chương If 156 Bai tap chương TH 167 LOI NOI DAU Giáo trình này nhằm mục đích hệ thống hoá và khái quát hoá các kiến thức Hình giải tích ở THPT và bổ sung những kiến thức mới để làm cơ sở cho việc học các môn khác trong Chương trình Cao dang Su pham như Giải tích, Đại số tuyến tính, Hình cao cấp, Vật lí. Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ đã dược học ở phổ thông tương đối Kĩ. Ở dây sẽ nói thêm về hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, tâm tỉ cự và tích hén tap cla ba vecto. Về phương pháp toa do, ở bậc phổ thông học sinh chỉ dược biết hệ toa độ trực chuẩn trong mặt phẳng và trong khóng gian.
Trong giáo trình này sẽ trình bày thêm do hệ toa độ alin một cách kĩ lưỡng và có giới thiệu qua vé toa do cue, toa do tru, toa cầu. Vấn dể đổi mục tiêu alïn và mục tiêu trực chuẩn cũng dược trình bày vì nó dược ấp dụng để đưa phương trình đường bặc hai và mặt bậc hai về dạng chính tắc. Một trong những vấn để quan trọng và chiếm nhiều thời gian là việc nghiên cứu dường bậc hai và mật bậc hai với phương trình đạng tổng quát. Một số kiến thức dược đề cập đến như: tâm, phương tiệm cận, dường tiệm cận, tiếp tuyến.
đường kính hoặc mật kính liên hợp với mệt phương của dường bậc hai hoặc của mật bậc hai, nhất là vấn để phân loại afin và phân loại oclit của dường bậc hai và của mật bậc hai. Môn Hình giải tích dược giảng dạy ở học kì đầu năm thứ nhất, trong lúc nhiều khái niệm của dại số tuyến tính chưa học nên nhiều chứng mỉnh đáng ra có thể ngắn gọn hơn, nhưng lại phải trình bầy dài dòng. Tuy nội dung khá nhiều so với số tiết được phân phối trong chương trình, nhưng chúng tôi cho rằng có nhiều vấn dể nêu trong giáo trình này nhằm dé sinh viên tự nghiên cứu dưới sự hướng dan của thầy piáo. Ngoài ra, nên tổ chức Xêmina trong dó sinh viên có thể lựa chọn các chủ dễ thích hợp.
Các chủ để có thể là: ~ Sưu tầm các bài toán THÍCS, các bài toán trong thực tế đời sống và giải bằng phương pháp toa do. — Ung dung toa do cuc, toạ độ cẩu, toạ độ trự trong nghiên cứu các đường cong va cdc mat cong. ~ Dùng các phần mềm toán học để vẽ các đường, các mật, lập một bộ sưu tập các dường và mật trên máy ví tính. ~ Sưu tầm tư liệu lịch sử phát triển của phương pháp toa dộ.
TÁC GIÁ 10 Chuong | §1 VECTO VA CAC PHEP TOAN VECTƠ 1. Khai niém vecta. Hé vecta déc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 11 Vectơ Trong mật phẳng hoặc trong không gian, cho hai diểm A, l3. Đoạn thẳng AB dược sắp thứ tự hai điểm mút được gọi là một wec/Ø, một điểm được gọi là điểm dau còn điểm thứ hai dược gọi là điểm cuối, Nếu 4A là diểm đầu, l là điểm cuối thì vectơ được ký hiệu là À3.
Vectg còn có thể kí hiệu là ä;b;. Độ đài của đoạn thẳng Àl3 được gọi là độ dai hay modun của vectơ AB và ký hiệu môdun của vecto AB |B}: Suy ra hai vecto AB và BA có môdun bằng nhau. Hai vecto AB va CD được gọi là hai vectơ càng phương hay hai veclØ CỘNG tuyển nếu các đường thang AB va CD song song hoặc trùng nhau, Hai vectơ cùng phương AB và CŨ gọi là cùng hướng nếu xẩy ra một trong hai trường hợp sau dây: 1) Néu hai đường thẳng AB và CŨ song song và hai điểm B và D nam cung phía đối với dường thẳng AC. 1) 2) Nếu hai đường thắng Al và CŨ trùng nhau và một trong hai ta AB (gốc À) và tỉa CL) (gốc C) chứa tia Kia.
