MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chương này giới thiệu một cách sơ lược về lý thuyết phương trình vi phân. Một số khái niệm cơ bản được giới thiệu thông qua các mô hình thực tiễn để người đọc tiếp cận một cách tự nhiên. Nội dung được trình bày ở đây phù hợp với người đọc đã được trang bị những kiến thức cơ sở về giải tích cổ điển và đại số tuyến tính.1 Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân Nhiều bài toán vật lý, cơ học, sinh học,.dẫn đến việc giải các phương trình hàm có chứa vi phân của hàm phải tìm. Để minh họa, chúng ta xét một số mô hình sau: 1.1 Mô hình chuyển động của lò xo Bây giờ hãy quan sát một ví dụ về mô hình từ khoa học vật lý.
Chúng ta xem xét chuyển động của một đối tượng với khối lượng zn tại đầu của một lò xo dọc. Theo Định luật Hooke, nếu lò xo được kéo dài (hoặc nén) x đơn vị từ chiều dài tự nhiên của nó, thì nó tạo nên một lực tỷ lệ thuận với x: lực đàn hồi bang —kx, trong đó k là hằng số dương, được gọi là hằng số đàn hồi (spring constant). Néu chúng ta bỏ qua mọi lực cản bên ngoài (do sức cản không khí hoặc ma sát) thì theo Định luật thứ 2 Newton (lực bằng khối lượng nhân với gia tốc), ta có my = —kx (1.1) Đây là một ví dụ về phương trình vi phân cấp hai bởi vì nó liên quan đến các đạo hàm cấp hai. Hãy xem những gì chúng ta có thể đoán về dạng của nghiệm trực tiếp từ phương trình.
Chúng ta có thể viết lại phương trình (1.1) dưới dạng: d?x k dam Phương trình trên nói lên rằng đạo hàm cấp 2 của x tỷ lệ với x nhưng trái dầu. Chúng ta biết hai hàm có tính chất này, là hàm sin và hàm cos. Trong thực tế, nó chỉ ra rằng tất cả các nghiệm của phương trình (1.1) có thể được viết như là sự kết hợp của các hàm sin và cos.2 Con lắc toán học Xét dao động của một chất điểm có khối lượng m dưới tác dụng của lực hút. Chuyển động của con lắc sẽ xảy ra trong mặt phẳng thẳng đứng.
Gọi / là độ dài của con lắc, @(7) là góc lệch của con lắc so với vị trí thẳng đứng tại thời điểm :. Khi đó theo các định luật của cơ học ta có phương trình: ml" (t) +mgsin g(t) =0 Hay trong dang rut gon: 16" (t) + gsing(t) =0 (1. Mô hình tăng trưởng dân số Một mô hình cho sự phát triển của một dân số được dựa trên giả định rằng dân số phát triển với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của dân số. Đó là một giả định hợp lý cho một quần thể vi khuẩn hoặc động vật trong điều kiện lý tưởng (không giới hạn môi trường, dinh dưỡng đầy đủ, không có kẻ thù, khả năng miễn dịch bệnh).
Chúng ta hãy xác định và đặt tên cho các biến trong mô hình này: / là thời gian (biến độc lập) P là số lượng các thể trong quần thể (biến phụ thuộc), tốc độ tăng trưởng của quần thé là đạo hàm a. Vì thế chúng ta giả sử rằng tốc độ tăng trưởng của quần thể tỷ lệ thuận với số lượng các cá thể, được viết theo phương trình: đỀ _ kp (1.3) dt trong do k 1a hang sé ty 1é. Phương trình (1.3) là mô hình đối với sự tăng trưởng quần thể. Đó là phương trình vi phân bởi vì nó chứa hàm phải tìm P và đạo hàm của nó a Đã xây dựng được mô hình, chúng ta xem hậu quả của nó.
Nếu chúng ta loại trừ dân số bằng 0 thi P(t) > 0 véi moi t. Vi vậy nếu k > 0 thì phương trình (1.3) chứng tỏ rang P(t) > 0 véi moi t. Nghia là quần thể luôn luôn tăng. Sự that, khi P(r) ting, phương trình (1.3) chi ra rang ° trở lên lớn hơn.
Nói khác đi, tốc độ tăng trưởng tăng khi quần thể tăng. Chúng ta xem xét nghiệm của phương trình (1. Phương trình này yêu cầu chúng ta tìm một hàm mà đạo hàm của nó là hằng số nhân với chính nó. Dễ kiểm tra rằng hàm mũ có tính chất này.
Sự thật, nếu chúng ta dat P(t) = Ce*, thi P’(t) = C(ke) = k(Ceh) = kP(). Vì vậy bất kỳ hàm mũ dạng P(7) = Ce*" là nghiệm của phương trình (1. Cho phép € nhận mọi giá trị thực, chúng ta nhận được họ nghiệm P() = Ce*, Nhưng quần thể chỉ có giá trị dương và vì vậy chúng ta chỉ quan tâm các nghiệm với C > 0. Và có lẽ chúng ta chỉ quan tâm với các giá trị của t lớn hơn giá trị thời gian khởi tạo t = 0.
Dat t = 0, ta nhận được P(0) = C, vì vậy hằng số C là giá trị khởi tạo của quần thể, P(0). Phương trình (1.3) là phù hợp với mô hình tăng trưởng dân số trong điều kiện lý tưởng, nhưng chúng ta phải nhận ra rằng một mô hình thực tế hơn phải phản ánh thực tế là một môi trường nhất định có nguôn lực hạn chế. Nhiều quần thể bắt đầu bằng cách tăng một cách theo số mũ, nhưng mức độ quần thể dừng khi nó tiếp cận ngưỡng M của nó (hoặc giảm nếu nó vượt quá Ä⁄). Đối với một mô hình có tính đến cả hai xu hướng, chúng ta đặt ra hai giả định: dP ‘a8 kP nêu P nhỏ (Ban đầu, tốc độ tăng trưởng là tỷ lệ thuận với P).
