Chương 1 LÝ THUYẾT TẬP MỜ 1. Tập mờ và thông tin không chắc chắn L. Zadeh là người sáng lập ra lý thuyết tập mờ với hàng loạt bài báo mở đường cho sự phát triển và ứng dụng của lý thuyết này, khởi đầu là bài báo “Fuzzy Sets” trên Tạp chí Information and Control, 8, 1965. Ý tưởng nổi bật của khái niệm tập mờ của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ, không chắc chắn như trẻ, nhanh, caoIthấp, xinh đẹp., ông đã tìm ra cách biểu diễn nó bằng một khái niệm toán học, được gọi là tập mờ, như là một sự khái quát trực tiếp của khái niệm tập hợp kinh điển.
Để dễ hiểu chúng ta hãy nhớ lại cách nhìn khái niệm tập hợp kinh điển như là khái niệm các hàm số. Cho một tập vũ trụ U. Tập tất cả các tập con của U ký hiệu là !(U) và nó trở thành một đại số tập hợp với các phép tính hợp ∪, giao ∩, hiệu \ và lấy phàn bù !, (!(U), ∪, ∩, \, !). Bây giờ λA(a) =1 mỗi tập hợp A ∈ !(U) có thể được xem 1 1 như là một hàm số λA : U → {0, 1} được xác định như sau: λA(b) = 0 0 U a b 1 khi x ∈ A λ A ( x) = 0 khi x ∉ A Mặc dù λA và A là hai đối tượng toán học hoàn toàn khác nhau, nhưng chúng đều biểu diễn cùng một khái niệm về tập hợp: x ∈ A khi và chỉ khi λA(x) = 1, hay x thuộc vào tập A với “độ thuộc vào” bằng 1.
Vì vậy, hàm λA được gọi là hàm đặc trưng của tập A. Như vậy tập hợp A có thể được biểu thị bằng một hàm mà giá trị của nó là độ thuộc về hay đơn giản là độ thuộc của phần tử trong U vào tập hợp A: Nếu λA(x) = 1 thì x ∈ A với độ thuộc là 1 hay 100% thuộc vào A, còn nếu λA(x) = 0 thì x ∉ A hay x ∈ A với độ thuộc là 0 tức là độ thuộc 0%. 6 Trên cách nhìn như vậy, chúng ta hãy chuyển sang việc tìm kiếm cách thức biểu diễn ngữ nghĩa của khái niệm mờ, chẳng hạn, về lứa tuổi “trẻ”. Giả sử tuổi của con người nằm trong khoảng U = [0, 120] tính theo năm.
Theo ý tưởng của Zadeh, khái niệm trẻ có thể biểu thị bằng một tập hợp như sau: Xét một tập hợp Atrẻ những người được xem là trẻ. Vậy, một câu hỏi là “Một người x có tuổi là n được hiểu là thuộc tập Atrẻ như thế nào?” Một cách chủ quan, chúng ta có thể hiểu những người có tuổi từ 1 – 25 chắc chắn sẽ thuộc vào tập hợp Atrẻ, tức là với độ thuộc bằng 1; Nhưng một người có tuổi 30 có lẽ chỉ thuộc vào tập Atrẻ với độ thuộc 0,6 còn người có tuổi 50 sẽ thuộc vào tập này với độ thuộc 0,0 … Với ý tưởng đó, ngữ nghĩa của khái niệm trẻ sẽ được biểu diễn bằng một hàm số ,trẻ : U → [0, 1], một dạng khái quát trực tiếp từ khái niệm hàm đặc trưng λA của một tập hợp kinh điển A đã đề cập ở trên. Một câu hỏi tự nhiên xuất hiện là tại sao người có tuổi 30 có lẽ chỉ thuộc vào tập Atrẻ với độ thuộc 0,6 mà không phải là 0,65? Trong lý thuyết tập mờ chúng ta không có ý định trả lời câu hỏi kiểu như vậy mà ghi nhận rằng tập mờ của một khái niệm mờ phụ thuộc mạnh mẽ vào chủ quan của người dùng hay, một cách đúng đắn hơn, của một cộng đồng, hay của một ứng dụng cụ thể. Khía cạch này cũng thể hiện tính không chính xác về ngữ nghĩa của các khái niệm mờ.
