ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VIẾT ĐÔNG - TRẦN NGỌC HỘI ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH - 2005 Lời nói đâu Giáo trình Đại số đại cương được viết theo chương trình qui định của học phân cùng tên, 4 tín chỉ, nhằm phục vụ cho sinh viên ngành Toán-Tin học. Với thời lượng hạn hẹp như thế, giáo trình chỉ bao gồm những kiến thức rất cơ bản về các cấu trúc đại số mà theo chúng tôi là cần thiết cho mọi sinh viên Toán-Tin học đà họ chọn bất cứ hướng nào ở giai đoạn chuyên ngành. Các cấu trúc đại số cơ bẩn được trình bày trong giáo trình là: Nhóm, Vành, Trường, Vành đa thức, Môäun và Đại số. Những kết quả sâu hơn về lý thuyết nhóm, lý thuyết vành,. sé được trình bày trong một giáo trình khác mang tên Đại số hiện đại. Đại số đại cương là học phần đại số trừu tượng đầu tiên trong chương trình chuyên ngành của sinh viên Toán-Tin học, là học phần cơ sở giúp sinh viên bước đầu tiếp cận với những ký hiệu và tính toán hình thức. Vì thế, với mục đích phục vụ rộng rãi cho mọi đối tượng sinh viên, bên cạnh tính chặt chẽ và logic vốn rất được chú trọng, chúng tôi còn dua vào giáo trình nhiều ví dụ mình họa. Với phương cách như thế, chúng tôi tin rằng sinh viên sẽ dễ tiếp thu hơn và độc giả sẽ tìm thấy đôi điều bổ ích khi đọc giáo trình này. Cuối mỗi chương là hệ thống bài tập khá đây đủ và phong phú giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng tư duy nhằm tường tận hơn vê những vấn đề trong lý thuyết. Một số kết quả trong lý thuyết cũng được ưa vào dưới dạng bài tập. Những bài tập có đánh dấu * là những bài khó, đòi hỏi bạn đọc phải đầu tư nhiều thời gian và công sức hơn so với các bài tập khác. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Bộ môn Đại số, Khoa Toán-Tìn học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP. HCM và Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình này sớm đến tay bạn đọc. Đặc biệt xin cắm ơn ThS Trinh 3 Thanh Đèo và CN Tống Viết Phi Hùng đã góp sức biên soạn phân bài tập và đã nhiệt tình soạn thảo toàn bộ giáo trình bằng HTrEX. Mặc dà đã có nhiều cố gắng, giáo trình vẫn có thể còn nhiều khiếm khuyết. Chung tôi rất mong nhận được sự phê bình, góp ý của quí độc giả. Mọi ý kiến xin vui lòng gửi về Bộ môn Đại số, Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia TP HCM, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Tp. TP Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2005 CÁC TÁC GIẢ Mục lục Chương I. Phép toán hai ngôi . Khái niệm về nhóm §4. Nhóm hoán vị . Nhóm con cyclic và nhóm cyclc . Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương . Chương II. VÀNH VÀ TRƯỜNG §1. Khái niệm về vành . Vanh con, Ideal và vành thương. Miền nguyên và trường . Chương III. Vành đa thức một ẩn 12 15 20 23 26 31 52 52 55 60 66 84 §2. Nghiệm của đa thức . Đa thức nội suy LaØran#e . Đa thức trên trường số thực và phức . Đa thức trên trường số hữu tỷ. Vành đa thức nhiều ẩn. Đa thức đối xứng. Kết thức, biệt thức. 119 Chương IV. MÔĐUN VÀ ĐẠI SỐ 129 §1. Khái niệm về môdun. Đồng cấu môđun. Môđun tựdo . ẶQ ẶQ QQ S 144 80.ẻộẶẼẽ A 147 TÀI LIỆU THAM KHẢO 156 Chương ] NHÓM §1. Phép toán hai ngôi 1. Định nghĩa Phép toán hai ngôi (gọi tắt là phép toán) trên tập hợp X là một ánh xa f: XxX — X (z,y) > f(x,y). Ta ding ky hiéu x fy thay cho ƒ(+, ). Như vậy, ứng với các phép toán *,0,+,. ta có các ký hiệu z * , zo, z + 1, z. Khi ký hiệu phép toán là . ta gọi đây là phép toán nhân và thường viết z/ thay cho x.y ma ta goi là tích của z và . Còn khi ký hiệu phép toán là -- ta đọi đây là phép toán cộng và z + ¿ là tổng của z và ¿. Ví dụ 1) Phép cộng và phép nhân thông thường trên các tập hợp Ñ, Z, Q, R, C là các phép toán; phép trừ thông thường là phép toán trên các tập hợp Z, Q, R, C nhưng không là phép toán trên N. 2) Phép cộng và phép nhân ma trận là các phép toán trên M(n,R) đồm các ma trận vuông cấp w với hệ số thực. Định nghĩa Cho phép toán x trên tập hợp X. Ta nói phép toán x: ĩ (i) giao hoán, nếu với mọi +, € X, # x1 = 1 *#; (ii) kế: hợp, nếu với mọi z, „, z € Ä, (z * 1) * z = # * ( * 2); (ii) có phân tử trung hòa trái (tương ứng, phải) là c nếu e € X va với mọi z € X, e*øz = x (tuong ứng, z + = +). Nếu e vừa là phần tử trung hòa trái vừa là phần tử trung hòa phải thì ta nói e là phẩn zử trung hòa của phép toán +. Mộ: phép toán có nhiều nhất một phân tử trung hòa. Giả sử œ và e” là hai phần tử trung hòa của phép toán x. Xét phần tử ¿' xe”. Vì Z là phần tử trung hòa trái nên e xe” = e”. Mặt khác,vì e” là phần tử trung hòa phải nên c/ + e” = đ. Suy ra ce’ = ec’. Nhận xét Từ chứng minh của Mệnh đề 1.4 ta thấy nếu Z/ là phần tử trung hòa trái và c” là phần tử trung hòa phải của phép toán x thì œ = c”. Đặc biệt, nếu trong X tồn tại phần tử trung hòa c thì đó là phần tử trung hòa trái duy nhất đồng thời cũng là phần tử trung hòa phải duy nhất. Định nghĩa Cho + là một phép toán trên tập hợp X có phần tử trung hòa e và + là một phần tử tùy ý của X. Ta nói z khả đối xứng trái (tương ứng, phdi) néu ton tai x’ € X sao cho 2! * x = e (tuong tng, x * 2’ = e). Khi đó + được gọi là phân tử đối xứng trái (tương ứng, phải) của +. Trường hợp + vừa khả đối xứng trái, vừa khả đối xứng phải thì ta nói z khả đối xứng và phần tử z' c X thỏa z xz = + ø: = e được gọi là phân tử đối xứng của +. Nếu phép toán + kết hợp thì một phân tử có nhiều nhất một phân tử đối xứng. Giả sử z/ và z” là hai phần tử đối xứng của z. Khi đó #'*#œ=—=€ Và #zx*+” =e. Do đó ah =a*e = 8U * (x47) = (0Ì xa) xa” =e x7 = a7, a 1. Nhan xét Từ chứng minh của Mệnh đề 1.7 ta thấy, khi phép toán x kết hợp, nếu z⁄ là phần tử đối xứng trái của z và +“ là phần tử đối xứng phải của z thì z = +“. Đặc biệt, nếu z khả đối xứng và z“ là phần tử đối xứng của z thì z là phần tử đối xứng trái duy nhất và cũng là phần tử đối xứng phải duy nhất của z. Thuật ngữ và ký hiệu 1) Trường hợp phép toán cộng: Phần tử trung hòa được gọi là phdn tử không và được ký hiệu là 0, tính chất khả đối xứng được gọi là khđ đối, phần tử đối xứng của z được gọi là phân tử đối của + và ký hiệu là —#%. 2) Trường hợp phép toán nhân: Phần tử trung hòa được gọi là phan tử đơn vị và được ký hiệu là e hay 1, tính chất khả đối xứng được gọi là khả nghịch, phần tử đối xứng của + được gọi là phân tử nghịch đảo của + và ký hiệu là z1. Từ đây trở về sau, nếu không có gì gây nhầm lẫn, ta dùng phép toán nhân để chỉ một phép toán tùy ý trên tập hợp đang khảo sát. Định nghĩa Cho tập hợp X với phép toán nhân.) (gọi tắt là X) la: () một nửa nhóm nếu phép toán nhân kết hợp trên X; (ï) một vị nhóm nếu phép toán nhân kết hợp trên X và có phần tử trung hòa trên X. Một nửa nhóm được gọi là giao hoán hay Abel nếu phép toán tương ứng giao hoán. Ví dụ 1) Với phép cộng thông thường, các tập hợp Ñ, Z,Q,IR,C trở thành các vị nhóm giao hoán. 2) Với phép cộng thông thường, tập hợp Ñ* gồm các số nguyên dương trở thành một nửa nhóm giao hoán nhưng không là vị nhóm. Ký hiệu Trong nửa nhóm (X,.), do phép toán nhân kết hợp nên với mọi +,,2: (z)z = +2). Giá trị chưng của hai vế trong đẳng thức trên được ký hiệu là zz và gọi là rích của các phần tử z, , z theo thứ tự đó. Bằng quy nạp, ta định nghĩa ích của n0 phần tử z¡. Ta có định lý sau: 2., z„ là n phân tử ty ý của nữa nhóm (X,. Vì X là một nửa nhóm nên định lý đúng với n = 3. Xét n > 3, gia sử định lý đúng cho mọi tích có m phần tử với 3 < m < n. Khi đó sử dụng giả thiết quy nạp và tính kết hợp ta có (1. Ký hiệu Trong nửa nhóm (X,.), tích của phần tử, mỗi phần tử đều bằng z, được gọi là Jấy thừa bậc n của + và được ký hiệu là z“.4 ta có „m„" — — gin va qua" — a” Ym, ne Ñ. Trường hợp nửa nhóm cộng (X, +), tổng của + phần tử được gọi là bội n của + và ký hiệu là nz. Khi đó các tính chất trên trở thành na + nœ = (m + n)z Và m(nz) = (mn)z. 7rong nữa nhóm giao hoán, tích của n phẩn tử tùy ý không phụ thuộc vào thứ tự của các phân tử. Vì phép toán giao hoán nên định lý đúng với n = 2. Giả sử định lý đúng với mọi tích của r„ phần tử với mm < n. Ta chứng minh z.#z¿„) với mọi phép hoán vị ø của tập hợp {1,2,. Thật vậy, đặt = ơ(n), bằng cách sử dụng giả thiết quy nạp và các tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân ta có: 41. Ln) LK] Lye Lp ALk 1+ Ln) Lk #ø(1)---#ø(n~1))®ø(n) =_ #s()---#ø(n)- | #1. Khái niệm về nhóm 3. Định nghĩa Nhớm là một vị nhóm mà mọi phần tử đều khả đối xứng.
