Chương 1 Một số kién thức chuẩn bị 1.1 Giới hạn ngoài của tập hợp Trong phần này, người làm trình bày những phần kiến thức cơ bản về giới hạn ngoài của tập hợp. Giới hạn ngoài của dãy tập hợp được sử dụng trong các khái niệm về nón pháp tuyên được định nghĩa cho tập tùy ý như một công cụ tính toán. Ta bắt đầu bằng các định nghĩa về giới hạn trong và giới hạn ngoài của dãy các tập hợp Định nghĩa 1.1 (Giới hạn ngoài của tập hợp) Cho một day các tập hợp (Ce là các tập con của R". Giới hạn ngoài (outer limit) của đấy này, ký hiệu limsup C* ` k—=©o là tập C* := {x| JN € .#⁄Š, 3x" € CÍ(k €N): x* > x}, limsup k=»os trong đó NZ ={N CN:N vô han}.2 Trong trường hợp C* # 0 với mọi k € N, các giới hạn trong và giới ae # a ca? = han ngoài có thé biéu điện như sau lim sup C* = {x| 3x* €C*(k EN): đấy này có đấy con hội tụ về x}.
k-»oo Ta xét ví dụ tính toán giới hạn ngoài của day các tập hợp như sau.3 Xét day tập hợp {C*}¿¿x cho bởi trong BR cho bởi công thức sau ke [0, k] ,klẻ ~ |Í[-œ&-—1),0] ,k chan’ Khi đó lim sup CẺ = R. GIỚI HAN NGOÀI CUA TAP HỢP Minh hoa hình hoc cho ví du này có thể tham khảo [4| Figure 4-1(b), Trang 110).C* fee ‹ Ä9Z/07/00)9////2/0000900000000900/7009/0//2077/05, c Khác với giới han về điểm, khi xét dãy các tập hợp C* = C cho trước, lim sup C* k=soo có thể khác tập Œ. Ta xem ví dụ sau.4 Xét đấy tập hợp {C*}, € {N} trong R cho bởi Ck = C = (0, 00),kK EN. Ta thấy rằng lim sup CÈ = {x| 3x* C*(k EN): đấy này có day con hội tụ về x} k- 00 = {x| 3(xŸ) CC: x* 4 x} =cl(C)=[0, co).
Dễ thấy rằng lim supC* éC. k=ce Trong cả hai ví dụ trên, ta thay rằng lim sup C* đều là tập đóng. Trong 4 Exercise k—co 4.2(b)-Trang 110] có để cập một tính chất chỉ ra rằng các tập giới hạn trong và ngoài là các tập đóng.5 Cho một day các tập hợp (CỄ);e;; là các tập con của R". Khi đó lim sup c* = a cl) ct.
k=00 NES, kEN Hon nữa, ta suy ra được tập gidi hạn ngoài la tập đóng. Từ Mệnh đẻ ta có thêm một kết quả quan trọng được trình bày ở (4) Propo- sition 4. NON PHÁP TUYẾN Mệnh dé 1.6 Với mọi day tập hợp (C*),<. là các tập con của IR", tập giới han ngoài lim sup CỄ là các tập đóng và chỉ phụ thuộc vào bao đóng của các tập C*, theo k=»eo nghĩa như sau cl(C*) = cl(D*), ¥KEN => lim sup C* = liminf D*.
k—»eo keo Kết quả này hiện tại với người làm phục vụ cho việc tính toán là chủ yếu, khi mà việc tính giới hạn của một dãy các tập hợp có thể thông qua một dãy các tập hợp khác có bao đóng trùng nhau. Chẳng hạn, nêu xét dãy tập hợp {CÝ}, € {N} trong I cho bởi qn(,e),k lẻ; 1 > C.k chan 1 s thì ta có thé tìm giới hạn day tập hop nói trên thông qua day {C*}, {N} trong IR cho bởi ct=| 7,00), ken.2 Nón pháp tuyên Trong phan này, người làm trình bày các định nghĩa về pháp tuyến Fréchet, nón tiền pháp tuyến, nón pháp tuyến limiting, cũng như một số tính chất liên quan các đối tượng này. Dé bắt đầu, trong phan này người làm sử dụng ký hiệu x 4 XxX, xEN Lưu ý với ký hiệu nay, x không nhất thiết phải khác X. Do đó khi sử dung ký hiệu này với X là điểm cô lập của một tập thì có thể xảy ra một sô vẫn dé, mà người làm sẽ dé cập trong phan tiếp theo.
