1171 Định lý cổ điển trong hình học tổ hợp và ứng dụng giải toán hình học

Luận văn tốt nghiệp toán học nghiên cứu 1171 một số định lý cổ điển trong hình học tổ hợp và áp dụng trong giải toán hình học luận văn tốt, điều tra thực trạng, phân tích số liệu,

• Tác giả: Phạm Thị Phương Dung
• Người hướng dẫn: PGS. Lê Công Trình
• Trường học: Trường Đại Học Quy Nhơn
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Định Lý Cổ Điển Trong Hình Học Tổ Hợp Và Ứng Dụng Giải Toán
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Bình Định

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÝ SYLVESTER-GALLAI VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
• 1.1. Định lý Sylvester-Gallai và một số phép chứng minh
• 1.2. Một mở rộng của Định lý Sylvester-Gallai
• 1.3. Phép chứng minh của Kelly
• 1.4. Phép chứng minh của Steinberg
• 1.5. Chứng minh của Kelly cho câu hỏi của Sylvester
• 1.6. Một mở rộng của Định lý Sylvester-Gallai
• 1.7. Tính đối ngẫu
• 1.8. Công thức Euler-Poincaré
• 1.9. Chứng minh Định lý Melchior
• 1.10. Định lý Sylvester-Gallai cho họ đường thẳng
• 1.11. Định lý Sylvester-Gallai cho đường tròn
• 2. CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ HELLY VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP
• 2.1. Dạng một chiều của Định lý Helly
• 2.2. Bao lồi và Định lý Caratheodory
• 2.3. Định lý Radon
• 2.4. Dạng tổng quát của Định lý Helly
• 2.5. Một số áp dụng của Định lý Helly
• 2.6. Định lý Klee
• 2.7. Định lý Rey-Pastó-Santaló
• 2.8. Định lý Jung
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Định lý cổ điển trong hình học tổ hợp và ứng dụng giải toán

Định lý cổ điển trong hình học tổ hợp là một trong những chủ đề quan trọng trong toán học. Nó liên quan đến việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của các định lý trong hình học tổ hợp. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số định lý cổ điển trong hình học tổ hợp và ứng dụng của chúng trong giải toán.

1.1. Định lý Sylvester Gallai

Định lý Sylvester-Gallai là một trong những định lý cổ điển trong hình học tổ hợp. Nó được phát biểu như sau: "Cho một tập hợp các điểm không thẳng hàng trong một mặt phẳng, thì luôn tồn tại một đường thẳng thường đi qua hai điểm của tập hợp đó."

1.2. Định lý Helly

Định lý Helly là một định lý khác trong hình học tổ hợp. Nó được phát biểu như sau: "Cho một tập hợp các khoảng trong một không gian, nếu hai khoảng bất kỳ giao nhau thì ba khoảng trong tập hợp đó cũng giao nhau."

II. Ứng dụng của định lý cổ điển trong hình học tổ hợp

Các định lý cổ điển trong hình học tổ hợp có nhiều ứng dụng trong giải toán. Chúng ta có thể sử dụng chúng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học và tổ hợp.

2.1. Giải toán hình học

Các định lý cổ điển trong hình học tổ hợp có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán hình học. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng định lý Sylvester-Gallai để tìm đường thẳng thường đi qua hai điểm trong một mặt phẳng.

2.2. Giải toán tổ hợp

Các định lý cổ điển trong hình học tổ hợp cũng có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán tổ hợp. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng định lý Helly để tìm giao điểm của ba khoảng trong một không gian.

III. Kết luận

Các định lý cổ điển trong hình học tổ hợp là một phần quan trọng của toán học. Chúng ta đã khám phá một số định lý cổ điển trong hình học tổ hợp và ứng dụng của chúng trong giải toán. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Hình học tổ hợp là lĩnh vực nghiên cứu sự kết hợp giữa các nguyên lý hình học và tính chất rời rạc của các đối tượng hình học. Theo ước tính, lĩnh vực này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng như Euler, Kepler và Paul Erdős, với nhiều định lý cổ điển có giá trị ứng dụng sâu rộng trong giải toán hình học. Luận văn tập trung nghiên cứu hai định lý quan trọng trong hình học tổ hợp là Định lý Sylvester-Gallai và Định lý Helly, cùng các phép chứng minh và ứng dụng của chúng trong giải toán hình học.

