CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ Cho hàm số ƒ: R” —› RU{+©}, miền xác định dom f va trên đồ thị epi ƒ lần lượt được định nghĩa domf : = {z€R”| ƒ(z) < +}, epif : = {(z,r)elR*'xR|ƒ(z) <r}. Cho ƒ : R* — RU{+oo}. Khi đó a) ƒ được gọi là hàm lồi nếu bất đẳng thức ƒ(Azi +(1—À)Z2) < Af (x1) + (1 — A)xe được thoả mãn với mọi z+,za € dom ƒ và với mọi À € [0, 1].
b) ƒ được gọi là hàm lõm nếu bất đằng thức ƒ(Ari +(1—À)Z2) 3 Àƒ(z1) + (1— À)z2 › „1 3 ? Hình 1.2 Ánh xa Lipschitz va dudi vi phan Clarke Bên cạnh lớp hàm tuyến tính và hàm lồi, các ham Lipschitz có ứng dụng rất phong phú trong toán học, và được nghiên cứu rất nhiều trong những thập niên gần đây. Tài liệu [2| là một trong những quyển sách kinh điển về giải tích Lipschitz được viết bởi nhà toán học nổi tiếng F. Các nội dung trong phần này chúng tôi đều trích dẫn từ quyển sách trên. KIẾN THỨC CƠ SỞ Dinh nghia 1.
Cho ham sé f: R" > R. (a) Ham số f(x) = Ve? +1 1A ham Lipschitz trén R véi L = 1. Thật vậy với mọi z,y € R, giả sử z <. Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có u € (z,) thỏa lia) — FL = lle - yl = T1 t% Vw2+1 (b) Hàm số f(x) = x? khong 1A hàm Lipchitz trên R nhưng là Lipchitz địa phương trên ïR.
Thật vậy, giả sử ƒ(z) là hàm Lipschitz trên IR, khi đó với mọi z, e lR tồn tại >0 sao cho If()— ƒ(w)| = le = y| < Llz — vị. Mặt khác, ta có 1s 1. |x? — y9| = |x — y||2? +ay+vl=le-ul (5 (a+ y)? +50 +59"). Từ đó, ta được 1 1 1 > L>s(e+y) + 50? + gử” Va,y ER.
Vậy ƒ(+) = z3 không là hàm Lipschitz trén R. Bây giờ, với mọi zọ € lR, với mọi z, € [zo — l,#o + 1], giả sử z <. Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có u € (z,) sao cho Lƒ(œ) = ƒ0)| = lử” — ` = ['(0)|l# — | = 2uŸ|z = yg). KIẾN THỨC CƠ SỞ Dat L = maxXuelzs—1,z+ 1] 2u2, giá trị max này ton tai theo nguyén ly Weierstrass.
Khi đó, vdi moi 2, y € [xo — 1,20 + 1], ta được |ƒŒ) — ƒ@)| < Llz - 0l. Do đó, ta có ƒ(z) = z3 là hàm Lipschitz tại mọi điểm trên ÏR. Cho f: R" > RU {+00}, FE dom f, vad € R”. (i) Dao ham theo hướng theo nghia cé dién cia f tai F theo hudng d, ki hiéu ƒŒ.
d), xác định bởi công thức sau f(z): = jim AE (ii) Dao ham theo hướng theo nghĩa Clarke của ƒ tại # theo hướng đ, kí hiệu ƒ9(, d), xác định bởi công thức sau ƒ®(Œ,d): = limsup Sat td) = fle) , @t—E,t\0 t (iii) Ham f goi lA chinh quy tai 7 néu ƒ°Œ,d) = ƒf(œ,d), Vd eR". Với các ham số không trơn (không khả vi Frechet), việc nghiên các dưới vi phân đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát các tính chất của hàm và các ứng dụng. Dối với lớp các hàm lồi, chúng ta có dưới vi phân lồi được đề xuất bởi 2 nhà toán học Rockafellar và Moreau (xem [37]). Với các hàm Lipschitz dia phương, nhà toan học Clarke đã xây dựng nên một lý thuyết hoàn chỉnh về dưới vi phân cho các ham Lipschitz (xem [12}).
