Giải Bài Toán Bao Hình Bằng Phương Pháp Hình Học Vi Phân và Hình Học Xạ Ảnh

Khóa luận trình bày phương pháp hình học vi phân và phản xạ ảnh để giải bài toán bao hình trong toán tin, mang lại những ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Nguyen Thai Son
• Người hướng dẫn: TS. Nguyen Thai Son
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm TP. HCM
• Chuyên ngành: Toán-Tin Học
• Đề tài: Giải Bài Toán Bao Hình Bằng Phương Pháp Hình Học Vi Phân và Hình Học Xạ Ảnh
• Loại tài liệu: Khóa Luận
• Năm xuất bản: 2001
• Địa điểm: Thành Phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC VI PHÂN
• 1.1. BAO HÌNH CỦA MỘT HỌ ĐƯỜNG MỘT THAM SỐ TRONG MẶT PHẲNG
• 1.2. QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM KỲ DỊ
• 1.3. ĐƯỜNG DỪNG CỦA HỌ (Cy)
• 1.4. CÁC VÍ DỤ
• 1.5. ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO BAO HÌNH
• 2. CHƯƠNG 2: GIẢI BÀI TOÁN BAO HÌNH VÀ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC XẠ ẢNH
• 2.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 2.2. GIẢI BÀI TOÁN BAO HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC XẠ ẢNH
• 2.3. GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC XẠ ẢNH
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về Giải Bài Toán Bao Hình Bằng Phương Pháp Hình Học Vi Phân

Giải bài toán bao hình là một trong những vấn đề quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực hình học vi phân. Phương pháp này giúp xác định hình bao của một họ đường cong trong mặt phẳng. Việc áp dụng lý thuyết bao hình không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn mang lại nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính.

1.1. Khái niệm về Bao Hình và Tầm Quan Trọng của Nó

Bao hình là tập hợp các điểm mà mọi đường cong trong một họ đường cong đều tiếp xúc. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất hình học của các đường cong.

1.2. Lịch Sử và Phát Triển của Lý Thuyết Bao Hình

Lý thuyết bao hình đã được phát triển từ lâu, với nhiều nhà toán học nổi tiếng đóng góp vào việc hình thành các định lý và phương pháp giải quyết bài toán bao hình.

II. Những Thách Thức Trong Giải Bài Toán Bao Hình

Giải bài toán bao hình không phải là một nhiệm vụ đơn giản. Có nhiều thách thức mà các nhà nghiên cứu phải đối mặt, bao gồm việc xác định điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của bao hình. Những thách thức này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về hình học vi phân và các phương pháp giải tích.

2.1. Các Điều Kiện Cần và Đủ cho Bao Hình

Để xác định bao hình, cần phải có các điều kiện cần và đủ. Những điều kiện này thường được biểu diễn dưới dạng các hệ phương trình phức tạp.

2.2. Khó Khăn Trong Việc Tìm Kiếm Giải Pháp

Việc tìm kiếm giải pháp cho bài toán bao hình thường gặp khó khăn do tính phức tạp của các phương trình liên quan. Điều này yêu cầu các phương pháp giải quyết sáng tạo và hiệu quả.

III. Phương Pháp Hình Học Vi Phân Trong Giải Bài Toán Bao Hình

Phương pháp hình học vi phân là một trong những công cụ mạnh mẽ nhất để giải bài toán bao hình. Phương pháp này sử dụng các khái niệm về đạo hàm và tiếp tuyến để xác định hình bao của các đường cong.

3.1. Định Nghĩa và Nguyên Tắc Cơ Bản

Phương pháp hình học vi phân dựa trên việc sử dụng đạo hàm để xác định các điểm tiếp xúc giữa đường cong và bao hình. Điều này giúp xác định hình bao một cách chính xác.

3.2. Ứng Dụng Của Phương Pháp Hình Học Vi Phân

Phương pháp này không chỉ được áp dụng trong toán học thuần túy mà còn trong các lĩnh vực như vật lý và kỹ thuật, nơi mà việc xác định hình dạng và quỹ tích là rất quan trọng.

IV. Phương Pháp Hình Học Xạ Ảnh Trong Giải Bài Toán Bao Hình

Phương pháp hình học xạ ảnh là một phương pháp khác để giải bài toán bao hình. Phương pháp này sử dụng các khái niệm về ánh xạ và hình ảnh để xác định hình bao của các đường cong.

4.1. Nguyên Tắc Cơ Bản Của Phương Pháp Hình Học Xạ Ảnh

Phương pháp hình học xạ ảnh dựa trên việc sử dụng ánh xạ để xác định các điểm trên bao hình. Điều này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán.