Đầu tiên, ta làm quen với khái niệm pháp tuyến Định nghĩa 1.1 (Các khái niệm về pháp tuyên) Giả sử C là tập khác rỗng trong IR". » Cho x €C, ta gọi tap Ñ(x,C):= {x eR" timsip 42 so} (1.1) ux là nón tiền pháp tuyến (nón Fréchet) của C tai x. Các phan tử của (1.1) được gọi là pháp tuyến Fréchet. Với mọi x €, ta qui ước N(x, €) := Ú.
NON PHÁP TUYẾN « Cho X € C. Khi đó x* được gọi là pháp tuyến cơ ban/limiting với C tại X nếu — rr ; = Par ton tại dãy x* —> X và x** — x* sao cho x** € N(x*,C) với moi k € N. Tập + + Ấ se a các pháp tuyên nói trên N(,€) := limsupN(x,C) (1.2) x^x được gọi là nón pháp tuyến (cơ bản, limiting) với C tại %. Với mọi X # €, ta qui ước N(X,C) := 6.2 Dựa vào định nghĩa này, khi xét x € € là các điểm cô lập của C, ta không tim được một day u Sx, u # x để có được giới han limsup (hàm c in ux lẫy giới hạn không xúc định).
Do đó nón tiền pháp tuyển trong trường hợp này có thể can một qui ước. Tương tự, khi xét nón pháp tuyến, việc định nghĩa dựa trên các nón tiên pháp tuyến N(x*,C) khi mà chỉ có thể lây giới hạn x* = x,k = 1,2,. cũng bị ảnh hưởng. Vậy rõ ràng cần có một cách tính, hay qui ước khác ở đây.
Nếu ta coi như giới hạn lim `: phụ thuộc vào việc tim được u > x,. ¬ : x°,u—x Bis suÄ2 tân 2ã c uS„ HH—* v (x',u*—x) + kK _— u # x, tức là voi moi day u* —> x, u* # x, limsup = M = const và - llu*—x|| M <0, thì có thể nói rằng do không chọn được u* Sx, ut # x dé ton tai gidi han, lấy x* ER" tùy ý thì x* không vi phạm điều kiện của nón tiền pháp tuyến. Nói tóm lai, ta có thể xem như N(x,C) = R* với mọi điểm cô lập x của C. Điều này cũng dẫn đến N(x,C) = R" với mọi điểm cô lập x của C.3 Từ định nghĩa, có thểthay Ñ(x,C€) va N(x, C) thực sự là nón.
Ta chỉ xét trường hợp x không là điểm cô lập của C. Trước hết, ta kiểm tra N(x,C). Suy ra ux ~ lìnsup Ax*.u- tae = Alieup SUS? <0. Àx*,u— „ c ux llu — x|| Ux c llu — x|| Tiếp theo, ta kiểm tra N(x, C).
Do x** — x* sao cho xe N(x, C), Yk EN nên ta co aaa u —x*) lim sup ——————<0. urx* : ll ư — x#|| Trang 9 1. NON PHÁP TUYẾN Do A> 0 nên ta suy ra được (Ax,u—x*) lim sup <0,VkeN. = uxt oxy xài Từ đây, ta thay rằng tôn tại day x‘ ` x và Ax** — Ax* sao cho Ax** € N(x*,C).
Ta đến với một ví du tính toán nón tiền pháp tuyến và nón pháp tuyến, chi sử dụng định nghĩa như sau.4 Cho C = {x € R": ||x|| = M} với M = 0 tùy ý. Khi đó với mọi x € C thì (a) Voi M =0. Ñ(x,C)=N(x,C)=R" với mọi n EN. Khi M = 0, với mọi n € N thì C = {x € R*: ||x|| = 0} = {Og0}.
