SOME CONTROL PROBLEMS FOR POSITIVE LINEAR SYSTEMS

Tài liệu nghiên cứu Some control problems for positive linear systems, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về .

• Tác giả: Mai Thi Hong
• Người hướng dẫn: Associate Professor Le Van Hien
• Trường học: Hanoi National University of Education
• Chuyên ngành: Mathematics
• Đề tài: Some Control Problems For Positive Linear Systems
• Loại tài liệu: Dissertation of Doctor of Philosophy
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Ha Noi

Tóm tắt

I. Tổng Quan Hệ Tuyến Tính Dương Ứng Dụng và Đặc Điểm

Hệ thống điều khiển là sự kết nối của các thành phần tạo thành một cấu hình hệ thống, cung cấp các phản hồi mong muốn bằng cách điều khiển đầu ra. Trong nhiều mô hình thực tế, các trạng thái liên quan như mức chất lỏng, nồng độ hóa chất, kích thước quần thể luôn không âm. Các mô hình như vậy được mô tả trong biểu diễn không gian trạng thái bằng các hệ thống động lực học, có trạng thái và đầu ra được điều khiển bởi các đầu vào không âm (bao gồm cả trạng thái ban đầu) luôn không âm. Loại hệ thống đặc biệt này được gọi là hệ dương hoặc hệ không âm. Một ví dụ điển hình về hệ dương là mạng ngăn. Mạng ngăn bao gồm một số ngăn đồng nhất, mô tả sự trao đổi các lượng vật chất không âm giữa các ngăn và môi trường. Khung mạng ngăn cũng hữu ích để thiết lập các mô hình khác tuân theo luật bảo toàn. Rất nhiều ứng dụng thực tế của hệ tuyến tính dương đã được tìm thấy trong sinh học, sinh thái học, dịch tễ học, hóa học, dược động học, mạng luồng giao thông hàng không, kỹ thuật điều khiển, viễn thông và các quy trình hóa lý. Theo tài liệu gốc, "Một ngăn có thể được xem như một bể chứa khái niệm chứa một lượng vật chất đồng nhất về động học".

1.1. Định Nghĩa và Tính Chất Cơ Bản của Hệ Tuyến Tính Dương

Hệ tuyến tính dương là một lớp hệ thống đặc biệt, nơi mà trạng thái và đầu ra của hệ luôn không âm khi đầu vào cũng không âm. Tính dương là một ràng buộc quan trọng, xuất hiện tự nhiên trong nhiều ứng dụng thực tế. Ví dụ, trong hệ thống quản lý tài nguyên, lượng tài nguyên không thể âm; tương tự, trong mô hình dịch tễ học, số lượng cá thể bị nhiễm bệnh cũng là một đại lượng không âm. Tính chất này dẫn đến những đặc điểm riêng biệt trong phân tích và thiết kế điều khiển hệ dương so với các hệ thống tuyến tính thông thường. Nghiên cứu về hệ tuyến tính dương tập trung vào việc khai thác tính đơn điệu để đơn giản hóa việc phân tích hành vi của các hệ thống động lực học và tạo điều kiện thuận lợi hơn nữa cho việc thiết kế các hệ thống như vậy để đạt được các thông số kỹ thuật điều khiển mong muốn.

1.2. Ứng Dụng Rộng Rãi của Hệ Tuyến Tính Dương Trong Thực Tế

Hệ tuyến tính dương có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong sinh học, chúng được sử dụng để mô hình hóa các quá trình sinh học như động học enzym và tương tác gen. Trong kinh tế, chúng được áp dụng để phân tích chuỗi cung ứng và mô hình hóa các hệ thống kinh tế. Trong kỹ thuật, chúng được sử dụng để thiết kế các hệ thống điều khiển cho các quy trình hóa học và hệ thống năng lượng. Sự phổ biến của hệ thống tuyến tính dương xuất phát từ khả năng mô tả chính xác các hệ thống mà trạng thái và đầu ra phải tuân theo các ràng buộc về tính dương. Theo tài liệu, "Mô hình mạng ngăn đặc biệt hữu ích trong việc thiết lập các mô hình khác tuân theo luật bảo toàn".