4.2. So Sánh Giữa Hai Phương Pháp

Mặc dù cả hai phương pháp đều có thể được sử dụng để giải bài toán bao hình, nhưng mỗi phương pháp có những ưu điểm và nhược điểm riêng, tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.

V. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Giải Bài Toán Bao Hình

Giải bài toán bao hình có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như thiết kế kỹ thuật, mô hình hóa trong vật lý và khoa học máy tính. Việc hiểu rõ về bao hình giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả trong các ứng dụng này.

5.1. Ứng Dụng Trong Kỹ Thuật

Trong kỹ thuật, việc xác định hình bao của các cấu trúc là rất quan trọng để đảm bảo tính ổn định và an toàn của các công trình.

5.2. Ứng Dụng Trong Khoa Học Máy Tính

Trong khoa học máy tính, bao hình được sử dụng trong các thuật toán đồ họa và mô hình hóa 3D, giúp tạo ra các hình ảnh chính xác và sống động.

VI. Kết Luận và Tương Lai Của Giải Bài Toán Bao Hình

Giải bài toán bao hình là một lĩnh vực nghiên cứu phong phú và đầy thách thức. Tương lai của lĩnh vực này hứa hẹn sẽ có nhiều tiến bộ mới, đặc biệt là với sự phát triển của công nghệ và các phương pháp tính toán hiện đại.

6.1. Xu Hướng Nghiên Cứu Mới

Các nghiên cứu mới trong lĩnh vực bao hình đang tập trung vào việc phát triển các phương pháp giải quyết hiệu quả hơn và ứng dụng trong các lĩnh vực mới.

6.2. Tầm Quan Trọng Của Bao Hình Trong Tương Lai

Bao hình sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực, từ khoa học cơ bản đến ứng dụng thực tiễn, giúp giải quyết các vấn đề phức tạp trong cuộc sống.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Phương pháp hình học vi phân LLL LLL LM AA LAL LALLA POLL LEP EL ALLELE LE LEBEL LOL OD DE 2.8- Một điểm M chạy trên Parabol có phương trình (P): yÌ = 2px (p > 0 cố định ). Xác định bao hình của họ đường (T’). Chứng mình: Suy ra, phương trình tiếp tuyến tại M của (P) là: 2 (T): ty=p(x+ = 2p (2 => pXx-ty+ 5 =0 => Phương trình đường thẳng đối xứng của (T) qua đường thẳng » + X= a có phương trình: 2p (T'`): 2px + 2ty - 3ÿ =0 LE LBBB LALLA LALLA LLL ALAA LLL LBC ELLE 2 49 LE d2 9 90 2 i04 4 TRANG 18 Chương |: Phương pháp hình học vi phân OOOO LL LL LLL LOL LLL LEE ELL LLL LL ELL LLL LL LLL LLL LLL LLL LLL 4926 2 49 2 4e 24 6414042 2 Phương trình đường thẳng (T°) có dang một phương trình bậc hai theo ấn L Suy ra, phương trình bao hình của (T') chính là điều kiện để phương trình bậc hai theo t có nghiệp kép: y* + 6px = 0, Vay, bao hình của họ đường thẳng (T’) là parabol có phương trình: (P`): y°=-6px có tính chất sau: trục đối xứng nằm ngang, bể löm quay về chiều âm, đỉnh là gốc tọa độ, tiêu điểm Fe p.9- Điểm M thuộc trên parabol có phương trình y = ax” chiếu M xuống Oy thành P. Gọi N là trung điểm của OM.

Tìm hình bao của đường thắng PN. Chứng mình: Do M chạy trên parabol (P): y= ax’ nên tọa độ điểm M có dạng: Mit. at’), Suy ra, tọa độ hình chiếu P của M xuống Oy, tọa độ trung điểm N của OM là: P(O, ab), Me) Ta có, phương trình đường thang PN là: 2 at t 2 a x+ `(y~at2)=0 2 TGCS? * Nếu t= 0 thì ta có: PEN=M=O, a>0 = Đường thẳng PN quy về điểm O là gốc tọa độ. THU =VIỆN kudena Đi 429 Na âu e Phạm TY sO (1M Chương |: Phương pháp hình học vi phân ERA LOLOL LOL ELE OL LOLOL LLL LL OF * Nếu ts 0, phương trình của ho đường thẳng PN: at’ - axt— y = 0 (*) có dang một phương trình bậc hai theo t.

Do đó, ta có ngay phương trình xác định đặt hình, phương trình xác định bao hình là một và chính là phương trình điều kiện để (*) có nghiệm kép: a°x* + 4ay = 0 x? =- : y a Vậy, theo hình của đường thẳng PN là một parabol có:. Nếu a >0: + Dinh là gốc tọa độ O(0 , 0), trục đối xứng Oy, bể lõm quay về chiều âm, tiêu điểm F (0, - L/a) .10- Một điểm M chuyển động trên đường tròn O đường kính AB, Đường thẳng AM (tương ứng BM) cắt tiếp tuyến với (O) tại B (tương ứng A) tại điểm P (tương ứng Q). Xác định hình bao của đường thắng PQ. - Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn thích hợp sao cho các điểm A, B có tọa độ : A(-R, 0), B(R, 0) - Do M di chuyển trên đường tròn đường kính AB nên tọa độ M có dạng (R cost, R sint), te R.

