Chương 1 Một số kết quả cổ điển về góc đa diện và hình đa diện Chương này trình bày các khái niệm về hình lồi, góc đa diện, hình đa diện và một số định lí về góc nhị diện, góc tam diện, góc đa diện, định lí Euler. Các kết quả được tham khảo chủ yếu từ [2], [4].1 Hình lồi Định nghĩa 1. Một hình lồi C trong không gian là một hình thỏa mãn: ∀X, Y ∈ C, đoạn thẳng XY ⊂ C.2: Hình không lồi. Giao của một họ tùy ý các hình lồi là một hình lồi.
Giả sử Hi (i ∈ I) là các hình lồi. 4 Giả sử A, B là hai điểm thuộc H. Khi đó A ∈ Hi và B ∈ Hi , ∀i. Do Hi là hình lồi, suy ra đoạn AB thuộc Hi với mọi i.
Một trong những ứng dụng của hình lồi là sử dụng khái niệm bao lồi của hệ n điểm để giải các bài toán trong mặt phẳng và không gian. Khái niệm bao lồi của hệ n điểm trong mặt phẳng được phát biểu như sau: Định nghĩa 1. Bao lồi của hệ n điểm trong mặt phẳng là một đa giác lồi sao cho các đỉnh của nó thuộc hệ n điểm đã cho, các điểm còn lại của hệ hoặc thuộc cạnh hoặc là điểm trong của đa giác đó. Cụ thể, nếu H1 ,.
, Hm là các điểm phân biệt trong không gian với hệ tọa độ Descatress Oxyz thì bao lồi của các điểm này có thể biểu diễn được dưới dạng: m m −−→ X −−→ X conv(H1 ,. , Hm ) := {H | OH = αi OHi , αi ≥ 0, αi = 1}. a) Bao lồi của hai điểm phân biệt A, B là đoạn thẳng AB. b) Bao lồi của ba điểm phân biệt A, B, C là hình tam giác ABC.
c) Bao lồi của bốn điểm phân biệt A, B, C, D trong cùng 1 mặt phẳng là hình bình hành ABCD. d) Với bốn điểm phân biệt A, B, C, D trong không gian sao cho không có điểm nào thuộc cùng 1 mặt phẳng với 3 điểm còn lại, bao lồi của chúng là khối tứ diện ABCD, xem Chương 2.2 Góc nhị diện và góc tam diện Định nghĩa 1. Giả sử (P ) và (Q) là hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến a. Đường thẳng a chia mỗi mặt phẳng (P ), (Q) thành hai nửa mặt phẳng.
Kí hiệu α và β là hai nửa mặt phẳng tương ứng thuộc (P ) và (Q). Hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng α và β được gọi là góc nhị diện (xem Hình 1. Các nửa mặt phẳng α, β là mặt của góc nhị diện; đường thẳng a là cạnh của góc nhị diện. Một mặt phẳng (R) vuông góc với a và cắt α và β theo các nửa đường thẳng p,q như Hình 1.
Góc ϕ tạo bởi hai nửa đường thẳng p,q được gọi là góc phẳng của góc nhị diện. Số đo của góc phẳng nhị diện ϕ được gọi là số đo của góc nhị diện. Giả sử a, b, c là ba nửa đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng, xuất phát từ một điểm S (xem Hình 1. Các nửa đường thẳng Hình 1.
a, b, c tạo thành ba góc (a, b); (b, c); (c, a). Hình tạo bởi ba góc (a, b); (b, c); (c, a) được gọi là góc tam diện. Điểm S gọi là đỉnh của góc tam diện, các nửa đường thẳng a, b, c gọi là các cạnh của góc tam diện, các góc phẳng (a, b); (b, 6 c); (c, a) gọi là các mặt (góc phẳng) của góc tam diện. Ta ký hiệu góc tam diện trên là Sabc.
Nếu α, β , γ là các góc phẳng của một góc tam diện và C là góc nhị diện đối diện với góc phẳng α thì cosα = cos β cos γ + sin β sin γ cos C. Gọi (R) là mặt phẳng vuông góc với c tại C cắt a, b tương ứng tại các điểm A, B. Không mất tính tổng quát, giả sử SC = 1. Khi đó 1 1 BC = tan β, AC = tan γ, SB = , SA =.
cos β cos γ Lần lượt áp dụng Định lí hàm số côsin cho các tam giác ABC và SAB ta có AB 2 = tan2 β + tan2 γ − 2 tan β tan γ cos C (1.2) và 1 1 2 AB 2 = 2 + 2 − cos α.3) cos β cos γ cos β cos γ Từ (1.3) suy ra 1 1 2 cos α 2 − tan2 β + 2 − tan2 γ + 2 tan β tan γ cos C =. cos β cos γ cos β cos γ 7 Suy ra cos α 1 + tan β tan γ cos C =. cos β cos γ Hay cos β cos γ + sin β sin γ cos C = cos α. Nếu α, β, γ là các góc phẳng của một góc tam diện, và A, B, C tương ứng là các góc nhị diện đối diện với α, β, γ thì sin α sin β sin γ = = .4) sin A sin B sin C Chứng minh.
Gọi M là điểm trên cạnh c sao cho SM = 1. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng chứa các cạnh a, b. Dựng HA ⊥ a và HB ⊥ b. Khi đó A b= M \ AH ; B b=M \ BH.
