A SPACE – TIME FINITE ELEMENT METHOD FOR AN ADVECTION – DIFFUSION PROBLEM WITH A MOVING INTERFACE

Bài toán khuếch tán-đối lưu mô tả sự vận chuyển của một chất hoặc năng lượng trong một môi trường, chịu tác động đồng thời của hai quá trình: khuếch tán (sự lan truyền do gradient nồng độ hoặc nhiệt độ) và đối lưu (sự vận chuyển do chuyển động của môi trường). Bài toán này xuất hiện rộng rãi trong tự nhiên và kỹ thuật, ví dụ như sự lan truyền chất ô nhiễm trong không khí hoặc nước, truyền nhiệt trong các thiết bị điện tử, và mô hình hóa dòng chảy máu trong cơ thể. Theo [1], [2], [3], [4], vấn đề này đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực như vận chuyển khối lượng, truyền nhiệt, điện từ học và cảm ứng nhiệt. Để giải quyết các bài toán này, cần có các phương pháp số hiệu quả và chính xác.

Trong nhiều ứng dụng thực tế, bài toán khuếch tán-đối lưu xảy ra trong các miền có giao diện chuyển động, tức là biên giữa hai pha hoặc hai môi trường khác nhau thay đổi theo thời gian. Ví dụ, trong quá trình đông đặc của kim loại, giao diện giữa pha lỏng và pha rắn thay đổi liên tục. Việc xử lý giao diện chuyển động là một thách thức lớn trong mô phỏng số, vì nó đòi hỏi việc tái tạo lưới hoặc sử dụng các phương pháp đặc biệt để đảm bảo tính chính xác và ổn định của giải pháp. Phương pháp truy vết giao diện là một trong những cách tiếp cận giải quyết vấn đề này.

Khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) truyền thống cho các bài toán có giao diện chuyển động, độ chính xác của kết quả thường bị hạn chế do lưới không thể khớp hoàn hảo với giao diện tại mọi thời điểm. Điều này dẫn đến sai số lớn gần giao diện và làm giảm độ hội tụ của phương pháp. Đặc biệt, khi giao diện có hình dạng phức tạp hoặc thay đổi nhanh chóng, việc tạo ra lưới phù hợp trở nên rất khó khăn và tốn kém về mặt tính toán. Thêm vào đó, các phương pháp không khớp giao diện, theo [7], [8], [9], cần phải hiệu chỉnh hàm cơ sở phần tử hữu hạn cục bộ trên các phần tử giao diện, thay vì sử dụng phép phân chia tam giác phù hợp giao diện. Điều này giúp việc tam giác hóa đơn giản hơn.

Một trong những thách thức lớn khi giải các bài toán khuếch tán-đối lưu với giao diện chuyển động là việc tái tạo lưới thích nghi theo thời gian. Lưới thích nghi là loại lưới có mật độ phần tử thay đổi theo không gian, tập trung nhiều phần tử hơn ở những vùng có gradient lớn hoặc giao diện, và ít phần tử hơn ở những vùng có biến thiên nhỏ. Việc tái tạo lưới ở mỗi bước thời gian đòi hỏi thuật toán phức tạp và tốn kém về mặt tính toán, đặc biệt là khi giao diện có hình dạng phức tạp hoặc thay đổi nhanh chóng. [10, 11, 12] cho thấy các phương pháp tiếp cận trước đây hiệu quả hơn do cho phép tam giác hóa đơn giản độc lập giao diện.

So với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, FEM không gian-thời gian mang lại nhiều ưu điểm đáng kể cho bài toán khuếch tán-đối lưu với giao diện chuyển động. Thứ nhất, nó cho phép xử lý giao diện chuyển động một cách tự nhiên hơn, vì giao diện được coi là một bề mặt trong không gian-thời gian. Thứ hai, nó cho phép sử dụng các kỹ thuật lưới thích nghi hiệu quả hơn, vì lưới có thể được tinh chỉnh ở những vùng có gradient lớn hoặc giao diện, bất kể chúng nằm ở đâu trong không gian-thời gian. Thứ ba, nó có thể cung cấp độ chính xác cao hơn, vì nó xử lý không gian và thời gian một cách đồng đều. Theo [5], phương pháp này giải quyết một nhược điểm của các phương pháp khớp giao diện và cho phép chúng ta đối phó với các giao diện phức tạp về mặt hình học.

Việc xây dựng lưới không gian-thời gian là một bước quan trọng trong phương pháp FEM không gian-thời gian. Lưới này phải phù hợp với hình dạng của miền không gian-thời gian và phải đủ mịn để đảm bảo độ chính xác của giải pháp. Khi có giao diện chuyển động, lưới phải khớp với giao diện tại mọi thời điểm. Có nhiều phương pháp để xây dựng lưới không gian-thời gian, bao gồm phương pháp extrude (kéo dài lưới không gian theo thời gian), phương pháp advancing front (xây dựng lưới từ biên vào trong), và phương pháp Delaunay triangulation (tạo lưới từ tập hợp các điểm). Điều quan trọng là phải chọn phương pháp phù hợp với đặc điểm của bài toán và giao diện chuyển động. Chúng ta rời rạc hóa trạng thái và trạng thái liên kết thường xuyên bằng các phần tử tuyến tính theo phần tử liên quan đến một lưới không có cấu trúc [5].