R là bán kính của đường tròn (O) = (AB): x” + yŸ= R’, Suy ra, tiếp tuyến với (O) tại A, B là d, d' có phương trình: (d) :x=-R (1) (`) :xz=R (2) - Ta có phương trình đường thẳng AM, BM là: (AM): (sinOx + (cost +l)y + Rsint=0 (3) (BM): (sinDx + (1 — cosU)y — Roma (4) Từ (1) và (4) suy ra, toa độ giao diémP=AMxd là P(R, int) 1 + cost ELL LLL hư tu L LLL LLL ALLE LLL LLL LLL LL LLL ELLE 299229 9 04 2 2 20 MRM TRANG 20 Chương 1: Phương pháp hình học vi phân TH.a POE EOE EOE EEO EEE ROR LOL an -2R Từ (2) và (3) suy ra, tọa độ giao điểm Q =BMx d là : Q (-R-——— sin) cost -Ì Suy ra phương trình đường thẳng PQ: (PQ): 2xcostsint + ysin’t ~ 2Rsint=0 Ta có, hệ phương trình xác định đặc hình cũng chính là bao hình của ho đường thẳng là: 2(costsint)x+ (sifUy-2Rsint=0 ~2(sint)x+ (cost)y=0 Giải hệ trên ta được: x=~—Rcost y=~2Rsint : xì yŸ Khử tham số tla có: = Bên Soon R* 4R Vậy, bao hình của họ đường PQ là một clip có phương trình: = + + = l, có các tính chất: Rˆ 4R - Trục lớn thuộc Oy, bán kính 2R. - Trục nhỏ thuộc Ox, bán kính R. - Tam đối xứng là gốc tọa độ O(0, 0). - Hai tiêu điểm F;(0, J3R), FO, -V3R).11- Cho hình vuông ABCD.

Một đường thẳng biến thiên qua A cắt BC tại E va CD tại F. Gọi I là trung điểm của EB, Tim bao hình đường thẳng Fi, PEE ELLE LLLLLL LLL LLL ELLE LLL LLL LLL LLL LLL LLL LLL ELLE LL LLL LLL LL OR TRANG 21 Cc“hương I: Phương pháp hình học vi phân LLL L ALLEL LLLLLLELLELLLOLEL ELD POE EOE OL LORE LLO OLED OOOO OO Ta thấy (*) có dạng mốt phương trình bậc hai theo k. Do đó, phương trình hao hình của họ đường thang FI chính là phương trình điều kiện để (*) có nghiệp kép: (2x+2y ~3a)” ~ 8(a — y)(a — x) =0 a? & (x--)°+(y-S).— 2 2 4 Vay , bao hình của đường thẳng FI là đường tròn tâm Ẹ. Đây chính là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.12- Đường tròn tâm C bán kính R không đổi thay đổi và luôn tiếp xúc với trục hoành và ở trên trục hoành, tiếp điểm là A.

Định bao hình đường đối cực D của gốc tọa độ O đối với đường tròn (C). Chứng minh: Chọn t làm tham số, tọa độ điểm A cho bởi A(t0) Suy ra. toa độ tâm C của đường tròn (C) là: C(t,R). Vậy ,đường tròn tâm C bán kính R có phương trình là: ARAL ALAA LLB LLL LR Chương {- Phương pháp hình học vi phân -.

Quy tắc tách đôi tọa độ cho ta phương trình đường đối cực D của gốc tọa độ O(0,0) đối với đường tròn (C): D: t-xt- Ry =0(*). Phương trình đường đối cực D, có dang một phương trình bậc hai theo |. Do đó, phương trình bao hình của họ đường thẳng D, là điều kiện cẩn và đủ để (*) có nghiệm kép theo t. Phương trình bao hình là phương trình của một parabol có các yếu tố xác định như sau: Đỉnh O(0,0); Tham số tiêu p = 2R; Trục đối xứng thắng đứng; Bề löm quay về chiều 4m; Tiêu điểm F(0.13- Cho đường tròn (C) và đường thẳng D.