Mục tiêu nghiên cứu là trình bày các phép chứng minh khác nhau của Định lý Sylvester-Gallai, mở rộng định lý này cho các trường hợp đặc biệt như họ đường thẳng, đường tròn, đồng thời khảo sát dạng một chiều và dạng tổng quát của Định lý Helly, cũng như các ứng dụng của định lý này trong hình học tổ hợp. Nghiên cứu được thực hiện trong phạm vi các đối tượng hình học hữu hạn trên mặt phẳng, với các ví dụ minh họa và chứng minh chi tiết.

Ý nghĩa của luận văn thể hiện qua việc cung cấp một cái nhìn tổng quan, hệ thống về các định lý cổ điển trong hình học tổ hợp, góp phần làm rõ các phương pháp chứng minh và ứng dụng của chúng, từ đó hỗ trợ phát triển các bài toán hình học phức tạp hơn trong tương lai.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai định lý nền tảng trong hình học tổ hợp:

• Định lý Sylvester-Gallai: Phát biểu rằng trong một tập hợp hữu hạn các điểm không thẳng hàng trên mặt phẳng, luôn tồn tại ít nhất một đường thẳng thường, tức là đường thẳng chỉ chứa đúng hai điểm của tập hợp. Định lý này được chứng minh qua nhiều phép biến đổi xạ ảnh và các phương pháp phản chứng, với các phép chứng minh tiêu biểu của Gallai, Kelly và Steinberg.

• Định lý Helly: Định lý này phát biểu rằng với một họ các tập hợp lồi trong không gian Euclid, nếu mọi tập con gồm n+1 tập hợp có giao không rỗng thì toàn bộ họ tập hợp đó cũng có giao không rỗng. Luận văn trình bày dạng một chiều, dạng tổng quát và các định lý chuẩn bị như Định lý Carathéodory và Định lý Radon, làm nền tảng cho chứng minh Định lý Helly.

Các khái niệm chính bao gồm: tập hợp lồi, phép biến đổi xạ ảnh, đường thẳng thường, tập hợp phụ thuộc affine, bao lồi, giao của các tập hợp, và các định nghĩa liên quan đến đường thẳng, điểm và đa giác lồi.

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp tổng hợp tài liệu, phân tích lý thuyết và chứng minh toán học. Nguồn dữ liệu chính là các tài liệu toán học chuyên ngành, các bài báo và giáo trình về hình học tổ hợp và giải tích lồi.

Phương pháp phân tích chủ yếu là chứng minh trực tiếp, phản chứng, và sử dụng các phép biến đổi xạ ảnh để chuyển đổi các bài toán hình học phức tạp thành các bài toán tương đương dễ xử lý hơn. Ngoài ra, luận văn áp dụng các công thức Euler-Poincaré và tính đối ngẫu để phát triển các chứng minh.

Quá trình nghiên cứu kéo dài trong khoảng thời gian học tập tại Đại học Quy Nhơn, với sự hướng dẫn khoa học của PGS. Lê Công Trình. Cỡ mẫu nghiên cứu là các tập hợp điểm và đường thẳng hữu hạn trên mặt phẳng, được lựa chọn nhằm minh họa và chứng minh các định lý.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phép chứng minh Định lý Sylvester-Gallai: Luận văn trình bày chi tiết các phép chứng minh của Gallai (1944), Kelly (1948) và Steinberg (1944), minh họa bằng các phép biến đổi xạ ảnh giữ tính thẳng hàng của điểm và đường thẳng. Ví dụ, phép biến đổi xạ ảnh Θ với ma trận và vectơ cụ thể được sử dụng để biến đổi tập hợp điểm, bảo toàn tính thẳng hàng và xác định đường thẳng thường.

