I. Giới thiệu và cơ sở lý thuyết
Luận án tập trung vào việc thiết lập điều kiện cần và đủ cho nghiệm bài toán cân bằng vectơ thông qua dưới vi phân suy rộng. Bài toán cân bằng vectơ là một mô hình toán học quan trọng trong giải tích phi tuyến, bao gồm các bài toán như bất đẳng thức biến phân vectơ, tối ưu vectơ, và các bài toán cân bằng Nash. Các điều kiện tối ưu được nghiên cứu thông qua các công cụ như dưới vi phân Michel-Penot và dưới vi phân suy rộng, giúp giải quyết các bài toán với hàm không trơn.
1.1. Bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp riêng
Bài toán cân bằng vectơ (VEP) là một mô hình tổng quát bao gồm nhiều bài toán khác nhau như bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI) và tối ưu vectơ (CVOP). Các loại nghiệm được xem xét bao gồm nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, và nghiệm siêu hữu hiệu. Các bài toán này có ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, kỹ thuật và giao thông.
1.2. Dưới vi phân và các loại dưới vi phân
Các loại dưới vi phân như dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel-Penot, và dưới vi phân suy rộng được sử dụng để nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho các bài toán không trơn. Dưới vi phân suy rộng là một công cụ mạnh để thiết lập các điều kiện tối ưu trong các bài toán với hàm không trơn.
II. Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ
Chương này tập trung vào việc thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ thông qua dưới vi phân Michel-Penot. Các điều kiện này được áp dụng cho các bài toán với hàm Lipschitz địa phương trong không gian Banach.
2.1. Điều kiện cần Karush Kuhn Tucker
Các điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker được thiết lập cho nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ. Các điều kiện này được chứng minh thông qua dưới vi phân Michel-Penot và áp dụng cho các bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và tối ưu vectơ.
2.2. Điều kiện đủ tối ưu
Với các giả thiết về tính lồi suy rộng, các điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker trở thành điều kiện đủ tối ưu. Các kết quả này được minh họa qua các ví dụ cụ thể.
III. Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ
Chương này nghiên cứu các điều kiện cần Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn. Các điều kiện này được thiết lập thông qua dưới vi phân suy rộng với các ràng buộc đa diện lồi.
3.1. Điều kiện cần Fritz John
Các điều kiện cần Fritz John được thiết lập cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ. Với điều kiện chính quy kiểu Mangasarian-Fromovitz, các điều kiện Karush-Kuhn-Tucker được chứng minh.
3.2. Điều kiện đủ tối ưu
Với các giả thiết về tính tựa lồi tiệm cận, các điều kiện cần trở thành điều kiện đủ tối ưu. Các ví dụ cụ thể được cung cấp để minh họa các kết quả.
IV. Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu giá trị khoảng
Chương này tập trung vào việc thiết lập các điều kiện cần Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm LU-tối ưu của bài toán tối ưu giá trị khoảng (CIOP) trong không gian Banach. Các điều kiện này được thiết lập thông qua dưới vi phân suy rộng.
4.1. Điều kiện cần Fritz John
Các điều kiện cần Fritz John được thiết lập cho nghiệm LU-tối ưu của bài toán tối ưu giá trị khoảng. Với điều kiện chính quy kiểu Mangasarian-Fromovitz, các điều kiện Karush-Kuhn-Tucker được chứng minh.
4.2. Điều kiện đủ tối ưu
Với các giả thiết về tính giả lồi tiệm cận, các điều kiện đủ tối ưu được chứng minh. Các bài toán đối ngẫu kiểu Mond-Weir và Wolfe cũng được nghiên cứu.