Một đường tròn (C') bán kính không đổi R dịch chuyển vuông góc với đường thẳng D. Xác định bao hình của đây cung chung của hai đường tròn (C) và (C’). Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn sao cho trong đó ta có phương trình đường tròn (C) là: x? + y? = a” và phương trình của đường thẳng D là: y = m. Chọn t làm tham số, họ đường tròn có bán kính R vuông góc với đường thẳng D có phương trình: (C): (x—-Uˆ+(y- m=R? với điều kiện ÏR ~ a|< V +m? <|R+al y Hay (R - a)?- mˆ << (R+a)-m thì hai đường tròn (C) và (C) cắt nhau và giao điểm là nghiệm của hệ: x?'+y!=a? 2 (x=)? +(y~ m)Ÿ =R? OO LLC LLL LLL LL LLL LLL LLL LEE L LLL LLL LLL LLL LL LLL LLL LLL LOLOL ALLL OE TRANG 24 Chương |: Phương pháp hình học vi phân LLB LLL LOL LLL ee Suy ra, phương trình đây cung chung của hai đường tròn (C) va (C’) là: D: 2t x- U - m°- a° + R7=0 + 2ky > Hệ phương trình xác định đặc hình của ho D: 2tx + 2ky — tẺ -m? -a? +R’? =0 2x-2=0 Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất theo t: x=t _m 2 +8?—~R?~ 2m Đây cũng chính là phương trình tham số của hình bao họ đường thẳng D,.

Khử tham số (ta được: x + 2my - RỶ + r= mỶ =0. Vậy, hao hình của dây cung chung của hai đường tròn (C) và (C’) là đoạn parabol có phương trình: x? +2my—-R? +r 2 Ế =0 (R -a)? ~m?<x? <(R+a) -m? 2.14- Tìm bao hình đường đối cực của một điểm lưu động M thuộc đường tròn (O) có phương trình: x? + y> = a> đối với đường tròn (C) có phương trình: x? + yŸ~ 2Rx = 0. Xét trong hệ trục trực chuẩn. Chứng minh: Chọn t làm tham số, tọa độ điểm M cho bởi: M(acost, asinU.

Suy ra, phương trình đường đối cực D của M đối với đường tròn (C) là: (D): (acost)x + (asinUYy — (x + acosUR = 0 Hay (ax — aR)cost + aysint=Rx = (1) Ta thấy, phương trình của họ đường thing D, có dạng phương trình lướng giác cổ điển theo t. Phương trình bao hình của họ đường thẳng D, là điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm kép theo L. Đó là: (ax — aR)’ + ay? = RỶxỶ.a¬'Ỷarnaadaaradananadadaesaaasaandddel Chương 1: Phương pháp hình học vi phan OEE MOL LEE L sẽ“E. SOOO OLE LOLOL OLE L OEE OO Nếu R <a thì phương trình (2) là phương trình của một clip mà phương trình có thể viết lại là: 2 = aR gta y? | 2 2 aR? R? (a? -R? ) a?—R` Elip này có yếu tố xác định sau: ‘ Tâm Wf = ) 2 ? _R” 2 - Bo dài nửa trục lớn là: se Truc lớn nằm ngang.

(a? -R?) R? - Trục nhỏ thẳng đứng có độ dài nửa trục là: va? -R? RÌ - Tiêu cự c= ì a?—R? - Tiêu điểm F(A ol ro 2 2 a _ - Hai đỉnh trục lớn a a=R va o}a( ak ) a+R - Hai đỉnh trên trục nhỏ: e Nếu R =a thì (2) là phương trình của một parahol. Phương trình (2) có thể viết lại như sau: yÌ ~2Rx+R°= Parabol này có yếu tế xác định sau: - Đỉnh {55). 2 Chương |: Phương pháp hình học vi phân. SEO EEOOOEE nan .aananaaa - Tham số tiêu p=R - Trục đối xứng nằm ngang.

- Bể lõm quay về chiéu dương. - Tiêu điểm F(R,0) - Đường chuẩn x= e Nếu R >a thì (2) là phương trình của một Hypebol. Phương trình này có thể viết lại như sau: > a?-R` y? Hypebol này có các yếu tố xác định như sau: 2 (a“ -R*) aR? - Độ dai nửa trục thực là: oi ue Trục thực nằm ngang. -a R? - Đô dài nửa trục ảo là: —___ Trucảothẳng đứng, - ‘ Tiêu cự c= nã bà ¬ - Tiêu điểm rÍ- = ¬ +0 | (RO) 2 sô -a a a?R y4 ;=0 R-aŸ? a -R 2 a rae k.

“=0 R? -a? a“ =-R SOLO OEE OOOO O E. TRANG 27 Chương |: Phương pháp hình học vi phân LLL LLL LLL LLL LALLA LALLA LAL LLL LLL LLL LAL LLL LLL LL LLL LL LLL LLL LLL 2.15- Tìm bao hình của đường thẳng lưu động d biết rằng: quỹ tích các hình chiếu H của một cố định A xuống d là một vòng tròn (C) không đi qua A có bán kính là b.