2. Mở rộng Định lý Sylvester-Gallai: Định lý được mở rộng cho họ đường thẳng không song song và cho các điểm trên đường tròn, sử dụng phép nghịch đảo qua đường tròn để chuyển đổi bài toán về đường tròn thành bài toán về đường thẳng. Kết quả cho thấy nếu đường tròn qua ba điểm trong tập hợp luôn chứa một điểm thứ tư, thì tất cả điểm đều nằm trên cùng một đường tròn.

3. Định lý Helly và các dạng mở rộng: Luận văn trình bày dạng một chiều của Định lý Helly với các khoảng trên trục số, chứng minh rằng nếu mọi hai khoảng giao nhau thì toàn bộ các khoảng có giao chung. Dạng tổng quát cho các tập hợp lồi trong không gian R^n được chứng minh dựa trên Định lý Radon và Carathéodory, với điều kiện giao của n+1 tập hợp bất kỳ là không rỗng.

4. Ứng dụng của Định lý Helly: Các định lý Klee, Rey-Pastó-Santaló và Jung được trình bày như các ứng dụng quan trọng. Ví dụ, Định lý Jung cho biết bán kính ngoại tiếp nhỏ nhất của một tập hợp có đường kính 1 trong R^n là $r_n = \sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}$, với trường hợp n=2 là tam giác đều có bán kính ngoại tiếp lớn nhất.

Thảo luận kết quả

Các phép chứng minh Định lý Sylvester-Gallai sử dụng phương pháp biến đổi xạ ảnh rất hiệu quả trong việc bảo toàn tính thẳng hàng và xác định đường thẳng thường, phù hợp với các tập hợp điểm hữu hạn trên mặt phẳng. Việc mở rộng định lý cho họ đường thẳng và đường tròn cho thấy tính linh hoạt và ứng dụng rộng rãi của định lý trong hình học tổ hợp.

Định lý Helly, với dạng tổng quát và các ứng dụng, cung cấp công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán về giao của các tập hợp lồi, đặc biệt trong không gian nhiều chiều. Các ví dụ minh họa như giao của các hình bình hành, cung trên đường tròn và đa giác lồi cho thấy tính thực tiễn của định lý trong việc xác định điểm chung của các đối tượng hình học.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã hệ thống hóa các phép chứng minh và ứng dụng một cách rõ ràng, đồng thời bổ sung các ví dụ minh họa cụ thể, giúp người đọc dễ dàng tiếp cận và áp dụng trong các bài toán hình học tổ hợp phức tạp hơn.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ minh họa phép biến đổi xạ ảnh, bảng tổng hợp các loại đường thẳng thường và không thường, cũng như sơ đồ giao của các tập hợp lồi trong không gian hai chiều.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các thuật toán giải toán hình học tổ hợp: Áp dụng các định lý Sylvester-Gallai và Helly để xây dựng thuật toán xác định đường thẳng thường và điểm giao chung trong các tập hợp điểm và hình học phức tạp, nhằm nâng cao hiệu quả tính toán trong lĩnh vực đồ họa máy tính và xử lý hình ảnh.

2. Mở rộng nghiên cứu sang không gian nhiều chiều: Khuyến nghị nghiên cứu sâu hơn về các dạng tổng quát của Định lý Helly trong không gian R^n với n > 2, nhằm ứng dụng trong các bài toán tối ưu hóa và phân tích dữ liệu đa chiều.

3. Ứng dụng trong thiết kế và phân hoạch không gian: Sử dụng các kết quả về giao của các hình lồi và đa giác lồi để phát triển các giải pháp phân hoạch không gian hiệu quả trong kiến trúc, quy hoạch đô thị và robot tự hành.

4. Tăng cường đào tạo và phổ biến kiến thức: Đề xuất tổ chức các khóa học, hội thảo chuyên sâu về hình học tổ hợp và các định lý cổ điển, nhằm nâng cao nhận thức và kỹ năng nghiên cứu cho sinh viên và nhà khoa học trẻ trong lĩnh vực toán học ứng dụng.