Cho f: R" > RU {+00} 1a Anh xa Lipschitz tai F € dom ƒ. Dưới vi phan Clarke cua f tai 7, ki hiéu 0f(z), duoc định nghĩa Ôƒ(Œ): = {€€ Rh | /Đ(,đ) > (€, d), vd e R"}. Định lý sau đây cho ta một cách tính đơn giản và hữu hiệu cho dưới vi phan Clarke. Cho hàm số ƒ: Rh —>]R Lipschilz địa phương tại #.
Khi đó, ta có Of (®) = conv {y € JR" | 3z„ — #, Vƒ(+„) — 9}. KIẾN THỨC CƠ SỞ Sau đây, chúng tôi sẽ hệ thống lại các tính chất quan trọng của dưới vi phân theo nghia Clarke (xem [[2|). Cho f,g: R" > R la cdc ham Lipschitz địa phương tai F € R” voi hằng số L va hudng d € R”. Khi đó, ta có các tính chất sau.
id) va Oconvex f° (Z, -)(0) — 9ƒ) C B(0, 1), trong đó convex. ky hiéu cho dudi vi phan loi. (ii) Anh xa da tri Of :R” = IR" nhận giá trị lồi, compact, va nửa liên tục trên. (iii) (Af) = AO(f) for XE Ry.
Định lý giá trị trung bình sau đây đóng vai trò quan trọng trong các chứng minh về sau. ({12]) Cho f: R” + R 1a ham Lipschitz địa phương va x,y € R”. Khi đó, tồn tại điểm u € conv {x,y} va € € Af(u) théa dang thitc sau f(y) — f(@) = &y- 2). Chương 2 Điều kiện tối ưu 2.1 Điều kiện chính quy cho các ràng buộc Đối với bài toán (UP), chúng tôi xét ánh xạ đa trị V : 7 —= RP? xác định như sau V(i):=V¡, Wiel.
Với mỗi phần tử z € R”, ta c6 cdc ky hiéu sau, vdi k € {1,. Chúng tôi khảo sát bài toán tối ưu vững (RP) cho bài toán (UP) như sau: (RP) ming» F(z) s. ø(œ,9¡) S 0 với mọi œ € Vj, ¿ € Ï. Tập các nghiệm chấp nhận được là F := {x € R” | g(a, vi) < 0, Vor € Vi, Vi € Th.
Chúng tôi nhận thay có nhiều khái niệm về nghiệm hữu hiệu vững cho bài toán (UP), sau đây là một số khái niệm được dùng phổ biến. DIEU KIEN TOI UU (ii) Nghiệm theo nghĩa minimax dude xay dung trong cdc bai gan day [11] [16]. Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu định nghĩa nghiệm hữu hiệu vững theo hướng thtt (iii). (iii) là nghiệm chính thường dương địa phương có tính chất vững của (RP), được ký hiệu # e LPos(RP), nếu có một lân cận # của # và À = (Àt,., À„) € intlR? thỏa, với mọi z EeUNF, m Soi, Fi(x) — ¿(z)) > 0.
i=1 Trong d6 FUN F) = U,eunr F (2): Nếu lân cận U = R”, thi cdc khai niệm trên sẽ thành các nghiệm toàn cục tương ứng. Ky hiéu RM là tập các hàm số Ø : 7 — R„ nhận giá trị đ; > tại hữu hạn điểm trên 7 và bằng 0 với các điểm còn lại. Với mỗi phần tử # e Z, ta định nghĩa các tập hợp sau, vdi k € {1,.,mb}, 1Œ) := {{€ T| du CC; sít. DIEU KIEN TOI UU Tiép theo cdc nghién cttu trong cdc bai bao [9} (10) [1] [33], cdc gid thiét sau luôn được chúng tôi dùng trong báo cáo này.
(A) W, la tap compact với k € {1,.,m}, và ánh xạ V nhận gid tri compact trên tập J., m},¿€ Ï và c 7, tồn tại lân cận (Z) và Ế⁄(#) của thỏa các điều kiện sau: (Bị) s hàm số + € WWy t> ƒ¿(œ,0) có tính chất nửa liên tục trên theo + € /4() và f,(-,w) Lipschitz tai T vdi hang sd Lt theo w € Wy; e hàm số ø € }; => ø;(z,) có tính chất nửa liên tục trên theo z € @œ) và gi(-,v) Lipschitz tại # với hằng số LY theo v € Vy. Các điều kiện chính quy cho các ràng buộc (hay còn được gọi là định tính ràng buộc) đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập các điều kiện tối ưu. Sau đây, một số điều kiện chính quy cho bài toán (RP) sẽ được nghiên cứu. Xét bài toán (RP) và Zc 7 với A(®) z Ú.
