CHƯƠNG 1 HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC 1.1 Số thực Mục này sẽ nhắc lại các khái niệm về tập hợp, ánh xạ, tập hợp các số thực và giới hạn của dãy số thực. Tập hợp a) Tập hợp và phần tử. ập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học. Tập hợp được cho hoặc bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của nó hoặc bằng cách chỉ rõ dấu hiệu các phần tử của tập hợp với các vật không phải là phần tử của nó.
Nếu phần tử ø thuộc tập hợp A thi ta viét a € A và đọc là a thuộc 4; trong trường hợp ngược lại, ta viết a # A ( hoặc a €4) và đọc là a không thuộc A. Để chỉ tập hợp A gồm các phần tử a,b,c, ---, ta viết A = {a,b,c,- -- }; còn để chỉ tập hợp 4 gồm tất cả các phần tử có tính chất ø, ta viết : A = {a| a có tính chất o} b) Tập con Tập hợp Ö được gọi là tập con của tập hợp 4 (ký hiệu là B C A hoặc là A 2 B) nếu mọi phần tử của tập hợp Ö dều là phần tử của tập hợp 4. Néu AC B va BCA thi A= Ö. Từ định nghĩa này, ta suy ra: c) Tập rỗng: Tập hợp rỗng (ký hiệu là 0) là tập hợp không chứa phần tử nào.
d) Các phép toán về tập hợp Cho A, B 1a hai tap hop Gọi giao cia hai tap hop A va B, viét la AN B va doc 1a "A giao B”, là tap hop được định nghĩa bởi : ANB = {x |x € A vax € B} Gọi hợp của hai tập hợp A va B, viét la AU B va doc 1a "A hop B”, là tập hợp được định nghĩa bởi : AUB = {x |x € A hoac z € B} Gọi hiệu của hai tap hop A va B, viét 1a A\ B va doc 1a "A hiéu B”, là tập hợp ey được định nghĩa bởi : A\ B={x:2€ Avar¢ BY 7 với tập hợp 4 và ký Nếu BC A thì A\ Ö được gọi là phần bù của tập hợp B đối hiệu là CA. Các phép toán giao, hợp va hiệu về tập hợp có các tính chất sau: (ANB)NC=AN(BNC) (AUB)UC=AU(BUC) (ANB)UC=(AUC)N (BUC) (AUB)NC =(ANC)U(BNC) C4(BUD) =CaBNCaD CA(BnD) =CABUCAD e) Tich Décdc Cho A, B 18 hai tap hợp khác rỗng. Với mỗi a € A va véi mdi b € B, ta lap cặp (a,b) gọi là cặp sắp thứ tự: tích Đẻcác của A và B, ký hiệu là Ax và đọc là”A tích Đẻcác " là tập hợp được dịnh nghĩa bởi: AxB=((ab)|lae A, b€ B} Ví dụ 1. Chứng minh các bao hàm thức sau a) ANBC AUB; by Neu AC X;BCY thh Ax BCXXY.
a) Giả sử z€ AnB => z€ A vàz€ B=>+€ AUĐ. Vậy An BC AU8. b) Giả sử (z,y) € Ax BÐ >œ€ 4;u€ B‹»w€ X;u€ Y (z,u) €X xY. Vậy Ax BC X xY.
Anh xa Cho hai tap hop A va B, ta goi một ánh xạ ƒ từ A sang Ö, ký hiệu là f : A— B, là một qui tắc cho tương ứng mỗi phần tử của tập hop A với một phần tử xác định của tập hợp Ö, A duoc gọi là tập gốc (hoặc tập nguồn) và Ö được gọi là tập ảnh (hoặc tap đích); phần tử € Z ứng với phần tử z € A gọi là ảnh của z qua ánh xạ ƒ và viết = ƒ(z). Ánh xạ ƒ được gọi là đơn ánh nếu phương trình ƒ(z) = có nhiều nhất một nghiệm z € A4, với mọi y € B Ánh xạ ƒ được gọi là toàn ánh nếu phương trình ƒ(+) = có ít nhất một nghiệm TEA, voi moi y € B Anh xa ƒ được gọi là song ánh nếu phương trình ƒ(z) = có một nghiệm duy nhất z € A, với mọi € Ö. Một song ánh là một ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh,. Hai tập hợp A va B gọi là tương đương với nhau, viết là A ~ : / nếu tồn tại một Song ánh ƒ: A —› B.
