấp hai và ma trận Hessian. Nếu ma trận Hessian là xác định dương, điểm đó là cực tiểu; nếu xác định âm, điểm đó là cực đại; nếu không xác định, điểm đó là điểm yên ngựa. Quan trọng là phải kiểm tra tất cả các điểm dừng để tìm tất cả các cực trị. Theo định lý, nếu f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp hai xác định và liên tục trên một hình tròn D thì fxy(x;y) = fyx(x;y), ∀(x;y) ∈ D.

3.2. Cực trị có điều kiện và Nhân tử Lagrange Cách giải bài toán

Khi tìm cực trị của hàm hai biến với một ràng buộc (ví dụ, g(x, y) = 0), ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Phương pháp này giới thiệu một biến mới (λ) và xây dựng hàm Lagrange L(x, y, λ) = f(x, y) + λ * g(x, y). Sau đó, ta tìm các điểm dừng của hàm Lagrange bằng cách giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng không. Các điểm dừng này là ứng cử viên cho cực trị có điều kiện. Theo định lý 3,5: có điểm (a; b) thỏa, các đạo hàm riêng gx,gy không đồng thời bằng không tại (a; b).

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x^2 + y^2 với điều kiện x + y = 1

3.3. Ứng dụng của cực trị trong bài toán tối ưu hóa Ví dụ thực tế

Các bài toán tối ưu hóa xuất hiện rất nhiều trong thực tế. Ví dụ, một công ty có thể muốn tối đa hóa lợi nhuận với một ngân sách hạn chế. Hoặc, một kỹ sư có thể muốn thiết kế một cấu trúc sao cho chi phí vật liệu là tối thiểu mà vẫn đảm bảo độ bền. Các phương pháp tìm cực trị của hàm hai biến là công cụ quan trọng để giải quyết những bài toán này. Trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo, nhà sản xuất bán sản phẩm với giá do thị trường quyết định. Doanh nghiệp sẽ tìm cách tối đa hóa lợi nhuận thông qua sản lượng.

IV. Vi Phân Toàn Phần và Ứng Dụng Cách Tính và Ý Nghĩa

Vi phân toàn phần của hàm hai biến đo lường sự thay đổi nhỏ của hàm khi cả hai biến đều thay đổi một lượng nhỏ. Nó là một công cụ quan trọng để xấp xỉ giá trị của hàm và phân tích độ nhạy. Theo định nghĩa, nếu Δx, Δy đủ nhỏ thì (a + Δx, b + Δy) ∈ ID. Khi đó, ta đặt Δf(a;b) = f(a+ Δx;b+ Δy) — f(a;b). Vi phân toàn phần được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật, kinh tế, và khoa học máy tính. Dùng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có |x-Δx + B-Δy| < √(A^2+ B^2)√(Δx^2 + Δy^2).

4.1. Công thức vi phân toàn phần Hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa

Vi phân toàn phần của hàm z = f(x, y) là dz = (∂f/∂x) * dx + (∂f/∂y) * dy. Công thức này cho phép ta tính sự thay đổi nhỏ của z khi x thay đổi một lượng dx và y thay đổi một lượng dy. Ví dụ, nếu f(x, y) = x^2 + y^3, thì dz = 2x * dx + 3y^2 * dy. Khi f(x;y) = x, f(x;y) = y thì lần lượt ta có Δx = dx, Δy = dy.

Ví dụ: df (x;y) = [3x^2y^2 + ycos(xy)]dx + [2x^3y + x cos(xy)]dy.

4.2. Ứng dụng của vi phân toàn phần trong xấp xỉ giá trị hàm

Vi phân toàn phần có thể được sử dụng để xấp xỉ giá trị của hàm tại một điểm gần một điểm đã biết giá trị. Ví dụ, nếu ta biết f(a, b) và vi phân toàn phần dz, thì f(a + dx, b + dy) ≈ f(a, b) + dz. Phương pháp này hữu ích khi tính toán trực tiếp giá trị của hàm là khó khăn hoặc tốn kém. Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm f(x;) khả vi tại điểm (a;b).

