Điều kiện cần và đủ để giải bài toán cân bằng vectơ sử dụng dưới vi phân suy rộng

Luận án tiến sĩ nghiên cứu điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vectơ thông qua dưới vi phân suy rộng, ứng dụng trong toán học.

• Tác giả: Trần Thị Mai
• Người hướng dẫn: GS. Đỗ Văn Lưu
• Trường học: Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán Giải tích
• Đề tài: Điều kiện cần và đủ cho nghiệm bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ toán học
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHÚ GIẢI TỪ
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
• 1.1. Bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp riêng
• 1.2. Mặt sẻ đại vi phân
• 1.3. Phép vế hướng hóa
• 1.4. Hàm lợi suy rẽng
• 2. CHƯƠNG 2: ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỦ CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA ĐẠI VI PHÂN MICHEL-PENOT
• 2.1. Điều kiện cần đủ cho các nghiệm hữu hiệu Henig đa phương và nghiệm siêu hữu hiệu đa phương
• 2.2. Áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ
• 3. CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỦ CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VECTƠ QUA ĐẠI VI PHÂN SUY RẼNG
• 3.1. Điều kiện cần Fritz John cho các nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ
• 3.2. Điều kiện cần đủ kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài bất đẳng thức biến phân vectơ
• 4. CHƯƠNG 4: ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỦ CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU GIẢ TRỊ KHÔNG QUA ĐẠI VI PHÂN SUY RẼNG
• 4.1. Bài toán tối ưu giá trị không cần ràng buộc
• 4.2. Điều kiện cần đủ cho nghiệm Luật tối ưu đa phương
• KẾT LUẬN CHUNG
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu và cơ sở lý thuyết

Luận án tập trung vào việc thiết lập điều kiện cần và đủ cho nghiệm bài toán cân bằng vectơ thông qua dưới vi phân suy rộng. Bài toán cân bằng vectơ là một mô hình toán học quan trọng trong giải tích phi tuyến, bao gồm các bài toán như bất đẳng thức biến phân vectơ, tối ưu vectơ, và các bài toán cân bằng Nash. Các điều kiện tối ưu được nghiên cứu thông qua các công cụ như dưới vi phân Michel-Penot và dưới vi phân suy rộng, giúp giải quyết các bài toán với hàm không trơn.

1.1. Bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp riêng

Bài toán cân bằng vectơ (VEP) là một mô hình tổng quát bao gồm nhiều bài toán khác nhau như bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI) và tối ưu vectơ (CVOP). Các loại nghiệm được xem xét bao gồm nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, và nghiệm siêu hữu hiệu. Các bài toán này có ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, kỹ thuật và giao thông.

1.2. Dưới vi phân và các loại dưới vi phân

Các loại dưới vi phân như dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel-Penot, và dưới vi phân suy rộng được sử dụng để nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho các bài toán không trơn. Dưới vi phân suy rộng là một công cụ mạnh để thiết lập các điều kiện tối ưu trong các bài toán với hàm không trơn.

II. Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ

Chương này tập trung vào việc thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ thông qua dưới vi phân Michel-Penot. Các điều kiện này được áp dụng cho các bài toán với hàm Lipschitz địa phương trong không gian Banach.

2.1. Điều kiện cần Karush Kuhn Tucker

Các điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker được thiết lập cho nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ. Các điều kiện này được chứng minh thông qua dưới vi phân Michel-Penot và áp dụng cho các bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và tối ưu vectơ.

2.2. Điều kiện đủ tối ưu

Với các giả thiết về tính lồi suy rộng, các điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker trở thành điều kiện đủ tối ưu. Các kết quả này được minh họa qua các ví dụ cụ thể.

III. Điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ

Chương này nghiên cứu các điều kiện cần Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn. Các điều kiện này được thiết lập thông qua dưới vi phân suy rộng với các ràng buộc đa diện lồi.

3.1. Điều kiện cần Fritz John

Các điều kiện cần Fritz John được thiết lập cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ. Với điều kiện chính quy kiểu Mangasarian-Fromovitz, các điều kiện Karush-Kuhn-Tucker được chứng minh.

3.2. Điều kiện đủ tối ưu

Với các giả thiết về tính tựa lồi tiệm cận, các điều kiện cần trở thành điều kiện đủ tối ưu. Các ví dụ cụ thể được cung cấp để minh họa các kết quả.

IV. Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu giá trị khoảng

Chương này tập trung vào việc thiết lập các điều kiện cần Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm LU-tối ưu của bài toán tối ưu giá trị khoảng (CIOP) trong không gian Banach. Các điều kiện này được thiết lập thông qua dưới vi phân suy rộng.

4.1. Điều kiện cần Fritz John

Các điều kiện cần Fritz John được thiết lập cho nghiệm LU-tối ưu của bài toán tối ưu giá trị khoảng. Với điều kiện chính quy kiểu Mangasarian-Fromovitz, các điều kiện Karush-Kuhn-Tucker được chứng minh.

4.2. Điều kiện đủ tối ưu

Với các giả thiết về tính giả lồi tiệm cận, các điều kiện đủ tối ưu được chứng minh. Các bài toán đối ngẫu kiểu Mond-Weir và Wolfe cũng được nghiên cứu.