ich (2) Nhận xét 2. DIEU KIEN TOI UU Dặc biệt nếu tập 7 là hữu hạn, đây chính là điều kiện chính quy (MECQ) dạng cổ điển (xem [8|). (iii) Chúng tôi nhận thấy không có mối quan hệ giữa (BCQ) và (PLVGQ) (được khảo sát chỉ tiết trong các ví dụ 2. Việc tính toán dưới vi phân Clarke của ánh xạ G;¿ có vai trò quan trong trong nhiều nghiên cứu.
Đặc biệt là ứng dụng trong điều kiện tối ưu và khảo sát tính ổn định vi phân. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày một ước lượng trên cho dưới vi phan Clarke của ánh xạ G¡. Xét phần tử T c 7 0à ¡€ IỊ(T), ta có tước lượng sau 9G;() C conv U Oxgi(E, vi) | - (2.1) viEVi(Z) Chitng minh. Dau tién, ching tdi chttng minh tap sau 1A tap compact J aegilF, 1).
viEVi(Z) Lay dãy {z‡} nằm trong tập hợp Ù.,cv,œ) Orgi(Z, vi) thỏa +‡ —> +*. Theo định nghĩa, ta có phần tử ø; € };(F) thỏa 2% € Ø;ø;(T,o;) với mọi s e Ñ. Bên cạnh đó, tính đóng của ánh xạ (z,) € R*" x Vị Ôzø¡(+, 0) sẽ cho ta #” € Ôyø¡(, 9). Vì vậy, ta được ”€ U Ox gi(Z, v).
viEVi(Z) Do dé, tinh compact cua tap trên được thỏa. Tiếp theo, ta dùng phản chứng để chứng minh tính chất (Z-T). Giả sử tồn tại d* € 0G;,(Z) sao cho d* ¢ conv U Oxgi(Z, vi). vi EVi (ZF) 19 CHUONG 2.
DIEU KIEN TOI UU Ap dung Dinh lý tách tập lồi (xem [B7|). ta thu được đe IR* \ {0} théa max 4 (+”,đ) | z” € conv U On gi(E, vi) » < (d*,d). Do đó, với z; —> TF va rs > 0, ta cd i d) — G;(ax (d*,d) < Titny poo nits + Psd) = Giles) + — ) Giá) 8 Sử dụng giả thiết (A), ta có phần tử v, thudc tap }⁄;(z; + r;đ) thỏa Gi(as + rsd) = gi(vs +1sd, Vs). Tính chất trên cùng với bất đẳng thức gilts, Us) < Gi(as) cho ta gilts +1sd, Us) — gi(Xs, 0s) (a, d) Š lims_;+ø r 8 (23) Áp dụng Định lý giá trị trung bình (1-3), tồn tại ®¿ € (Z;,z; + rsd) và T‡ € Ôxø;(Z;,0;) thỏa tính chất sau gi(0s + rsd, 0s) — gi(0;, 0;) = (Te, rsd).4) Ap dung gia thiết (Bị) và mệnh đề [T3] ta có |Zs|| < 17.
Do đó, ta có Zÿ —> #* (dùng dãy con). Kết hợp điều này và các bất đẳng thức (.4), ta thu được (d*,d) < Œ*, d).5) Sau cùng, chúng ta sẽ chứng minh ?Ẻ€ U On Gi (, Ui ). Với ö € V¡, ta có gilts +rsd,v) < Giles + 1rsd) = giles + rsd, Vs). DIEU KIEN TOI UU Vi gi(-, vs) cO tinh Lipschitz nén (8; + rad, 0) Š gi(Z, 0s) + Tÿ|\+: + rs;d — ||.
Do đó, ta được Gils +rsd,v) < gi(F, vs) + L||+s + r„d — ||. Vì ¡ thuộc tập chỉ số 1) và G„;(#) = 0 do đó ø € 3⁄;(z). Tính đóng của ánh xạ Ø;ø;(-,-) kéo theo Tee U On Gi Œ, tị). Vậy, ta thu được kết quả ØG;(#) C conv U Oxgi(Z, Vi) viEVi (2) 2.2_ Điều kiện cần tối ưu Trong phần này, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu có tính chất vững cho (RP).