Mỗi giải pháp nên được triển khai trong vòng 1-3 năm, với sự phối hợp giữa các viện nghiên cứu, trường đại học và doanh nghiệp công nghệ, nhằm đảm bảo tính khả thi và ứng dụng thực tiễn.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp chứng minh quan trọng, giúp nâng cao kiến thức chuyên sâu về hình học tổ hợp và giải tích lồi.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu toán học ứng dụng: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá để phát triển các bài giảng, nghiên cứu mới và ứng dụng trong các lĩnh vực liên quan như tối ưu hóa, khoa học máy tính và kỹ thuật.

3. Chuyên gia phát triển thuật toán đồ họa và xử lý hình ảnh: Các định lý và phương pháp chứng minh được trình bày có thể hỗ trợ trong việc thiết kế thuật toán xử lý hình học phức tạp, cải thiện hiệu suất và độ chính xác.

4. Nhà quy hoạch đô thị và kiến trúc sư: Các kết quả về phân hoạch không gian và giao của các hình lồi có thể ứng dụng trong thiết kế không gian, tối ưu hóa sử dụng đất và phát triển các mô hình kiến trúc hiệu quả.

Câu hỏi thường gặp

1. Định lý Sylvester-Gallai có ý nghĩa gì trong hình học tổ hợp?
   Định lý khẳng định rằng trong một tập hợp hữu hạn các điểm không thẳng hàng, luôn tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa đúng hai điểm. Điều này giúp xác định cấu trúc cơ bản của các tập điểm và là nền tảng cho nhiều bài toán hình học tổ hợp.

2. Phép biến đổi xạ ảnh được sử dụng như thế nào trong chứng minh định lý?
   Phép biến đổi xạ ảnh giữ tính thẳng hàng của điểm và đường thẳng, cho phép chuyển đổi các tập hợp điểm phức tạp thành các trường hợp dễ xử lý hơn, từ đó chứng minh các tính chất của đường thẳng thường.

3. Định lý Helly áp dụng được cho những loại tập hợp nào?
   Định lý áp dụng cho các tập hợp lồi trong không gian Euclid, đặc biệt hữu ích trong việc xác định giao của các tập hợp lồi hữu hạn hoặc vô hạn với điều kiện tính compact của giao các tập con.

4. Làm thế nào để mở rộng Định lý Sylvester-Gallai cho các đường tròn?
   Sử dụng phép nghịch đảo qua đường tròn để biến đổi bài toán về các điểm trên đường tròn thành bài toán về các điểm thẳng hàng, từ đó áp dụng Định lý Sylvester-Gallai đã biết.

5. Các định lý như Klee, Jung có liên quan gì đến Định lý Helly?
   Chúng là các ứng dụng cụ thể của Định lý Helly trong việc xác định các phép tịnh tiến bao phủ tập hợp hoặc bán kính ngoại tiếp nhỏ nhất của tập hợp điểm, giúp giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn.

Kết luận

• Luận văn đã trình bày chi tiết các phép chứng minh và mở rộng của Định lý Sylvester-Gallai, bao gồm các phép biến đổi xạ ảnh và ứng dụng cho họ đường thẳng, đường tròn.
• Đã hệ thống hóa dạng một chiều, dạng tổng quát của Định lý Helly cùng các định lý chuẩn bị như Carathéodory và Radon, đồng thời trình bày các ứng dụng quan trọng trong hình học tổ hợp.
• Các kết quả nghiên cứu góp phần làm rõ phương pháp chứng minh và ứng dụng của các định lý cổ điển, hỗ trợ phát triển các bài toán hình học phức tạp hơn trong tương lai.
• Đề xuất các giải pháp phát triển thuật toán, mở rộng nghiên cứu không gian nhiều chiều và ứng dụng trong thiết kế không gian, đồng thời tăng cường đào tạo chuyên sâu.
• Khuyến khích các nhà nghiên cứu, giảng viên, sinh viên và chuyên gia ứng dụng tham khảo để nâng cao kiến thức và phát triển các ứng dụng thực tiễn.