xVi tat di 1. 7 Cho ánh xa f: X + Y. Chứng minh rằng nếu 4, Ö là hai tập con của i ƒ(AU8)= ƒ(4)U ƒ(8). Ngược lai, lay y € f(A) U f(B) suy ra hoac y € f(A) C f(AU B), hoac y € f(B) c f(AUB) suy ray € f(AUB).
Vậy ta đã chứng minh được U f(B). Tap các số thực Chúng ta đã biết tập các số tự nhiên: N = {0,1,2,3,. } và tập các số nguyên :. bs “Tất cả các số có thể viết dưới dạng tỷ số của hai số nguyên (dương hay âm), kể cả số không, gọi là các số hữu tỷ.
Tập hợp các số hữu tỷ ký hiệu là Q, và dĩ nhiên ta có bao hàm thức : NCZCQ. Mọi số hữu tỷ đều có thể viết thành một phân số thập phân hữu hạn hay vộ hạn nhưng tuần hoàn, ví dụ : =0,T5 a Re ee] c = 1,333. = 1, (54) Ry] Một số có thể viết thành một phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỷ, ví dụ : z = 3,1415926. 1a các số vô tỷ Như vậy, số vô tỷ không thể là tỷ số của hai số nguyên.
Các số hữu tỷ và các số vô ty hợp lại gọi chung là các số thực. Tập hợp các số thực được ký hiệu là FR va ta có bao hàm thức V C Z C QC ñR. *) Khoảng số thực Cho hai số thực xác định a và b với a < Ù. Tập hợp các số thực # thoả mãn a < # < b gọi là khoảng mở từ a dén 6, ký hiệu là (a,b).
Tập hợp các số thực z thoả mãn a < x < b goi là khoảng đóng từ ø đến b, ký hiệu là |a,b]. Tập hợp các số thực z thoả man a < x < b (hay a < x < b) gọi là khoảng nửa mở, nửa đóng, ký hiệu là (ø, b} ( hay [a, b).' Khoảng đóng [a, b] còn gọi là đoạn [ø, 0|. Đó là các khoảng hữu hạn vì ø và b là các số xác định. Tập hợp tất cả các số thực z gọi là khoảng vô hạn từ âm vô cực đến đương vô cực, ký hiệu là (—co, +eo).
Các tập hợp số thực z thoả mãn z > 0 # Ð 0 + < q; : <a i là các khoảng nửa vô hạn, ký hiệu thứ tự Ia: (a, +00); [a, +00); (—00, a); —oo, a]. *) Trị tuyệt đối của một số thực âm xác định Trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là |a|là một số thực không như sau:. Jal = a néua>0 @L={—a néua<0 Từ đó, dễ dàng suy ra các tính chất sau: a) Nếu |z| < a(a > 0) thì —a < # < a và ngược lại. b) Nếu |z| > ð(b > 0) thì z > b hoặc z < --b và ngược lại.
©) |a+ð| < Jal + |ð| 4) |a—ð| > |la| = lb|| e) |a.b| “HH a a Ð lÿ|= Ta -lal<a< “th e eo 7 Thật vậy, chẳng hạn ta đi chứng minh c). Tà có : Cộng hai bất đẳng thức kép này từng vế một, ta được : —(|a| + |b| < a+ð < |a|+ |ð|. Từ đó suy rac). Để chứng minh d), ta dé ý | ø—b+b| — |b| < |a = ð| < |a = b|+ |b].