V. Đạo Hàm Cấp Cao Cách Tính và Ý Nghĩa Hình Học

Đạo hàm cấp cao (đạo hàm bậc hai trở lên) cung cấp thông tin chi tiết hơn về hình dạng và tính chất của hàm. Ví dụ đạo hàm riêng cấp hai. Đạo hàm cấp hai đo lường độ cong của hàm theo một biến cụ thể. Ma trận Hessian chứa tất cả các đạo hàm riêng cấp hai và được sử dụng để xác định cực trị và phân loại điểm dừng. Vi phân cấp hai là một khái niệm quan trọng.

5.1. Đạo hàm riêng cấp hai và ma trận Hessian Công thức và cách tính

Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm z = f(x, y) là ∂^2f/∂x^2, ∂^2f/∂y^2, ∂^2f/∂x∂y, và ∂^2f/∂y∂x. Ma trận Hessian là ma trận vuông chứa các đạo hàm riêng cấp hai. Ví dụ, nếu f(x, y) = x^3 + y^4, thì ma trận Hessian là [[6x, 0], [0, 12y^2]]. Ma trận Hessian cung cấp thông tin về độ cong và tính chất địa phương của hàm. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của z. zi = 2xy^3 + 4x^3, zy = 3x^2y^2.

5.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm cấp hai Độ cong và điểm uốn

Đạo hàm cấp hai đo lường độ cong của hàm. Nếu đạo hàm cấp hai dương, hàm cong lên (lõm); nếu âm, hàm cong xuống (lồi). Điểm uốn là điểm mà tại đó độ cong thay đổi dấu, tức là đạo hàm cấp hai bằng không hoặc không tồn tại. Việc phân tích đạo hàm cấp hai giúp ta hiểu rõ hơn về hình dạng và tính chất của hàm. Nếu fxy = fyx thì ta có d^2 f(x;y) = fxxdx^2 + 2fxydxdy + fyydy^2.

VI. Bài Tập Đạo Hàm Hai Biến Luyện Tập và Nâng Cao Kỹ Năng

Để thành thạo các khái niệm và kỹ năng liên quan đến đạo hàm hai biến, việc giải nhiều bài tập là rất quan trọng. Các bài tập giúp củng cố kiến thức lý thuyết, rèn luyện kỹ năng tính toán, và phát triển tư duy giải quyết vấn đề. Ví dụ, một bài tập có thể yêu cầu tính đạo hàm riêng, tìm cực trị, hoặc sử dụng vi phân toàn phần để xấp xỉ giá trị. Việc thực hành thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc áp dụng các công cụ toán học vào các bài toán thực tế.

6.1. Bài tập tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần Mẫu và lời giải

Các bài tập này tập trung vào việc áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản và công thức vi phân toàn phần. Ví dụ, bạn có thể được yêu cầu tính đạo hàm riêng của hàm f(x, y) = e^(x*y) + sin(x + y) hoặc tìm vi phân toàn phần của hàm z = x^2 * y^3. Lời giải chi tiết giúp bạn hiểu rõ các bước thực hiện và tránh các lỗi thường gặp. Bạn có thể tìm thấy các dạng bài tập và ví dụ cụ thể trên các trang web uy tín về Toán học.

6.2. Bài tập tìm cực trị và giải bài toán tối ưu hóa Hướng dẫn giải chi tiết

Các bài tập này tập trung vào việc áp dụng các điều kiện cần và đủ cho cực trị và phương pháp nhân tử Lagrange. Ví dụ, bạn có thể được yêu cầu tìm cực trị của hàm f(x, y) = x^2 + y^2 với điều kiện x + y = 1 hoặc giải bài toán tối ưu hóa lợi nhuận của một công ty với một ngân sách hạn chế. Hướng dẫn giải chi tiết giúp bạn nắm vững các bước thực hiện và áp dụng các phương pháp một cách hiệu quả.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chuong 3 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN 3.1 Dao ham riéng Ta ký hiệu RẺ là tập hop tat ca cdc cap s6 thuc (x;y), nghia la *= {Ocy): xy © R}.11 Hàm hai biến Giả sử một công ty, chỉ sản xuất hai loại sản phẩm, sản xuất x đơn vị sản phẩm loại thứ nhất với lợi nhuận là 4USID trên một đơn vị và y don vi của sản phẩm loại thứ hai véi loi nhuan 1a 6USD trén mét don vị. Thế thì, tổng lợi nhuận của nó là một hàm sỐ theo hai biến x và y, va được cho bởi FI{+,ự) = 4x + 60. Hàm số này biến cặp số (x; y) thành một số thực duy nhất là 4x + 6. Tổng quát, ta có Định nghĩa 3.