Tiếp theo, nghiên cứu có thể tập trung vào việc áp dụng các định lý này trong các lĩnh vực khoa học máy tính, tối ưu hóa đa chiều và mô hình hóa không gian phức tạp. Độc giả được mời liên hệ và trao đổi để cùng phát triển các hướng nghiên cứu mới.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Định lj Sylvester-Gallai và áp dnng giải toán hình hoc Trong chương này chúng tôi phát bieu và trình bày m®t so phép cháng minh của Định lý Sylvester-Gallai, cùng với m®t so áp dụng của Định lý này đe giải m®t so bài toán hình hoc liên quan. Các khái ni»m và ket quả trong chương này được tőng hợp và trình bày lại tà các tài li»u [4], [5].1 Định lj Sylvester-Gallai và mët so phép chfíng minh 1.1 Định lj Sylvester-Gallai Năm 1893, Sylvester đã đ°t ra câu hỏi sau đây: "Cho m®t tªp hǎu hạn điem trong m°t phȁng sao cho đường thȁng qua hai điem của tªp hợp luôn cháa m®t điem thá ba của tªp hợp đó. Khi đó li»u các điem của tªp hợp đó có thȁng hàng không?" Định nghĩa 1., pn}, n ≥ 3 là tªp hợp các điem không thȁng hàng trong m°t phȁng. M®t đường thȁng goi là đường thȁng noi neu nó 4 cháa ít nhat hai điem của tªp hợp và được goi là đường thȁng thường (ordinary) neu nó chỉ cháa đúng hai điem trong tªp hợp.

Mői t¾p hợp P gom n ≥ 3 điem không thȁng hàng trong m¾t phȁng luôn xác đành ít nhat m®t đường thȁng thường.2 Phép chfíng minh của Gallai Đây là m®t trong nhǎng cháng minh đau tiên và được đ°t tên cho định lý. Cháng minh này được Gallai đưa ra năm 1944. Đau tiên chúng ta giới thi»u khái ni»m ve phép bien đői xạ ảnh, là cơ sở của cháng minh. Ký hi»u Ei là không gian Euclide thực i chieu.

M®t phép bien đői xạ ảnh là m®t ánh xạ Θ : Ei → Ej có dạng Ax + b Θ(x) = ,T trong đó x là m®t vectơ c®t trong Ei, A: Ei Ej là m®t → c x+d ma trªn thực cơ jxi, b là m®t vectơ c®t gom j phan tả, c là vectơ c®t gom i phan tả và d là m®t so thực. Cho P ⊆ E2 là m®t t¾p hợp như trong Hình 1. Tªp hợp P Trong Hình 1.1, tªp hợp P gom các điem p1,. Các đường thȁng màu đỏ là 5 các đường thȁng noi trong P đi qua điem p5.

Các đường thȁng màu xanh là các đường thȁng noi không đi qua điem p5. Áp dụng phép bien dői xạ ảnh sau đây trên moi điem pi của tªp hợp P 1 x 1 x + 2y + 20 Θ y =x− 3x + 4y −. Trong phép bien đői xạ ảnh này, 13 24 20 1 A= ,b= − ,c= − và d = 0. Neu ta bien đői P bởi Θ1 thì cả đường thȁng x = y, bao gom p5, được chieu đen vô cực.

Khi đó ảnh Θ1(P ) giong như trong Hình 1. Chúng ta thay ngay rang ảnh của các đường thȁng cháa p5 đeu song song với đường thȁng x = y và các điem thȁng hàng trong P đeu nam trong m®t đường thȁng noi chung. Sự thȁng hàng đó cũng được bảo toàn trong trường hợp P là m®t tªp hǎu hạn bat kỳ, đieu này sě được cháng minh trong H» quả 1. Ảnh của tªp hợp P 6 Định nghĩa 1.

M®t tªp hợp P ⊂ ^ E được goi là phự thu®c affine neu ton 2 tại m®t ho hǎu hạn điem p1,. , λr ∈ R không đong thời bang 0 sao cho λ1p1 +. M®t t¾p hợp P^= {p1, p2, p3} phự thu®c affine khi và chí khi chúng thȁng hàng. Chúng minh.