(h2) Hình 1 Hình 2 Hai vectơ cùng phương mà không cùng hướng thì gọt là hai vectd ngược hướng, Ví dụ hai vectơ AB và BA. lì hai vecto ngược hướng. Hai vectlg ä, b dược gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng phương. cùng hướng và cùng môdun, khi đó ta viết ä = b.
Lựa vào định nghĩa bằng nhau nói trên của hai vecto, ta dé dang chimg minh rằng “bằng nhau” là một quan hệ tương đương, tức là: i/ Với mọi Vevtơ ad tacé d= a. tif Nếu ä b thì b =d, ñ/ Nếu á= bvà b=c thì d =e, Đặc biệt vectơ có điểm đầu và diểm cuối trùng nhau như A,\; PP; MM:. dược gọi là tectz— không. Độ dài của vectơ~không cố nhiên lì bằng 0.
Ta quy ước răng: vectơ-khóng cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Từ đó suy ra mọi vecto-khong déu bing shau. Boi vay cide vecto-khong duoe kf higu chung 1A 0.20 Ubon cond vert! Phop ohan veeld với số thực Chúng ta nhắc lại các phép toán vectơ đã học ở bậc phổ thông: phép cộng hai vectơ, phép nhân một vectơ với số thực và các tính chất của các phép toán đó. Phép cong vecto.
Cho a, b la hai vecto bat kỳ, khi đó tồn tại một vectơ € gọi là tổng hai vectơ đã cho và ký hiệu là ¢ = ä+b được xác định như sau: lấy các điểm A, B, € sao cho AC = é (h. Hình 3 ID thấy rằng vectơ € không phụ thuộc vào việc chọn điểm A. Phép nhan vecto voi mot so thu. Cho mot vecto á và một số thực K bất kỳ, khi đó tổn tại một vectơ gọi là tích của d với số k và được ký hiệu là Ká, xác định như sau: — Phương: Vecto ka cling phuong vii vecto a.
—Iiướng: Vecto ka cling hướng với vectơ d néuk 2 0. Veclo ka ngược hướng với vectơ ä nếu k < Ô. b= kil (<0) Tinh 4 flinh 5 [Dưới dây, chúng ta nêu lại các tính chất dã biết của các phép toán cộng hai Veclơ và phép nhân một vectơ với một số thực. ® Đối với mọi eclơ ä, b, ¿ và với mọi số thực K, Í, m, phép toán cộng hai veeto va nhân một vectơ với số thực có các tính chất sau: L.
Phép cộng có tính chất kết hợp: ä+(b + ẻ )=(d+b)+ẻ. J3 dó tả có thể bỏ các dau ngoặc và viết là a + b + ¿ (gọi là tổng của ba veeto, cling vay ta ed tổng của một số hữu han cde vecto). Phép cộng có tính chất giao hoán: i + b= b+ a. Ba +0 =a, + Mỗi veclơ ä bất kỳ đểu có một vectơ cùng phương cùng modưn nhưng ngược hướng với nó, ký hiệu là ~ä và được gọi là vectơ đối của vectơ á.
Phép nhân vectơ với số thực có tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ: kŒ + b)=kb+ kú với K là số thực tuỳ ý. Phép nhân vectơ với số thực có tính chất phân phối dối với nhép cộng số thực: (kK Ad ska t/a. Phép nhân vectơ với số thực có tính chất kết hợp dối với phép nhân số thực: (kDa =k(la ). Một số hệ quả đơn giản (suy từ các tính chất trên): Os = 6 va kO= 0.
Ta cing thường viết ö là 6, (—=k)4 =-(kä) ( Ký hiệu là -kii), do đó (=4 ==Œ4)= -la =-a. [lidu cia vecto’ & voi vecto b được ký hiệu là ä — b. Đó là một Vectơ ¿ sao cho b+=ủ. 'Ta cũng có: k(a ~ h yekid -k b.