Hàm số ƒ theo hai biến độc lập x va y la m6t quy tắc làm tương ứng mỗi cặp số thực có thứ tự (z;1) với một và chỉ một số thực z được ký hiệu là ƒ(x; y). Hàm số như vậy được ký hiệu là = ƒ(;0). e x va y được gọi là hai biến độc lập. e z được gọi là biến phụ thuộc.

Tập hợp tất cả các cặp số thuc (x;y) sao cho f GẦN. cũng là số thực được gọi là miền xác định của ƒ. Gọi D là miền xác định của ƒ. Miễn giá trị của ƒ là © ƒ£(D) = {z:z = ƒ(x;vw).1 Dao ham riéng 105 Chu y 3.

Trong một vài trường hợp, nêu A1 là điểm có toa dé (x; y) thì ta có thể viết ƒ(Mf) thay cho ƒ(z; 0). Khi cho hàm số z = ƒ(x; ) bằng công thức thì ta hiểu miễn xác định của hàm số là tập hợp tất cả các điểm (x; ý) làm cho biểu thức ƒ(x; ) có nghĩa. Xét hàm lợi nhuận II(x;) = 4x + 6y (USD). Kết quả này có nghĩa là bằng cách sản xuất và bán 2 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 3 sản phẩm loại thứ hai, công ty sẽ thu được lợi nhuận là 26USD.

Một công ty sản xuất nhỏ sản xuất hai loại sản phẩm. Nếu chỉ phí cố định là 500USID mỗi tuần và chỉ phí biến đổi là 70USD cho mỗi sản phẩm loại thứ nhất, 80USD cho mỗi sản phẩm loại thứ hai thì hàm chỉ phí hàng tuần được tính bởi C(Q1; Q2) = 500 + 70Q; + 80Q2, vGi Q; va Q2 là số sản phẩm loại thứ nhất và số sản phẩm loại thứ hai được sản xuất trong mỗi tuần. Kết quả này có nghĩa là, trong mỗi tuân, nêu sản xuất 20 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 10 đơn vị sản phẩm loại thứ hai thì công ty sẽ tốn chỉ phí la 2700USD. Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm xác định được hai hàm giá - câu cho hai loại sản phẩm là ì = 210 — 4€ + Qo, P2 = 300 + 1 — 122, trong đó, Pị và P› tương ứng là giá của sản phẩm loại thứ nhất và giá của sản phẩm loại thir hai, Q) ka Q2 tuong ung là cầu sản phẩm loại thứ nhất va cau san phẩm loại thứ hai trong méi tuan.

a) Tìm hàm doanh thu mỗi tuần R(O\; Q2), và tinh R(20; 10). 106 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN b) Gia str ham chi phi mdi tuan là C(Q1;Q2) = 700 + 70Q; + 100Q>2, tìm hàm lợi nhuận hàng tuần II(Q1; Q2), va tinh 11(20; 10). a) Hàm doanh thu mỗi tuần là R(Q3; Q2) = Q1. b) Ham lợi nhuận mỗi tuần là 11(Q1; Q2) = R(Q1; Q2) — C(Q1; Q2) v== 2101 + 300Q; — 4Q7 — 12Q2 + 2Ó1Q; — (700 + 70Q¡ + 100Q2) = 140Q; + 200Q2 — 4Q% — 12Q% + 201Q2 — 700.