P^ = {p1 , p2 , p3 } thȁng hàng khi và chỉ khi ta có the chon λ1 , λ2 ∈ R{0} sao cho λ1(p1 − p3) + λ2(p2 − p3) = 0. Do đó P^ phụ thu®c affine khi và chỉ khi ba điem p1 , p2 , p3 thȁng hàng. Neu P^ là m®t t¾p hợp các điem phự thu®c affine trong E 2 và cT p + d /= 0 với moi p ∈ P^ thì Θ (P ) cũng phự thu®c affine. Chúng minh.7 suy ra rang ba điem thȁng hàng trong tªp hợp P van còn thȁng hàng qua phép bien đői xạ ảnh.

Nói cách khác, moi phép bien đői xạ ảnh bien m®t đường thȁng noi thành m®t đường thȁng noi. Cháng minh Định lý 1. Chon m®t điem p1 bat kỳ trong tªp P. Neu p1 thu®c m®t đường thȁng thường thì ta có đieu phải cháng minh.

Ngược lại, giả sả p1 không thu®c bat kỳ đường thȁng thường nào, tác là các đường thȁng noi p1 và m®t điem khác thu®c P luôn là đường thȁng noi cháa p1 và hai điem khác của P. Chon m®t đường thȁng đi qua p1 nhưng không qua bat kỳ điem nào khác trong P , và chieu xạ ảnh đường thȁng này ra vô cực bang 7 phép chieu xạ ảnh Θ. Khi đó các đường thȁng qua p1 sě song song với nhau, do đó có cùng h» so góc, còn nhǎng b® ba điem thȁng hàng trong P sě còn thȁng hàng qua phép chieu xạ ảnh này. Goi l là đường thȁng noi không cháa p1 và có h» so góc bang a nhỏ hơn h» so góc của bat kỳ đường thȁng nào trong P qua p1.

Khi đó, l là đường thȁng thường. Thªt vªy, qua phép chieu xạ ảnh Θ, các đường thȁng qua p1 sě bien thành các đường thȁng song song với nhau có cùng h» so góc lớn hơn a, còn l không song song với các đường thȁng này. Neu l không phải là đường thȁng thường, l sě cháa ba điem pi , pj , pk trong P (khác p1 ). Moi điem trong ba điem này khi noi với p1 sě cháa thêm m®t điem khác, và tạo thành các c°p đường thȁng song song qua phép chieu xạ ảnh.

Do đó qua phép chieu xạ ảnh ta sě đưa ve tình huong như trong Hình 1. Trong hình này, hai đường thȁng l1∗ và l2∗ qua pi và pk song song với nhau, và có h» so góc nhỏ hơn a. Các đường thȁng này là các đường thȁng qua p1 trong P , có h» so góc nhỏ hơn a, mâu thuan với cách chon của l. Mâu thuan này cháng tỏ l là m®t đường thȁng thường.

Ta có cháng minh cho Định lý 1. Đường thȁng l với h» so góc nhỏ nhat a 8 1.3 Phép chfíng minh của Kelly Trong mục này chúng tôi trình bày phép cháng minh của Kelly cho Định lý Sylvester-Gallai. Cháng minh này được Kelly đưa ra năm 1948 và được minh hoa như sau. Xét m®t tªp hợp P hǎu hạn các điem không thȁng hàng.

Goi S(P ) là tªp hợp các đường thȁng noi trong P. Với moi p ∈ P và s ∈ S(P ) không cháa p ta có the xác định m®t khoảng cách vuông góc tà điem p đen đường thȁng s. Ký hi»u (s∗, p∗) là m®t c°p với khoảng cách nhỏ nhat, khi đó s∗ phải là đường thȁng thường. Thªt vªy, neu s∗ không phải là đường thȁng thường, ta có the xây dựng được m®t c°p điem-đường thȁng có khoảng cách nhỏ hơn, như ở Hình 1.

s∗ không phải là đường thȁng thường Trong Hình 1.4, neu s∗ không phải là đường thȁng thường thì ton tại m®t c°p (sJ, pJ) với khoảng cách nhỏ hơn.4 Phép chfíng minh của Steinberg Trong mục này chúng tôi trình bày phép cháng minh xạ ảnh của Steinberg, được đưa ra năm 1944. Phép cháng minh này là nen tảng cho các phát trien sau đó. Cho P và S(P ) như trên. Chon m®t điem p ∈ P , neu nó nam trên m®t đường thȁng thường thì ta cháng minh xong.