II. Thách Thức Điều Khiển Hệ Tuyến Tính Dương Vấn Đề Cốt Lõi

Mặc dù lý thuyết về hệ thống tuyến tính tổng quát cũng có thể áp dụng cho hệ dương, nhưng những thách thức mới thường phát sinh trong việc phân tích và tổng hợp các hệ thống dương. Các phương pháp truyền thống thường gặp khó khăn khi xử lý các hệ thống như vậy vì chúng không được xác định trên không gian tuyến tính mà là các hình nón đa diện lồi. Do đó, nhiều thuộc tính không thể được bảo toàn dưới phép biến đổi tương tự và nhiều kết quả đã được thiết lập tốt cho các hệ tuyến tính có hoặc không có độ trễ không thể dễ dàng áp dụng cho hệ tuyến tính dương. Ví dụ, người ta biết rõ trong lý thuyết hệ thống tuyến tính tổng quát rằng nếu một hệ thống có thể điều khiển được, các cực của hệ thống có thể được gán một cách tùy ý, trong khi đối với hệ tuyến tính dương, tính năng này có thể không đúng do các ràng buộc dương trên ma trận hệ thống.

2.1. Ràng Buộc Tính Dương Khó Khăn Trong Thiết Kế Bộ Điều Khiển

Thiết kế bộ điều khiển cho hệ tuyến tính dương phức tạp hơn so với các hệ tuyến tính thông thường do ràng buộc về tính dương. Các phương pháp thiết kế truyền thống có thể không đảm bảo rằng hệ thống kín vẫn duy trì tính dương. Điều này đòi hỏi các kỹ thuật thiết kế đặc biệt để đảm bảo rằng các trạng thái và đầu ra của hệ thống luôn không âm. Theo tài liệu, "Tính dương của động lực học kín thường được yêu cầu, điều này làm cho bài toán thiết kế hệ dương trở nên phức tạp và thách thức hơn so với hệ tổng quát."

2.2. Ảnh Hưởng của Độ Trễ Thời Gian Đến Tính Ổn Định Hệ Dương

Độ trễ thời gian là một yếu tố phổ biến trong nhiều hệ thống thực tế và có thể gây ra các vấn đề về tính ổn định cho hệ tuyến tính dương. Việc phân tích và bù độ trễ thời gian trong hệ thống tuyến tính dương đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt để đảm bảo tính ổn định và hiệu suất của hệ thống. Điều khiển hệ dương có độ trễ là một lĩnh vực nghiên cứu đang được quan tâm. Theo tài liệu, "Sự xuất hiện của độ trễ thời gian thường dẫn đến hành vi hệ thống không thể đoán trước, suy giảm hiệu suất hệ thống thậm chí gây nguy hiểm đến tính ổn định của hệ thống."

2.3. Tính Bất Định và Nhiễu Bài Toán Điều Khiển Bền Vững Hệ Dương

Tính bất định và nhiễu là những yếu tố không thể tránh khỏi trong các hệ thống thực tế và có thể ảnh hưởng đến hiệu suất của hệ tuyến tính dương. Điều khiển bền vững là một phương pháp thiết kế bộ điều khiển để đảm bảo rằng hệ thống vẫn ổn định và duy trì hiệu suất chấp nhận được trong điều kiện có tính bất định và nhiễu. Việc thiết kế bộ điều khiển bền vững cho hệ thống tuyến tính dương là một bài toán phức tạp. Theo tài liệu, "Các nhiễu ngoại sinh luôn tồn tại trong các hệ thống kỹ thuật do nhiều vấn đề kỹ thuật như sự không chính xác của quá trình xử lý dữ liệu, các phép xấp xỉ tuyến tính hoặc sai số đo lường."

III. Phương Pháp Điều Khiển Phản Hồi Tĩnh Hệ Tuyến Tính Dương

Trong các bài toán thiết kế bộ điều khiển, những thách thức mới thường phát sinh vì các biến trạng thái được đặt các ràng buộc với các hình nón lồi, do đó nhiều phương pháp luận đã được thiết lập tốt cho các hệ tuyến tính tổng quát không dễ dàng được điều chỉnh. Trong tài liệu, vấn đề này được giải quyết bằng các phương pháp sử dụng hàm Lyapunov thuộc loại bậc hai hoặc tuyến tính để suy ra các điều kiện tổng hợp dưới dạng LMI, LMI lặp hoặc LP. Như đã đề cập trong tài liệu, phương pháp LP có thể có lợi thế về số so với phương pháp LMI vì phương pháp sau thường liên quan đến nhiều biến quyết định hơn và các phần mềm LMI hiện có không thể xử lý các bài toán có kích thước lớn và không ổn định về số. Do đó, phương pháp dựa trên LP được sử dụng thường xuyên hơn để suy ra các điều kiện phân tích và tổng hợp cho hệ dương.