@ Ham sản xuat Cobb-Douglas Sản lượng @ của một nhà máy thường được coi là một hàm số theo hai biển: số đơn vị vốn đầu tư K va sé đơn vị lao động L. Hàm số này có dạng O(K;L) = A.LÌ~*, trong do, A va ø là các hằng số dương, được biết đến với tên gọi là hàm san xuat Cobb-Douglas. Sản lượng của một công ty sản xuất thép được cho bởi hàm Q(K;L) = 10.L° Nếu công ty sử dụng 1000 đơn vị vỗn và 3000 đơn vị lao động thì có bao nhiêu đơn vị thép sẽ được sản xuất? Giải. Số đơn vị thép sẽ được sản xuất là O(1000; 3000) = 10.1 Dao ham riéng 107 3.2 Đạo hàm riêng cấp một Định nghĩa 3.

Cho y = b, thi f(x;b) = h(x) la ham một biến x. Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số này, ta xem biến số còn lại là hằng và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến. Khi ƒ có đạo hàm riêng theo biễn x tai (a; b) thi of (a by = tim £62 435) — F(ab) dim, Ax Khi f cé dao ham riéng theo bién y tai (a; b) thi sợ (6 ;b)'= 1 /;b + Sy)— ƒ(;b)_ Aw->0 Ay Vi dụ 3. Áp dụng đạo hàm của hàm hợp, ta có z¿ / seh ty x (x24 y) = et 2x t oxt+y? Zzy=er TY.

108 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN Vi du 3. Tacé Feary) = yx!) và fj(x;y) = xVInx. eH va , : (hy } + ey tay tự Ví dụ 3. Ta cé Figye YEOMAN —~ ara aa Ụ MÔ 4 x fy = xcos(xy) + Pe Ví dụ 3.

Cho hàm số =“z, nếu (x;v) # (0;0); ƒŒ;y) = Ự +e 0, néu (x;y) = (0;0). Tinh các đạo hàm riêng cap mot cua f(x; y). Xét hai trường hợp: e Trường hợp 1: (x;) z# (0:0). Tương tự ta cũng có ƒ/(0;0) = 0.1 Dao ham riéng 109 Tóm lai, 3 2.

x3 — xy? = tri néu (x;y) 4 (0;0); fy) 2 néu (x;y) = (0;0). Xét hàm lợi nhuận trong Ví dụ 3. Tim Tg, (15; 10), To, (40; 10) va giai thich cdc két qua này. Giải thích kết quả: e Ở mức sản lượng 15 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 10 đơn vị sản phẩm loại thứ hai mỗi tuần, việc tăng mức sản lượng của sản phẩm loại thứ nhất lên 1 đơn vị và cô định mức sản lượng của sản phẩm loại thứ hai sẽ làm tăng lợi nhuận khoảng 40USI.

e Ở mức sản lượng 40 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 10 đơn vị sản phẩm loại thứ hai mỗi tuần, việc tăng mức sản lượng của sản phẩm loại thứ nhất lên 1 đơn vị và cố định mức sản lượng của sản phẩm loại thứ hai sẽ làm giảm lợi nhuận khoang 160USD. Bây giờ, xét hàm sản lượng Q(K;L) = A.L1—*, Các đạo hàm riêng 9Q. 9Q aK ©" aL tương ứng được gọi là sản lượng cận biên theo vén va sản lượng cận biên theo lao động. 110 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN Ví dụ 3.

Sản lượng của một công ty sản xuất máy tính để bàn có hàm sản lượng Q(K; L) = 15.L°4, Công ty hiện đang sử dụng 2500 đơn vị vốn và 4000 đơn vi lao động, hãy tìm sản lượng cận biên theo lao động và sản lượng cận biên theo vốn. Để tăng sản lượng nhiều hơn, lãnh đạo công ty nên tăng lao động hay tăng von? Giải. Ở mức sử dụng vốn và lao déng hién tai, néu cé dinh số đơn vị lao động và tăng một đơn vị vốn thì sản lượng tăng lên gần 10,86 đơn vị; còn nếu cô định vốn và tăng một đơn vị lao động thì sản lượng tăng lên gần 4,53 đơn vị. Do đó, lãnh đạo công ty nên tăng vốn.