Do đó |a| Tương tự |ð| — [al < [bal = — b|. Từ đó suy ra d). *) Trục số thực Để biểu diễn hình học tập hợp các số thực #, ta xét trục Oz, với Ó là điểm gốc. Mỗi điểm A trên trục Oz dược ứng với số thực ø sao cho ØÄ = a.
Mỗi số thực a được ứng với điểm A trên trục Or sao cho OA = a. Day 1a mot song 4nh gitta tập hợp các số thực ?‡ và trục Oz. Ching ta gọi trục Óz là trục số thực hay đường thẳng thực. z 1,13 Aa cácopi, số —2, —1, —g:0, Ảnh của 1? 1 trên trục Øz được cho ở hình bên.1: Tà đưa vào các ký hiệu sau: R= {c R:e 220}; R= {ze R:2< 0}, R= R- {0} R= fe ~ {0}; RL=R_-{0}; Ne =N~ {0}.
ren trục số thực, lấy hai điểm z,ự. Người ta gọi khoảng cách giữa hai điểm ấy là Số, ký hiệu đ(z,) được xác định bởi: d(z,y ) = |x ~y| _ Nhu vay Ja| chinh 1 khoảng cách giữa œ và 0: |a| = d(a, 0) 10 Nguyên lý Archimede: Với mọi c > 0 cho trước, với mọi z > 0 cho trước, luôn tồn tại một số nguyên dương k sao cho kc > r.1: Giữa hai số thực bất kỳ luôn tồn tại một số hữu tỷ. Chứng mình: Giả sử a,b 1a hai số thực với a < b. Khi đó b— a > 0 nên theo nguyên lý Archimede, tồn tại số nguyên dương q sao cho': q(b — ø) > 1 © q.
Mặt khác lúc đó sẽ tồn tại số nguyên dương p sao cho p € qứ + 1 <ø+ 1. Suy ra -1<qa<pX<aq+1<qb©a< ze <a? € Q (dpem).1: Giữa hai số thực bất kỳ. có vô số số hữu tỷ. *) ¿ lân cận và lân cận của một điểm.1: Cho e > 0 là số thực bất kỳ.
Tập Ứ,(rụ) = {x eR: 0 —€< 1 < trụ + c} được gọi là ”e lân cận” của điểm xo. Lương tự, ta có ”e lân cận trái” của điểm zọ là tập hợp Ứ,(zo — 0) = {ceR: <a < ty} va "e lan can phai” của điểm xo 1a tap hop U-(z9 + 0) = {re Roary <a < sto te} Dinh nghia 1.2: Mot tap U(xo) dugc gọi là lân cận của điểm zọ nếu tồn tại một số € > 0 sao cho Ứ,(#o) € U(ro) t Nhu vay. khi noi x thudc U,(.r9) thì z gần zo một khoảng bé hơn c. Do tính chất của tập các số thực, ta có : Vø,b€ Ñ và a < b, luôn de: a<c<b nên 3e > 0 sao cho U,(a) 1 Ứ,(b) = Cho số thực M > 0.
Khoang v6 han Uyj(+o0) = {a € R: x > M} duge gọi là A/ lân cận của diém +00; U_y = {4 € R: x < ~M} duge goi la —M lan can của điểm - œ. *) Tập số thực bị chặn. A bi chan dudi néu J me R:m<a, Vac A. Tap A bi chan trén néu J M € R:a< M, Vae A.
Tap A gọi là bị chặn nếu 3m, M € lR:m <a< M, Va€ A. Giả sử A là tập số thuc bi chan én, M = ths nếu ă € A và Va € A ta đều có <M. : Ä/ = sup A nếu Va € A đều có a < A và Vé >0; ]ø€ A sao cho a > M — c. Như vậy max4 phải thuộc 4.
còn sup 4 có thể thuộc 4 hoặc không thuộc A.