« Đạt vectơ trên mật phẳng (hoặc trong không gian): Cho một vectơ i va mot diém © bất kỳ, khi dó rẩn rại đụ nhất một điểm M sao cho OM =a (h6). Ta nói là da dat veeto ai tai điểm O. M Hình 6 ® Các quy tác thường dùng: Quy tắc bạ điểm: Với bất Kì bà diém \, B,C luon 66: AB+ BC = AC. Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hinh binh hanh thi AB+ AD = AC.
Quy tắc về hiệu: Cho hai điểm M,N thì với diém O bat kì luôn có: 1/3 Hộ vectd phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính THỷ vectơ phụ thuốc tHyển tính. Hệ n vectơ dj, a, .,a, được gọi là phụ thuộc tuyến tính (PTTT) nếu tìm được các số kị, K„,., k, Không đồng thời bằng 0 sao cho: ki +k;ấ,+ .Kuấ, được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ dị, dy, Dy) Néu hé veeto a), dy, ., d„ là PFFT thì ta còn nói: các vectơ By, a, dy là PFTT. Me vecty doc lap tuyển tính. Hé n vecto ay, ấ;,., d„ được gọi là độc lap tuyén tink (LTT) néu đó là một hệ vectơ không PITT, tức là Không tìm dược các số K¡, K„., k, không đồng thời bing 0 sao cho: kya tk, d+ tk a, =0.
uta Nói Khác di, hệ n vectơ dị, a›,.„ đ„ là độc lập tuyến tính (ĐI⁄FT) khi và chỉ khi: nếu kiẩ, +; + .+kuấy =Ú thì ki= kị= „.=k,=0, Chang han theo dinh nghĩa, hệ ba vecto d, b, & duoe gọi là FT nếu tìm dược ba số thực k, 4, m không đồng thời bằng không sao cho ki + /B + mẻ = 6. Hg ba vector d, b, € là ĐI/ET Khi và chỉ khí nếu có kả + ƒb +mẻ = Ö thì xuyrak=/=m =0, Điớn kiện de hai vecto PITT. Định lí, Hai vectơ ä, b PITT khi và khi chúng cùng phương (hay còn nói là chúng cộng tuyến). l6 Thực vậy hai vecto a, b PFET khi va chỉ có hai số R và ? không đồng thời bằng Ô sao cho kẩ+(b= 0, Giá sử k # 0 thì d=—TB nên hai vectd i, b bị cộng tuyến.
IIệ hai veeta a, b ĐI/ƑT Khi và chỉ khi chúng không công tuyến. Diéu kién dé ba yvecto PITT hay DLTT. Ba vecto trong không giản gọi là đồng phẳng nếu chúng nằm trên những mật phẳng song song hoặc trừng nhau, nói cách Khác: nếu các dường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng, hay: nếu chúng lần lượt bảng bạ vectở nào đó cùng nằm trong một mặt phẳng. Ba vectứ PTTT khi và chỉ khi chúng đồng phẳng.
Ching mink, Giá sử d, b, ¿ Tà ba vectơ PELT tức là cd ba sé k, 1, m khong đồng thời bằng Osaokd+lb +me = 0. ¬ pe te me cự. , Gid stk # 0, tu có d@=—-—h-— ec. Neu vé cde vecto b, € nam trong mat k phảng (1) nào đó thì hiển nhiên vecty ä cũng nam trong mat phang (P).
Vay ba veelo a, b, ¿ đồng phang. Ngược lai néu ba vecto dy b, € dong nhàng tức là có thể xem chúng nằm trong một mật phẳng, Khi dó: +Néu a,b PPT) thi hiển nhiên a,b, ¢ cũng PƯƑT vì: Khi đó ta có hai số k và / không đồng thời bằng Ö sao cho ka +Ib=0, hay Kã +lh + 0e = 0.