Độ Đo Xác Suất Trên Không Gian Metric và Hilbert

Một độ đo µ trên không gian metric X là một hàm tập không âm, cộng tính đếm được trên lớp các tập Borel BX, thỏa mãn µ(X) = 1. Tập Borel A ⊆ X được gọi là µ-chính quy nếu µ(A) = sup{µ(C) : C ⊆ A, C đóng} = inf{µ(U) : A ⊆ U, U mở}. Nếu mọi tập Borel đều µ-chính quy, µ được gọi là chính quy. Theo tài liệu gốc, một tập A ∈ BX là µ-chính quy khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập mở Uε và tập đóng Cε sao cho Cε ⊆ A ⊆ Uε và µ(Uε − Cε) < ε.

Trong không gian metric X, mọi độ đo µ đều là chính quy. Điều này có nghĩa là, với bất kỳ tập Borel A nào, ta có thể xấp xỉ độ đo của A bằng các tập mở chứa A và các tập đóng nằm trong A. Tính chính quy là một tính chất quan trọng, cho phép ta sử dụng các tập mở và tập đóng để nghiên cứu độ đo xác suất. Kí hiệu B = {A ⊂ X : A−µ chính quy} ⇒ B ⊂ BX . Bởi vì φ, X vừa là tập đóng, vừa là tập mở ⇒ φ ∈ B, X ∈ B.

Cho X là không gian metric tách được và µ là độ đo trên X. Khi đó, tồn tại duy nhất một tập đóng Cµ thỏa mãn: (i) µ(Cµ) = 1, (ii) Nếu D là tập đóng nào đó sao cho µ(D) = 1 thì Cµ ⊆ D. Hơn nữa, Cµ là tập tất cả các điểm x ∈ X sao cho µ(U) > 0 với mọi tập mở U chứa x. Bởi vì X là tách được ⇒ có nhiều đếm được các tập mở U1 , U2 , . sao cho Un = {U : U ∈ U}. Hơn nữa, n n nếu D là tập đóng thỏa mãn µ(D) = 1 ⇒ µ(X − D) = 0 ⇒ X − D ∈ U và do đó X − D ⊆ Uµ tức là Cµ ⊆ D.

Cho X là không gian metric và µ là độ đo trên X sao cho với E ⊆ X, E là tập Borel tách được, µ(X − E) = 0. Khi đó, µ có giá tách được và Cµ ⊆ E. Điều này có nghĩa là, nếu độ đo tập trung vào một tập Borel tách được, thì giá của nó cũng là một tập tách được. Tính chất này hữu ích trong việc đơn giản hóa các bài toán liên quan đến độ đo xác suất.

Một độ đo µ trên không gian metric X được gọi là chặt nếu ∀ε > 0 tồn tại một tập compact Kε ⊆ X sao cho µ(X − Kε ) < ε. Các độ đo chặt có nhiều tính chất tốt và thường xuất hiện trong các ứng dụng thực tế. Ví dụ, mọi độ đo trên không gian metric đầy đủ, tách được đều là chặt.

Cho X là không gian metric và µ là độ đo chặt trên X. Khi đó, µ có giá tách được và với tập Borel bất kì E và ε > 0 nào đó, có một tập compact Kε ⊆ E với µ(E − Kε ) < ε. Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa tính chặt và giá của độ đo.

Để một không gian với độ đo (X, B, µ) là hoàn hảo, cần phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định liên quan đến tính đo được của các hàm và sự tồn tại của các tập Borel xấp xỉ. Việc kiểm tra tính hoàn hảo của độ đo có thể phức tạp, nhưng nó đảm bảo rằng các kết quả lý thuyết xác suất được áp dụng một cách chính xác.

Cho X là không gian metric bất kì và µ là độ đo chặt trên X. Khi đó (X, BX , µ) là một không gian với độ đo hoàn hảo. Điều này cho thấy rằng tính chặt là một điều kiện đủ để độ đo là hoàn hảo. Do đó, các độ đo chặt thường được sử dụng trong các ứng dụng thực tế.

Một phiếm hàm tuyến tính ∧ được gọi là dương nếu ∧(f ) > 0 ∀f > 0. Chú ý rằng nếu ∧ là một phiếm hàm tuyến tính dương thì ∧(f ) 6 ∧(g), ∀f 6 g. Kí hiệu 1 là hàm nhận giá trị 1 mọi nơi. Cho trước độ đo µ bất kì trên X , một R phiếm hàm ∧µ : g → gdµ dễ thấy là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C(X) với ∧µ (1) = 1.

Định lý biểu diễn Riesz cho thấy rằng, dưới một số điều kiện nhất định, mọi phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm liên tục có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân theo một độ đo xác suất. Điều này tạo ra một cầu nối quan trọng giữa giải tích hàm và lý thuyết độ đo.

Một dãy các độ đo {µn} hội tụ yếu tới độ đo µ nếu tích phân của mọi hàm liên tục bị chặn theo µn hội tụ tới tích phân của hàm đó theo µ. Hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê, đặc biệt khi nghiên cứu các định lý giới hạn.

Có nhiều tiêu chuẩn khác nhau để kiểm tra sự hội tụ yếu của các độ đo. Một số tiêu chuẩn phổ biến bao gồm tiêu chuẩn dựa trên các tập đóng, tập mở và các tập Borel có biên có độ đo bằng 0. Việc sử dụng các tiêu chuẩn này giúp ta dễ dàng xác định xem một dãy các độ đo có hội tụ yếu hay không.