Một biểu thức đơn giản mà kết hợp cả hai giả thiết được cho bởi phương trình: dP P p= KP 4) (1. sy dP Chú ý. * NÊuP<⁄,thì uM gan bang 0 va vi vay a” kP. Nếu P > M thì I P co a vi va dP <0 eu 1 M va V1 vay dt.
Phương trình (1.4) được gọi là phương trình vi phân hậu cần, được để xuất bởi nhà sinh vật học, toán học người Hà Lan Pierre-Francois Verhulst trong những năm 1840 như một mô hình cho sự phát triển dân số thế giới.Bây giờ chúng ta có thể suy ra các đặc trưng của nghiệm trực tiếp từ phương trình (1. Đầu tiên chúng ta nhận thấy rằng các hàm hằng số P(?) = 0 và P() = M là nghiệm bởi vì, trong cả hai trường hợp , một trong hai nhân tử ở về phải của phương trình (1.4) là bằng không. (Điều này chắc chắn có ý nghĩa vật lý: Nếu dân số hoặc là bằng 0 hoặc bằng ngưỡng, nó vẫn như vậy.) Hai nghiệm hằng số đó được gọi là nghiệm cân bằng. Nếu giá trị khởi tạo P(0) nằm giữa 0 và M thì về phải phương trình (1.
P vậy + và dân số tăng. Nhưng nêu dân sô vượt quá ngưỡng P > M thi 1 — m âm, nên TẾ 0 và dân số giảm. Chú ý rằng trong mỗi trường hợp, nếu dân số tiếp cận ngưỡng dP. \ x 2 P— M thi + >0, nghĩa là mức dân sô dừng.
Chú y rang các đồ thị di chuyển ra khởi nghiệm cân bằng P = 0 và tiến tới nghiệm cân bằng P = M.4 Định luật Malthus về quân thể Giả sử quần thể được phân bố đều trong không gian, tất cả các thể như nhau và các thế hệ kế tiếp. Gọi P(t) là số lượng của chúng tại thời điểm z. Khi đó định luật Malthus về quần thể cho ta phương trình dP r= (B=Đ)Pự), Vr>0 (1.5) trong đó Ö là tỷ lệ sinh, Ð là tỷ lệ chết tự nhiên.5 Mô hình toán học của quân thểvật săn-môi Giả sử quần thể đang xét gồm hai loài, trong đó một loài là con môi, loài kia là động vat An mdi. Goi x(t), y(t) tương ứng là số lượng con môi, vật săn tại thời điểm.
Khi đó mô hình Volterra của quần thể cho ta hệ phương trình: dx — =ax-—Bxy qt (1.6) => = kBxy—my dt trong đó ơ là tỷ lệ tăng tự nhiên của x(7) khi không có kẻ sin mii, tttc 14 khi y(t) =0,m là tỷ lệ chết tự nhiên của vật săn khi không có con mồi. >0 là hệ số tương tác giữa hai loài của quần thể. 12 Mot số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân 1.1 Khái niệm phương trình vi phân Phương trình vi phân là phương trình có dạng: F(x,y.7) Trong d6 y = y(x) là hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn. Ta gọi cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hàm ẩn xuất hiện trong phương trình.
Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát F(x,y,y)=0 (1.8) trong do F (x,y,z) được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trên miền GC RỶ. Phương trình vi phân cấp I có thể viết dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra được đối với đạo hàm) y = f(x,y) (1.9) với ƒ liên tục trong mién G C R?. Ví dụ: Các phương trình e& +y"cosx = 1 (y'’)? — 2xy = Inx lần lượt là phương trình vi phân cấp 1 và cấp 3. 10 Phương trình vi phân cấp nø có dạng: F(x.10) trong đó Ƒ là một hàm số xác định (liên tục) trên tập mở nào đó của IR x R“†! và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm cấp 0 của ẩn y.
Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là vector - hàm ( hàm với giá trị vector) y(x) = (yi();.,y„(x))f € JR”,Ƒ' là một ánh xạ nhận giá trị trong IR” và (1.8) được hiểu là hệ phương trình vi phân.2 Bài toán Cauchy Tập hợp nghiệm của phương trình vi phân cấp một phụ thuộc vào hằng số tùy ý C. Thực tế người ta quan tâm đến nghiệm của phương trình vi phân cấp một thỏa mãn những điều kiện nào đó. Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân (1.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu y0) = Yo (1.11) trong đó xọ, yọ là các số cho trước. Bài toán Cauchy không phải bao giờ cũng có nghiệm.
Sau này chúng ta sẽ thấy với những giả thiết nào thì nghiệm bài toán Cauchy tổn tại và duy nhất. Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân Giả sử hàm ƒ xác định trên miền G là nghiệm của phương trình (1.8) thì đường cong y= 0(z) gọi là đường cong tích phân của phương trình (1. Qua mỗi điểm (x,y) € Ở ta vẽ vecto có độ dài bằng 1 và lập với chiều đương của trục hoành một góc œ sao cho tanœ = f(x,y). Lam nhu vậy đối với mọi điểm (x,y) € G chúng ta sẽ nhận được một trường vecto được gọi là trường hướng.
Như vậy tại mỗi điểm của đường cong tích phân, hướng tiếp tuyên của đường cong trùng với hướng vecto của trường hướng tại điểm đó.