Điều kiện biên và điều kiện ban đầu đóng vai trò quan trọng trong việc xác định nghiệm duy nhất của bài toán khuếch tán-đối lưu. Điều kiện biên mô tả giá trị của nghiệm hoặc đạo hàm của nghiệm trên biên của miền, trong khi điều kiện ban đầu mô tả giá trị của nghiệm tại thời điểm ban đầu. Việc lựa chọn điều kiện biên và điều kiện ban đầu phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo tính vật lý và độ chính xác của giải pháp. Cần xác định rõ loại điều kiện biên (Dirichlet, Neumann, Robin) và giá trị của chúng trên từng phần của biên. Theo (2.1), cần xác định rõ giá trị của U trên giao diện.

Hàm cơ sở phần tử hữu hạn là các hàm số được sử dụng để xấp xỉ nghiệm của bài toán trong mỗi phần tử. Việc lựa chọn hàm cơ sở phù hợp ảnh hưởng đến độ chính xác và hiệu quả tính toán của phương pháp. Các loại hàm cơ sở phổ biến bao gồm hàm tuyến tính, hàm bậc hai, và hàm bậc cao hơn. Sau khi chọn hàm cơ sở, cần xây dựng hệ phương trình đại số bằng cách thay thế nghiệm gần đúng vào phương trình gốc và sử dụng phương pháp Galerkin hoặc phương pháp least squares. Hệ phương trình này thường có kích thước lớn và cần được giải bằng các thuật toán số hiệu quả. Ở chương 2, các tác giả đã trình bày phương pháp phần tử hữu hạn không gian-thời gian khớp giao diện [5].

Một trong những ứng dụng quan trọng của FEM không gian-thời gian là mô phỏng quá trình truyền nhiệt với giao diện chuyển động. Ví dụ, trong quá trình đông đặc của kim loại, giao diện giữa pha lỏng và pha rắn thay đổi liên tục, và việc mô phỏng chính xác quá trình truyền nhiệt trên giao diện là rất quan trọng để kiểm soát chất lượng sản phẩm. FEM không gian-thời gian cho phép mô phỏng quá trình này một cách chi tiết và chính xác, bao gồm cả ảnh hưởng của các yếu tố như đối lưu tự nhiên, bức xạ nhiệt, và sự thay đổi tính chất vật liệu theo nhiệt độ. Theo [2], bài toán này được ứng dụng trong truyền nhiệt.

FEM không gian-thời gian cũng được sử dụng rộng rãi trong động lực học chất lỏng và cơ học chất lỏng tính toán (CFD). Nó cho phép mô phỏng các dòng chảy phức tạp với giao diện giữa các pha khác nhau, ví dụ như dòng chảy hai pha (nước và hơi), dòng chảy nhiều pha (dầu, nước, và khí), và dòng chảy có phản ứng hóa học. FEM không gian-thời gian có thể cung cấp độ chính xác cao và hiệu quả tính toán tốt hơn so với các phương pháp CFD truyền thống, đặc biệt là khi mô phỏng các dòng chảy có biến thiên lớn theo thời gian hoặc có giao diện phức tạp. Cơ học chất lỏng tính toán cũng được sử dụng rộng rãi. Cụ thể, [3] ứng dụng vào điện từ học.

Trong tương lai, FEM thích nghi và thời gian hóa sẽ tiếp tục là những hướng phát triển quan trọng của FEM không gian-thời gian. FEM thích nghi cho phép tự động tinh chỉnh lưới ở những vùng có sai số lớn, giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả tính toán. Thời gian hóa tập trung vào việc phát triển các thuật toán số hiệu quả để giải hệ phương trình đại số lớn, đặc biệt là cho các bài toán có biến thiên lớn theo thời gian. Việc kết hợp FEM thích nghi và thời gian hóa sẽ tạo ra các công cụ mô phỏng số mạnh mẽ và linh hoạt, có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

FEM không gian-thời gian có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong các bài toán phức tạp hơn, ví dụ như bài toán Stefan (đông đặc với giao diện chuyển động), bài toán dòng chảy đa pha với phản ứng hóa học, và bài toán tương tác giữa chất lỏng và chất rắn. Để ứng dụng FEM không gian-thời gian cho các bài toán này, cần phát triển các mô hình toán học phù hợp và các thuật toán số hiệu quả. Nghiên cứu của Zhang và cộng sự [17] đã đề cập đến vấn đề này. Ngoài ra, cần có sự hợp tác giữa các nhà toán học, kỹ sư, và nhà khoa học để giải quyết các thách thức liên quan đến mô hình hóa, tính toán, và thực nghiệm.