Chương 1. Sơ lược uề lý thuyết tập hợp 15 4. Dinh ly Cantor-Bernstein. Cho X,Y là hai tập hợp.
Nếu X tương đương uới một tập hợp con của V uà V tương đương tới một tập hợp con của X thì X tương đương tới Y. Theo giả thiết, tồn tại Xị C X và Yị C Y sao cho Xi~ VY, Yị ~ X. Giả sử ƒ : Y — X; là một song ánh. Vi X~Y,,Y, ~ Xo, suy ra X ~ Xo.
Vay, tồn tại một song ánh g : X — Xo. Đặt Xo = X và qua công thức truy chứng Xn+i = 0(Xa-¡) ta nhận được một dãy vô hạn các tập hợp lồng nhau X = Xo 2X1 2D X22 X3. Dựa vào cách xây dựng của Xa và tính song ánh của ø dễ dàng suy ra rằng (*) Xn-1\ Xn ~ Xn4i \ Xn42, 2 = 1,2,. dé gon cho viéc chimg minh ta dat tiép D=X{NX2NX3N.4 và (*) ta được (x) Dị ~ Da.
Bây giờ ta dễ thấy các tập hợp X, Xị có thể biểu diễn được như sau X=DUD,U (X41 \ X2) U (X3 \ X4) U(X; \ Xs)U. Một lần nữa áp dụng Chú ý 4.4 và (**) ta suy ra X ~ X\. Theo giả thiết ban đầu thì Xị ~ Y. Vậy X ~ Y và định lý được chứng minh hoàn toàn.
Sơ lược uề lý thuyết tập hợp 17 ho không rỗng những tập hợp con của X có tính chất: một tập hợp con A của X thuộc uào họ % khi uà chỉ khi mọi tập hợp con, hữu hạn phần tử của A thuộc %. Khi đó % chứa ít nhất một phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp. Ta sẽ chứng mình định lý theo lược đồ sau đây: Tiên đề chọn => (i)=> (ii) = (iñi)=œ(iv)=> Tiên đề chọn. mới, cần Tién dé chon ==> (i): Trước hết ta định nghĩa một vài thuật ngữ tốt A thiết cho chứng minh.
Một tập hợp con Ö của một tập hợp được sắp A|z <b}CB. được gọi là một đoạn của A, nếu với b€ B tùy ý, thì {z€ Bay gid, gid sit B là một đoạn của A và B # A.Vì A\B #0, tồn tại = {z € A |# < phần tử cực tiểu b trong tập hợp này. Ta dễ dàng suy ra B tập hợp 4 và ký bvà x # b}. Khi đó ta nó đoạn B được sinh bởi b trong hiệu B = [A,}].
Cho X là một tập hợp tùy ý. Theo Tiên Trở lại chứng minh tất cả các bộ phận của đề chọn ta có một ánh xạ ¿ xác định trên tập hợp X, sao cho với mỗi tập hợp con khác rỗng Y của X xác định một phần tử một tập hợp œ(Y) € Y. Ta gọi một tập hợp con A cia X là iối, nếu nó là được sắp thứ tự tốt và với mọi phần tử ø € 4 luôn có a = 9(X \[A, al). vì {@(X)} là một tập hợp Rõ ràng luôn tổn tại tập hợp con tốt trong X, hợp con tốt đều có con tốt của X.
Hơn nữa, ta nhận thấy rằng mọi tập tốt của X thì chúng phần tử cực tiểu là @(X). Vậy, néu A, B la hai tap hop la hợp của tất cả các đoạn có ít nhất một doan chung lA {y(X)}. Dat C đoạn chung của cả hai chung của hai tập hợp này. Dễ thấy rằng Ở là một với cả A và B.
Vì Œ là tập tập hợp A va B. Gia stt ring C không trùng ở phần đầu chứng mình hợp tốt của hai tập hợp 4 và B, nén theo nhận xét (X \C)} la mot doan C = [A, p(X \C)] = [B, o(X \C)]. Vay C! = CU{y tính cực chung của A và chứa thực sự đoạn C. Điều này mâu thuẫn với phải có một tập hợp là đoạn đại của Ơ.
Vậy, trong hai tập hợp tốt A và của tất cả các tập hợp con của tập hợp kia. Bây giờ với ký hiệu D là hợp tốt của X, ta sẽ chứng minh cũng là một tập hợp con tốt của X. Thật a,b phải nằm trong bai tập vậy, nếu a,b là hai phần tử tùy ý của D, thì 20 Giáo trình đại số hiện đại (ii) X \ (O;er4¿) = mer(X \ 4i). 2) Cho ƒ: X — Y là một ánh xạ và Œ, D là hai tập hợp con của Y.
Chứng minh các tính chất sau là đúng. 3) Cho ƒ: X —> Y vag: Y — Z là những song ánh. Chứng mỉnh rằng 9° f lại là song ánh và (go ƒ)”!= ƒ loa", 4) Cho f : X — X là một ánh xạ xác định trên tập hợp hữu hạn X. Chứng minh các mệnh đề sau là tương đương: (i) f Ja don ánh.
(ii) ƒ là toàn ánh. ö) Hãy xác định số các quan hệ tương đương trên một tập có nø phần tử. 6) Tính số phần tử của tập hợp 2Ã biết rằng X có n phần tử. 7) Chứng minh rằng tập hợp số tự nhiên N và tập hợp số hữu tỷ Q có cùng lực lượng.