Tuy nhiên, thực tế này không ảnh hưởng đến khả năng ứng dụng của lý thuyết tập mờ vì mỗi giải pháp dựa trên lý thuyết tập mờ cũng chỉ nhằm vào một miền ứng dụng cụ thể trong đó các khái niệm mờ trong ứng dụng (hay trong cộng đồng sử dụng ứng dụng đó) sẽ có ý nghĩa chung thống nhất. Khái niệm tập hợp mờ Định nghĩa 1. Cho một tập vũ trụ U. Tập hợp A∼ được xác định bởi đẳng thức: A∼ = { , A~ (u ) /u : u ∈ U, ,A∼(u) ∈ [0, 1]} được gọi là một tập hợp mờ trên tập U.
Biến u lấy giá trị trong U được gọi là biến cơ sở và vì vậy tập U còn được gọi là tập tham chiếu hay miền cơ sở. Hàm , A~ : U → [0, 1] được gọi là hàm thuộc (membership function) và giá trị , A~ (u ) tại u được gọi là độ 7 thuộc của phần tử u thuộc về tập hợp mờ A∼. Nếu không gây nhầm lẫn, hàm thuộc , A~ cũng được ký hiệu là A∼(.), nếu biến cơ sở u không biểu thị hiển, hay A∼(u), nếu biến u xuất hiện hiển. Lưu ý rằng vế phải của định nghĩa A∼ là một tập kinh điển và do đó định nghĩa trên là hoàn chỉnh.
Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U được ký hiệu là F(U), F(U) = { , A~ : U → [0, 1]} = [0, 1]U Có nhiều cách biểu diễn hình thức một tập mờ. Trong trường hợp U là một tập hữu hạn, đếm được hay vô hạn liên tục, tập mờ A∼ có thể được biểu diễn bằng các biểu thức hình thức như sau: Trong trường hợp U hữu hạn, U = {ui : 1 ≤ i ≤ n}, ta có thể viết: A∼ = ,A∼(u1)/u1 + ,A∼(u2)/u2 +. Trong trường hợp U là vô hạn đếm được, U = {ui : i = 1, 2, …}, ta có thể viết: A∼ = ∑1≤i <∞ , A (u i ) / u i ~ Trong trường hợp U là vô hạn liên tục, U = [a, b], ta có thể viết b A = ∫ , A ~ (u ) / u ∼ a Lưu ý rằng các biểu thức trên chỉ có tính hình thức, các phép cộng +, phép tổng Σ và phép lấy tích phân đều không có nghĩa theo quy ước thông thường. Tuy nhiên cách biểu diễn như vậy sẽ rất tiện dụng khi định nghĩa và thao tác các phép tính trên các tập mờ sau này.
Xét tập U gồm 5 người là x1, x2,….x5 tương ứng có tuổi là 10, 15, 50, 55, 70 và A∼ là tập hợp các người “Trẻ”. Khi đó ta có thể xây dựng hàm thuộc như sau: 8 ,Trẻ(10) = 0.05 và tập mờ A∼ = + + + + x1 x2 x3 x4 x5 Định nghĩa 1. Tập mờ A∼ có dạng hình thang xác định bởi bộ 4 giá trị (a, b, c, d), ký hiệu A∼ = (a, b, c, d) và được xác định: 0 nếu x ≤ a x− a nếu a < x < b b − a nếu b ≤ x ≤ c , A~ (x) = 1 d − x nếu c < x < d d − c 0 nếu x ≥ d 1. Tập lát cắt của tập mờ Ở trên chúng ta thấy khai niệm tập mờ là một sự khái quát trực tiếp, đẹp đẽ của khái niệm tập kinh điển.