Do tam giác M SB vuông tại B nên M B = sin α. Hơn nữa tam giác M BH vuông tại B nên M H = M B sin B = sin α sin B. Mặt khác, trong các tam giác vuông M SA và M HA, ta có M H = sin β sin A. sin α sin β Từ đó, sin α sin B = sin β sin A hay =.
sin A sin B Chứng minh tương tự, ta có sin β sin γ =. sin B sin C 8 Định lí được chứng minh xong. Trong một góc tam diện, mỗi góc phẳng bé hơn tổng hai góc phẳng còn lại. Giả sử α, β , γ là các góc phẳng của góc tam diện.7, ta có cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos C.
Vì cos C > −1 và sin β > 0, sin α > 0 nên cos γ > cos α cos β − sin α sin β. Hay cos γ > cos(α + β). Do hàm số côsin nghịch biến trong khoảng (0, π) nên γ < α + β. Tổng các góc phẳng của một góc tam diện luôn bé hơn 2π.
Xét góc tam diện Sabc. Lấy 3 điểm A, B, C lần lượt trên ba cạnh Sa, Sb, Sc. Khi đó ta có các tam diện: ASBC đỉnh A, BSCA đỉnh B , và CSAB đỉnh C .9 cho các góc của các tam diện trên, ta có BAC [ < S[ AB + S [ AC, (1.5) CBA [ < S[ BC + S [ BA, (1.6) ACB [ <S[CA + S [ CB.7) 9 Cộng vế theo vế (1. Hay π < π − aSb d + π − cSa d + π − bSc.
c Từ đó ta có aSb d + bSc c + cSa d < 2π.3 Góc đa diện Định nghĩa 1. Giả sử a1 , a2 , · · ·, an là các nửa đường thẳng cùng xuất phát từ điểm S , trong đó không có ba nửa đường thẳng nào cùng thuộc một mặt phẳng. Hình tạo bởi các góc phẳng (a1 , a2 ), (a2 , a3 ), · · ·, (an , a1 ) được gọi là góc đa diện (xem Hình 1. Điểm S gọi là đỉnh của góc đa diện, các nửa đường thẳng a1 , a2 , · · ·, an gọi là các cạnh của góc đa diện.
Các góc nhị diện tạo bởi hai mặt kề nhau là góc nhị diện của hình đa diện. Ta sẽ kí hiệu góc đa diện trên bởi SA1 A2 · · · An , trong đó S gọi là đỉnh của góc đa diện và các SAi gọi là các cạnh góc đa diện. 10 Một góc đa diện được gọi là góc đa diện lồi nếu nó nằm về một nửa không gian với bờ là mặt phẳng chứa bất kì góc phẳng nào của nó. Góc đa diện lồi được gọi là góc đa diện đều nếu các góc phẳng bằng nhau và các góc nhị diện bằng nhau.
Trong một góc đa diện lồi, mỗi góc phẳng bé hơn tổng các góc phẳng còn lại. Khi góc đa diện là tam diện thì kết quả của định lí đã được chứng minh trong Định lí 1. Bây giờ ta chứng minh trường hợp tổng quát bằng quy nạp theo giá trị góc phẳng của góc đa diện. Giả sử SA1 A2 · · · An là góc đa diện và ϕ1 , ϕ2 , · · ·, ϕn là giá trị các góc phẳng của nó.
Định lí đúng với n = 3 theo Định lí 1. Giả sử định lí đúng với n = k − 1, nghĩa là ta có ϕi < ϕ1 + ϕ2 + · · · + ϕi−1 + ϕi+1 + · · · + ϕk−1. Với n = k , ta chứng minh ϕi < ϕ1 + ϕ2 + · · · + ϕi−1 + ϕi+1 + · · · + ϕk−1 + ϕk. 11 Thật vậy, trong tam diện SA1 Ak Ak−1 , ta có Ak−1 \ SAk < ϕk−1 + ϕk .8) Áp dụng giả thiết quy nạp cho góc đa diện SA1 A2 · · · Ak−1 , vì số mặt của góc đa diện này bằng k − 1 nên ta có ϕi < ϕ1 + ϕ2 + · · · + ϕi−1 + ϕi+1 + · · · + Ak\ SAk−1 · (1.
Định lí được chứng minh xong. Trong một góc đa diện lồi, tổng các góc phẳng luôn bé hơn 2π. Giả sử a1 , a2 , ···, an là các cạnh của một góc đa diện lồi đỉnh S. Đặt trên các cạnh a1 , a2 các điểm A1 , A2.
Lấy điểm A3 trên cạnh a3 đủ gần với điểm S sao cho mặt phẳng (α) qua 3 điểm A1 , A2 , A3 cắt tất cả các cạnh a1 , a2 , · · ·, an. Gọi A1 , A2 , · · ·, An là giao của mặt phẳng (α) với các cạnh của góc đa diện S. Do góc đa diện S lồi suy ra đa giác P với các đỉnh A1 , A2 , · · ·, An lồi. Xét góc đa diện S và các góc tam diện với các đỉnh A1 , A2 , · · ·, An.
Tổng tất cả các góc phẳng tạo thành từ các góc của đa giác P là nπ − 2π. Hơn nữa, tổng các góc của các tam giác A1 A2 S , A2 A3 S ,. Từ đó, ta suy ra tổng tất 12 cả các góc phẳng của đa diện SA1 A2. Mặt khác, trong mỗi góc tam diện đỉnh Ak k = 1, n , góc phẳng thuộc đa giác P bé hơn tổng hai góc khác.