8) Ký hiệu XY là tập hợp tất cả các ánh xạ từ tập hợp Y vào tập hợp X. Chứng minh rằng với 4 tập hợp tùy ý A,B,C, D thoả mãn tính chất A~BvàC ~D ta luôn có A2 ~ BP, 9) Ký hiệu 2Ÿ là tập hợp tất cả các tập hợp con của tập hợp X. Chứng mỉnh rằng lực lượng của hai tập hợp X và 2X là khác nhau. 10) Cho > là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập hợp X.
Chứng mình các mệnh đề sau đây là tương đương: () Mỗi tập hợp con khác rỗng Y của X chứa ít nhất một phần tử cực tiéu. Sơ lược uề lý thuyết tập hợp 21 (1) Mỗi xích giảm các phần tử của X + > xạ. đều dừng, tức tồn tại một số tự nhiên k sao cho #y = #Zk+1 =. Heng Phục | GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI Nguyễn Tự Cường Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Lời giới thiệu £ Ỉ rong những năm gân đây, nhu cẩu sách tham khảo tiếng Việt về toán của sinh viên các trường Đại học, nghiên cứu sinh, cản bộ nghiên cứu và ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt.
Bộ sách "Toán cao cấp" của Viện Toản học ra đời nhằm góp phân đáp ứng yêu câu đó, làm phong phú thêm nguồn sách tham khảo và giáo trình đại học vốn có. lĩnh vực Bộ sách Toản cao cap sé bao gom nhiéu tập, đề cập đến hâu hết các hướng khác nhau của toán học cao cấp, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến các đang phát triển mạnh của toán học hiện đại, có tâm quan trọng trong sự phái triển giả của bộ sách này là những người có lý thuyết và ứng dụng thực tiễn. Các tác học và sau đại học, đông thời là nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy đại những nhà toán học đang tích cực nghiên cứu. Vì thế, mục tiêu của các cuốn sách trong bộ sách này là, ngoài việc cung cắp cho người đọc những kiến thức cơ bản nhất, còn cỗ gắng hướng họ vào các vấn đề thời sự liên quan dén lĩnh vực mà cuốn sách đề cập dén.
Bộ sách Toản cao cắp có được là nhờ sự ủng hộ quý báu của Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đặc biệt là sự cổ vũ của Giáo sư Đặng Vũ Minh và Giáo sự su Nguyén Khoa Son. Trong viéc xuất bản Bộ sách, chúng tôi cũng nhận được giúp đỡ tận tình của Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. Nhiêu nhà toán học trong và ngoài Viện Toán học đã tham gia viêt, thâm định, góp ý cho bộ sách. Viện Toán học xin chân thành cảm ơn các cơ quan và cá nhân kê trên.
Do nhiều nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Toán cao cấp chắc chắn còn rất nhiều thiểu sót. Chúng tôi mong nhận được ý kiên đóng góp của độc giả đề bộ sách được hoàn thiện hơn. Chủ tịch Hội đồng biên tập GS-TSKH Ha Huy Khoai MỤC LỤC Mo Dau. wee or ha 9 1.
Sơ lược về lý thuyết tập hợp 7 Chương §1. Tập hợp và các phép toán trên tập hop. Ánh xạ ¬ YG §3. ee ee ee h h hh h.
Tap hop tuong duong --- 6 6 ee et ts 13 §5. Tiên đề chọn và các mệnh để tương đương. Định nghĩa và vídụvềnhm. Nhóm con, Dinh ly Lagrange.
Nhóm con chuẩn tẮC. Đồng cấu nhóm. Pham triva ham tie 2 6 6 ee ee h h h nh 38 §6. Nhóm Abel hữu han sinh KV v22 4 4x3 + + x SĨ Baitap 2.
6 ee ee h h Rh h ch h 63 Chương 3. Vành, trường và vành đa thức 69 §1. Các định nghĩa và vídụ .- - ch nh nh 69 §2. Iđêan và đồng cấu vành.
- + h h h nh nh nh 79 84. Vanh da thite. Vanh GauB ww ee g h hh h h h h 95 Bài tập. g h h hhh h h h h nh th 101 Chương 4.
Các định nghĩa và vídụ. Téng va tich truc tp ee es 116 §4.) ee ee ee ts 121 85. Tich ten xd 6 6 ee 126 §6.Dãy khớp 2 6 6 ee ee h h h h hh h nh nợ 133 Bài tẬp. Q Q h h hhg hh hh t hỢ 141 Mở đầu Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc về các cấu trúc này.
Điều này cũng dễ hiểu, vì ta biết rằng hai đặc trưng cơ bản nhất của toán học là tính trừu tượng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số. Đã có rất nhiều sách về đại số của các tác giả Việt Nam hoặc dịch từ tiếng nước ngoài được xuất bản ở Việt Nam, trong số đó có nhiều quyển đã trở thành kinh điển và được sử dụng làm giáo trình giảng dạy, tham khảo cho sinh viên học toán trên khắp thế giới. Vì vậy, viết một giáo trình mới về đại số là một việc làm rất khó khăn, nhất là khi tác giả không muốn rập khuôn hay sao chép lại từng phần các giáo trình đã có. Cuốn sách này được viết dựa trên các bài giảng về đại số của tác giả trong vòng 10 năm trở lại đây cho học viên cao học và nghiên cứu sinh tại Viện Toán học và một số trường đại học trong nước, cũng như các bài giảng trong 4 năm gần đây cho các lớp cử nhân tài năng thuộc Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.