Điều này cho phép hy vọng nó sẽ đặt cơ sở cho mối liên hệ chặt chẽ giữa hai khái niệm tập hợp này. Để dẫn đến việc nghiên cứu đó, trước hết chúng ta đưa ra khái niệm tập lát cắt α của một tập mờ. Cho một tập mờ A~ trên tập vũ trụ U và α ∈ [0, 1]. ~ Như vậy, mỗi tập mờ A~ sẽ cảm sinh một họ các tập kinh điển, ta có ánh xạ ! : A~ ∈ F(U) → { Aα~ ∈ !(U): 0 ≤ α ≤ 1} (1*) Để đơn giản ký hiệu, ta viết họ các tập kinh điển như vậy bằng !(A~) = { Aα~ : 0 ≤ α ≤ 1}, A~ ∈ F(U).
Họ các tập hợp như vậy có các tính chất sau: Định lý 1. Khi đó, (i) Mỗi họ !(A~) như vậy là dãy đơn điệu giảm, nếu α < β , thì Aα~ ⊇ Aβ~ ; 9 (ii) Nếu A~ ≠ B~ thì { Aα~ : 0 ≤ α ≤ 1} ≠ { Bα~ : 0 ≤ α ≤ 1}. Nghĩa là tồn tại một song ánh từ họ các tập mờ F(U) vào họ của những họ tập kinh điển !(U) ở dạng (1*). Chứng minh: Tính chất (i) dễ dàng rút ra từ tính chất (A∼(u) ≥ β ⇒ A∼ (u) ≥ α).
Để định ý, ta giả sử rằng có u0 ∈ U sao cho A∼(u0) > B∼(u0). Điều này khẳng định u0 ∈ Aα~ nhưng u0 ∉ Bα~ hay Aα~ ≠ Bα~. Hiển nhiên là nếu A~ = B~ thì { Aα~ : 0 ≤ α ≤ 1} = { Bα~ : 0 ≤ α ≤ 1}. Như vậy ta đã chứng tỏ rẳng ánh xạ ! là song ánh.
Một số khái niệm đặc trưng của tập mờ Định nghĩa 1. Trái lại, tập mờ được gọi là dưới chuẩn (subnormal). ~ Bây giờ chúng ta sẽ lấy một số ví dụ về việc biểu diễn ngữ nghĩa của các khái niệm mờ thuộc các lĩnh vực khác nhau bằng tập mờ. Giả sử U là tập vũ trụ về số đo nhiệt độ thời tiết, chẳng hạn U = [0, 50] tính theo thang độ C.
Chúng ta sẽ xác định tập mờ biểu thị khái niệm mờ thời tiết NÓNG và LẠNH. Trong ví dụ này ta sử dụng một hàm số mẫu, gọi là Sèhàm vì đồ thị của nó có hình chữ S. Chúng ta ký hiệu hàm này là S(u, a, b, 10 c), trong đó a, b và c là những tham số. Nó là hàm từng khúc bậc 2 và được định nghĩa như sau: S(u, a, b, c) = 0 đối với u ≤ a 2 u−a = 2 đối với a ≤ u ≤ b c−a 2 u−c = 1 − 2 đối với b ≤ u ≤ c c−a = 1 đối với c ≤ u Hàm thuộc ,A~(u) = S(u, 15, 25, 35) là khái niệm thời tiết NÓNG của người Lạng Sơn ở cực Bắc nước ta, còn hàm thuộc ,B~(u) = S(u, 25, 35, 45) là khái niệm NÓNG của người Sài Gòn (xem Hình 1.
Với hai tập mờ này ta có: Support(A~) = [15, 50], Support(B~) = [25, 50], Hight(A~) = Hight(B~) = 1, Core(A~) = [35, 50] và Core(B~) = [45, 50]. Hàm thuộc biểu thị khái niệm mờ LẠNH được xác định qua hàm thuộc NÓNG bằng biểu thức sau: ,A’~(u) = 1 − ,A~(u) và ,B’~(u) = 1 − ,B~(u) Ví dụ này thể hiện tính chủ quan về ngữ nghĩa của khai niệm mờ và do đó thể 1,0 ,A’~(u) ,B~(u) hiện tính tự do trong việc xây dựng các hàm thuộc.