Lay x EC tùy ý, khi đó x = Ope. Dễ thấy x là điểm cô lập của C, và do đó ta suy ra được Ñ(x,C)=N(x,C)=IR". Khi M > 0 và n= 1, € ={x ER: ||x|] = M} = {—M,M}. Lấyx EC tùy ý, khi đó tôn tại lân cận U = Buw(x) sao cho UNC = {x}.
Do đó x là điểm cô lập của C. và do đó ta suy ra được N(x,C) = N(x,€) = RE". Voi moi x € C, ta xét tập hợp sau xt={veR":vLx}={veER®: (v,x}=0)} Trang 10 1. NON PHÁP TUYẾN Lưu ý rằng xỉ \ {05 } £0.
Chang han, néu xét x = MeÌ,¡ = 1,2,.n với e' là vecto đơn vị thứ i của R", do n > 2 nên ta luôn có e*. Còn với x # +Me', Vi = 1,2, .n, ta luôn tìm được kị,kạ €N,kị # kạ sao cho x¿, # 0. Ta xét vecto như sau 0 ,i#k\,kạ 1 Xp. Xk, Dé thay lúc này v # Ope, v L x.
Bây gid, gid sử x° € N(x, C), khi đó với mọi dãy u ` x,uz#x thì {x*,u—x) limsup <0. us x — xl| Iu Lay v€ x1, v £ Op, tùy ý, xét đấy (x*), en cho bởi công thức sau x*=— Mii k : Vv 1— a(t), ken. Hon nữa, với mọi k 6N, ta có đánh gid sau 2 Ix*|? = Il(“mw)[+|Ì\-zeÏ+2(2 (0g) 2 p-20e) =gM°tÍ1~j;)MẺ+2 (HM) kom = M?. NON PHÁP TUYẾN Do đó x* € C với mọi k EN.
Suy ra x* Sx. Ta thay rang x, tenkzosupl|xÈ—x|| da ) ” k=»co + yk x( n) 1 K“UHjJT(V1-g~1)6) =ÍM=Ì#[ÍdIi===i | 1 1+ 1-G = limsup \||—————— ~ Gl ú =(Ằm)#»* Tử đấy sợ rẻ (x*,v} < 0 với mọi v € xt, v # Ops. Do v € xÌ, y # Ope nên —y € x+, —w # 0z„, và bằng cách chọn day tương tự như trên, ta có được (x”,—y) < 0 với mọi v € xt, v # Ogs. Suy ra (x*,v) = 0 với mọi v € xỶ, v # Ops.
Điểu này dẫn đến {x*,v) = 0 với mọi v 6 x4. Do đó x* thuộc không gian con của R" sinh bởi tập {x}, hay nói cách khác x” € {ax,a € R}. NON PHÁP TUYẾN Ngược lại, lấy x° = {ax,a € IR} tùy ý. khi đó tồn tai a € R sap cho x* = ax.
Xét bắt kỳ đấy u + x, u # x, ta có đánh giá sau BS tS lim sup 28) __ uy West „s„ ve + Ix l =2 (a, x) _ nự2 uSy W2M?—2{u,x) =—a| limsup =“. Suy ra với moi x € C thì N(x, C) = {ax,a €R}. Bây giờ, với moi x € C, ta di tìm N(x,C)= limsupN(y, €). yox Lấy x" N(x,C) tùyý, khi đó tồn tai day x S x va x** — x* sao cho x N(x*,C) với moi k € N.
Với mọi k € N, ta có x** = œ,xỀ, a E BR. Do x — x, x** — x* và ||xÊ||= M —= M > 0 nên a, > œ thực nào đó, va dẫn đến x** = ax ke = x*. Ngược lại, lấy x* € fax, ae}= ý, khi đó, tần tai a € R sao cho x* = ax. Ta chon được day x* S x như (1.3) và x** = ax* — x* sao cho x* © N(x*'€) với moi k EN.
Do đó x* aN Suy ra với moi x € C thi N(x,C) = {ax,a€ RE}. Vậy với M > 0 và voi moin > 1,n EN, với mọt x € C thì N(x,C)=N(x,C) = {ax,a € R}. Trong trường hop này, có thé thay nón tiền pháp tuyến và nón pháp tuyến của x €C chính là đường thẳng đi qua x và gốc tọa độ.