Ngược lại, chon m®t đường thȁng l sao 9 cho l ∩ P = {p}. Ký hi»u các giao điem hǎu hạn l ∩ S(P ) m®t cách tuan hoàn là x1,. , xk sao cho không có xj nào khác nam trên đoạn thȁng [p, x1]. Khi đó đường thȁng s ∈ S(P ) cat đường thȁng l tại điem x1 phải là đường thȁng thường.

Ngược lại ta có the tìm được m®t điem khác trong [p, x1] (xem Hình 1. s không phải là đường thȁng thường Trong Hình 1.5, giả sả s không phải là đường thȁng thường. Ký hi»u các điem trên s là p1, p2, p3. Neu đường thȁng (màu xám) đi qua p và p1 không phải đường thȁng thường trên đường thȁng màu xám này sě ton tại m®t điem thá ba.

Có ba trường hợp của điem thá ba này, nam ngoài hai bên của [p, p1] ho°c nam giǎa [p, p1]. Trong cả ba trường hợp này, bang cách noi với p2 ho°c p3 ta luôn xác định được m®t giao điem của l với S(P ) nam giǎa p và x1, mâu thuan. Đieu này cháng tỏ s là đường thȁng thường.5 Chfíng minh của Kelly cho câu hỏi của Sylvester Trong phan tiep theo chúng tôi phát bieu và trình bày cháng minh cho câu hỏi ban đau của Sylvester. Cho S là m®t t¾p hợp gom hũu hạn điem sao cho đường thȁng qua mői c¾p điem của S luôn đi qua m®t điem thú ba của S.

Khi đó, tat cả các điem của S nam trên cùng m®t đường thȁng. 1 Chúng minh. Dùng phương pháp phản cháng. Giả sả rang các điem của S không c®ng tuyen.

Khi đó, ton tại m®t b® điem - đường thȁng (P ∈ S) sao cho d(P, l) > 0 và nhỏ nhat trong so các c°p điem - đường thȁng.6 Goi P J là hình chieu của P trên l. Cháng minh rang l qua đúng hai điem của S. Giả sả phản cháng l qua ba điem phân bi»t A, B, C của S. Có ba trường hợp xảy ra 1.

P J ∈ S, P J có the trùng với m®t trong các điem A, B, C. Có hai trường hợp vị trí của P J và A, B, C. Goi lJ là đường thȁng qua P. P J ∈ S , không trùng với các điem A, B, C.

1 Goi lJ là đường thȁng qua P và m®t điem bat kì trong A, B, C. P J ∈/ S , không trùng với các điem A, B, C. Khi đó, luôn ton tại ít nhat hai điem nam trên cùng m®t phía đoi với P J (B và C nam cùng m®t phía, P JB < P JC). Goi l là đường thȁng qua P và C.2 Mët mð rëng của Định lj Sylvester-Gallai Neu ta ký hi»u so đường thȁng thường xác định bởi P là m(P ) và định nghĩa m(n) = min m(P ) thì Định lý Sylvester-Gallai được phát bieu là |P |=n m(n) ≥ 1, với n ≥ 3.

1 Năm 1940, Melchior cháng minh được m®t ket quả mạnh hơn ket quả của Định lý Sylvester-Gallai. Trong phan tiep theo chúng tôi trình bày phép cháng minh cho Định lý Melchior.1 Tính đoi ngȁu Chúng ta có the phiên dịch các định nghĩa và ký hi»u ở phan trước bang cách sả dụng tính đoi ngau tà Hình 1.