Đạo hàm riêng cấp hai Dinh nghia 3. Cho ham z = f(x;y) co hai dao ham riéng z, va z,. Dao hàm riêng, néu cé, của z¿ và z„ được gọi là đạo hàm riêng cap hai của z, và được ký hiệu là Oz 3ˆz “¬. Tính cáo hàm riêng cấp hai của z.

zi = 2xy° + 4x°, zy = 3x*y’, me = 2y + 12+, Zyx = 6xy’, Zxy = 6x, Z2 = 6x*y.2 Vi phan 111 Vi du 3. Tại (x;) z (0;0), ta có 2 2 2 ty „XU 4xụ FAGY) = Waa tT YT + y2)2 và f(y)=_ -#ˆ 4 - 1V _4x2 — TT UP: Mặt khác tại (0;0), ta lại có m (A10) - /(09) _ ta 0—0_—o_— go, Aim, Ax = jim ag TOR # (0;0) ve f(0;Ay) — ƒ(0;0) 0-0 ayo i ; ¥y Ay — ; = 1 — = H. = ự ; Suy ra ma x0 Ay)— (0/0) =ây—0 _ _1_ grự(Q, aim, Ay = jim, Ax Lo Sey (0; 0) eo fil Axi0) — f(0;0) Ax — 0 arto CR CAN Ax = 1 = Fyx(050)- ° y x; — 1 ; _ ° x= — — ay .13 va Vi du 3.14 cho thay hai dao ham hén hop đấu “ có thể bằng hoặc khác nhau. Định lý sau cho ta một điều kiện đủ để Tự Tản Định lý 3.

Nếu ƒ(x;) có đạo hàm riêng đến cấp hai xác định 0à liên tục trên mot hinh tron D thì 3xấy (459)= guáy (4/9), Y(x;) € D, 2 a2 112 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN 3.1 Khái niệm vi phân Cho ƒ(z; ) xác định trên hình tròn Ð có tâm là điểm (4; b). Nếu Ax, Aw đủ nhỏ thì (2 + Ax;b + Ay) € ID). Khi đó, ta đặt Af(a;b) = f(a+ Ax;b+ Ay) — f(a;b).1) trong do: e AvaBla hang số, chi phu thuéc (a; b); e x — 0 và 6 — 0 khi Ax, Ay —> 0. Khi đó, biểu thức A.Aw được gọi là vi phân toàn phần của ƒ(+x; 1) tại (a;b), và được ký hiệu là 3ƒ(a; b}, df(a;b) = A.

Dùng bắt đẳng thức Bunyakovsky, ta có |x.-Ay| < Va2+ 82V(Ax? + A2. Suy ra Jx-Ax + BAY! — (/x2 + Ø2 > Okhi Ax, Ay —> 0. Ax? + Ay? Do đó, &.Ay = 0(,/Ax? + Ay?) khi Ax, Ay —> 0.6) có thể viết dưới dạng Af(a;b) = A.2) Dinh ly sau day cho ta điều kiện đủ để hàm f(x;) khả vi tại điểm (a;b).3 Cực trị tự do 113 Định lý 3. Ham f(x;y) = xy? c6 fi = 3x?y* va fy = 2x°y xác định và lién tuc tai moi diém nén f(x; y) kha vi tai moi diém.8) néu lan lugt cho f(x;y) = x, f(x;y) = y thì lần lượt ta có Ax = dx, Ay = dy.8) tro thanh df(a;b) = f,(a;b).

Ta c6 df (x;y) = [3x7y? + ycos(xy)|dx + [2x3y + x cos(xy)]dy.2 Vi phân cấp hai Định nghĩa 3. Vi phân đƒ(x; y) là ham hai biến x, y. Vi phân nếu có của df (x;y) duoc gọi là vi phân cấp hai của ƒ(x;1) va ky hiéu 1a df (x;y). Bây giờ ta giả sử x,ự là hai biến độc lập, nghĩa là chúng không phụ thuộc vào biến nào khác.

Khi đó, do đx và ấy là các hằng số nên a’ f(x:y) =d (df (x:y)) = d(frdx + fay) = d(frdx) + d(fydy) = d( fz )dx + d(f, dy = | fadx + fray] dx + | yx AX + firdy| dy = f›dx? + fyxdxdy + fy,dxdy + fipdy’.