3.1. Phân Tích Ổn Định Dựa Trên Hàm Lyapunov cho Hệ Dương

Hàm Lyapunov là một công cụ quan trọng để phân tích tính ổn định của hệ tuyến tính dương. Việc xây dựng hàm Lyapunov phù hợp cho hệ thống tuyến tính dương có thể giúp xác định các điều kiện ổn định và thiết kế bộ điều khiển để đảm bảo tính ổn định. Theo tài liệu, "Tính ổn định Lyapunov đảm bảo rằng trạng thái ổn định của một hệ thống vẫn gần trạng thái cân bằng và thậm chí có xu hướng quay trở lại trạng thái cân bằng."

3.2. Thiết Kế Bộ Điều Khiển Phản Hồi Đầu Ra Tĩnh cho Hệ Dương

Bộ điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh là một loại bộ điều khiển sử dụng đầu ra của hệ thống để tạo ra tín hiệu điều khiển. Việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh cho hệ tuyến tính dương là một bài toán phức tạp, vì cần phải đảm bảo tính ổn định và tính dương của hệ thống kín. Các phương pháp dựa trên lập trình tuyến tính (LP) thường được sử dụng để giải quyết bài toán này. Theo tài liệu, "Bộ điều khiển thường được tổng hợp dựa trên các kết quả phân tích trước đó. Nói cách khác, một số tiêu chí dựa trên hiệu suất nhất định được thu được trước, theo đó hệ thống được điều khiển có các thuộc tính mong muốn."

3.3. Ứng Dụng Bất Đẳng Thức Ma Trận Tuyến Tính LMI trong Điều Khiển Hệ Dương

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán điều khiển trong hệ tuyến tính dương. Các điều kiện thiết kế bộ điều khiển thường được biểu diễn dưới dạng LMI, và việc giải các LMI này có thể được thực hiện bằng các công cụ tối ưu hóa lồi. Theo tài liệu, "Các giải pháp cho các bài toán phân tích và tổng hợp thường liên quan đến tính khả thi của các phương trình và bất đẳng thức ma trận."

IV. Điều Khiển Tối Ưu L1 Cho Hệ Tuyến Tính Dương Hướng Tiếp Cận Mới

Các nhiễu ngoại sinh luôn tồn tại trong các hệ thống kỹ thuật do nhiều vấn đề kỹ thuật như sự không chính xác của quá trình xử lý dữ liệu, các phép xấp xỉ tuyến tính hoặc sai số đo lường. Thông thường, hiệu suất của một hệ thống động lực học được đặc trưng bởi khả năng suy giảm chống lại tác động của các đầu vào nhiễu loạn và thường được định lượng bằng các chuẩn nhất định liên quan đến mối quan hệ giữa các phản hồi hệ thống và các đầu vào nhiễu loạn. Đối với các hệ tuyến tính tổng quát, một công cụ phổ biến để định lượng hiệu suất hệ thống là chuẩn H∞, còn được gọi là chuẩn L2 gây ra (hoặc chuẩn ℓ2 gây ra đối với các hệ thống thời gian rời rạc). Chuẩn H∞ biểu thị độ lợi tối đa của một hệ thống, đặc trưng cho chuẩn trường hợp xấu nhất của các đầu ra được điều chỉnh trên tất cả các đầu vào ngoại sinh có năng lượng bị giới hạn.

4.1. Chuẩn L1 và L Đánh Giá Hiệu Năng Hệ Thống Tuyến Tính Dương

Khác với các hệ thống tổng quát, một đặc điểm đáng chú ý của hệ dương là nó cho phép sử dụng tốc độ cung cấp tuyến tính trong phân tích tiêu tán và tự nhiên dẫn đến một số thuộc tính hệ thống đầu vào-đầu ra về các ràng buộc tích phân/tổng tuyến tính thay vì các ràng buộc tích phân/tổng bậc hai. Ví dụ, thường mong muốn phân tích khối lượng tối đa trong một ngăn duy nhất hoặc tổng khối lượng vật chất trong tất cả các ngăn của mạng ngăn. Trong khi chuẩn L2/ℓ2 đại diện cho năng lượng, có liên quan đến bậc hai của các trạng thái hệ thống, thì chuẩn L∞ (ℓ∞-norm) và chuẩn L1 (ℓ1-norm) lần lượt liên quan đến các đại lượng tối đa và tổng của các đại lượng. Do đó, đối với hệ dương, hợp lý hơn khi áp dụng độ lợi L1 hoặc độ lợi L∞ làm thước đo hiệu suất hơn là độ lợi L2 truyền thống trong phân tích và tổng hợp các hệ dương. Theo tài liệu, "Đối với hệ dương, hợp lý hơn khi áp dụng độ lợi L1 hoặc độ lợi L∞ làm thước đo hiệu suất hơn là độ lợi L2 truyền thống trong phân tích và tổng hợp các hệ dương."

4.2. Lập Trình Tuyến Tính LP Công Cụ Tối Ưu Điều Khiển Hệ Dương

Lập trình tuyến tính (LP), một công cụ tối ưu hóa lồi hiệu quả với độ phức tạp tính toán thấp, đặc biệt phù hợp để tổng hợp bộ điều khiển cho hệ dương, từ ổn định hóa đến điều khiển bền vững với các chỉ số hiệu suất tối ưu. Theo khía cạnh này, trong khi các ràng buộc về tính dương mang lại nhiều khó khăn hơn cho việc thiết kế bộ điều khiển, bộ lọc hoặc bộ quan sát, nó có thể giúp đơn giản hóa quy trình thiết kế trong một số trường hợp. Theo các phát triển gần đây, một số bài toán điều khiển có thể được đơn giản hóa đáng kể do tính dương của các hệ thống động lực học. Theo tài liệu, "Cần lưu ý rằng lập trình tuyến tính, một công cụ tối ưu hóa lồi hiệu quả với độ phức tạp tính toán thấp, đặc biệt phù hợp để tổng hợp bộ điều khiển cho hệ dương, từ ổn định hóa đến điều khiển bền vững với các chỉ số hiệu suất tối ưu."

V. Ứng Dụng Thực Tiễn Hệ Tuyến Tính Dương Nghiên Cứu Điển Hình

Hệ tuyến tính dương được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Các ví dụ bao gồm mô hình hóa các quá trình sinh học, phân tích hệ thống kinh tế và thiết kế hệ thống điều khiển cho các quy trình công nghiệp. Các nghiên cứu điển hình trong các lĩnh vực này có thể minh họa rõ hơn về tiềm năng của hệ thống tuyến tính dương.

5.1. Mô Hình Hóa Mạng Lưới Giao Thông Sử Dụng Hệ Tuyến Tính Dương

Hệ tuyến tính dương có thể được sử dụng để mô hình hóa mạng lưới giao thông, trong đó lưu lượng giao thông không thể âm. Các mô hình này có thể được sử dụng để phân tích lưu lượng giao thông và thiết kế các chiến lược điều khiển để giảm tắc nghẽn. Các nghiên cứu sử dụng mạng Petri để mô hình hóa hệ tuyến tính dương trong ứng dụng giao thông có thể cung cấp cái nhìn sâu sắc.

5.2. Ứng Dụng Trong Điều Khiển Các Quá Trình Sinh Học và Hóa Học

Hệ tuyến tính dương đóng vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa và điều khiển các quá trình sinh học và hóa học. Từ việc điều khiển phản ứng trong các lò phản ứng hóa học đến việc mô phỏng các quá trình sinh học phức tạp, hệ dương cung cấp một nền tảng mạnh mẽ để hiểu và tác động đến các hệ thống này.

VI. Triển Vọng Tương Lai và Hướng Nghiên Cứu Điều Khiển Hệ Dương

Mặc dù nhiều kết quả liên quan đến lý thuyết hệ thống và điều khiển cho hệ dương đã được công bố, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề mở và lâu dài trong lĩnh vực này cần được nghiên cứu và phát triển thêm. Ví dụ, tính khả thi của các điều kiện thiết kế của bộ điều khiển phản hồi trạng thái hoặc bộ điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh vẫn chưa được giải quyết. Một số bài toán điều khiển tối ưu theo sơ đồ độ lợi L1/ℓ1 và L∞/ℓ∞ hoặc bài toán điều khiển tối ưu cho hệ dương. Điều này thúc đẩy nghiên cứu được trình bày trong luận án này.

6.1. Phát Triển Các Phương Pháp Điều Khiển Mới Cho Hệ Tuyến Tính Dương

Nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp điều khiển mới cho hệ tuyến tính dương, đặc biệt là các phương pháp có thể xử lý tính bất định, độ trễ thời gian và các ràng buộc khác. Các phương pháp điều khiển thích nghi và điều khiển bền vững có thể là những hướng đi đầy hứa hẹn.

6.2. Ứng Dụng Các Công Cụ Tối Ưu Hóa Hiện Đại trong Điều Khiển Hệ Dương

Các công cụ tối ưu hóa hiện đại, chẳng hạn như tối ưu hóa metaheuristic và học máy, có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán điều khiển phức tạp trong hệ tuyến tính dương. Việc tích hợp các công cụ này có thể dẫn đến các bộ điều khiển hiệu quả và mạnh mẽ hơn.

6.3. Mở Rộng Lý Thuyết Hệ Dương Sang Các Lớp Hệ Thống Phức Tạp Hơn

Lý thuyết về hệ tuyến tính dương có thể được mở rộng sang các lớp hệ thống phức tạp hơn, chẳng hạn như hệ phi tuyến tính dương và hệ lai dương. Việc mở rộng này có thể mở ra những ứng dụng mới và quan trọng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING HANOI NATIONAL UNIVERSITY OF EDUCATION ——————–o0o——————— MAI THI HONG SOME CONTROL PROBLEMS FOR POSITIVE LINEAR SYSTEMS DISSERTATION OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MATHEMATICS HA NOI-2021 MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING HANOI NATIONAL UNIVERSITY OF EDUCATION ——————–o0o——————— MAI THI HONG SOME CONTROL PROBLEMS FOR POSITIVE LINEAR SYSTEMS Speciality: Differential and Integral Equations Code: 9460103 A dissertation submitted to Hanoi National University of Education for fulfilled requirements of the degree of Doctor of Philosophy in Mathematics Under the guidance of Associate Professor LE Van Hien HA NOI-2021 DECLARATION I am the creator of this dissertation, which has been conducted at the Faculty of Mathematics and Informatics, Hanoi National University of Education, under the guidance and direction of Associate Professor Le Van Hien. I hereby affirm that the results presented in this dissertation are truly provided and have not been included in any other dissertations or theses submitted to any other universities or institutions for a degree or diploma. “I certify that I am the PhD student named below and that the information provided is correct” Full name: Mai Thi Hong Signed: Date: 1 ACKNOWLEDGMENT First and foremost, I would like to express my sincere thanks to my supervisor, Associate Professor Le Van Hien, for his enlightening guidance, insightful ideas, and endless support during my candidacy at Hanoi National University of Education. His rigorous research ethics, diligent work attitude, and wholehearted dedication to his students have been an inspiration to me and will influence me forever.

I am grateful to Associcate Professor Tran Dinh Ke and other members of the weekly seminar at the Division of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics and Informatics, Hanoi National University of Education, for their discussions and valuable comments on my research results. I am also grateful to my colleagues at the Division of Mathematics, Faculty of Information Technology, National University of Civil Engineering, for their help and support during the time of my PhD research and study. I am forever grateful to my parents for endless love and unconditional support they have been giving me. Last but not least, I am indebted to my beloved husband, Mr.

Trung Kien, my beautiful daughters, Hoang Mai, Gia Linh, and lovely son, Minh Giang, who always stay beside me. None of this would have been possible without their continuous and unconditional love, kindness and comfort through my journey. The author 2 TABLE OF CONTENTS Page Declaration. 2 List of symbols and acronyms.

Static output-feedback control of positive linear systems. L1 -gain control of positive linear systems with multiple delays. Peak-to-peak gain control of discrete-time positive linear systems. Static output-feedback control of positive linear systems with time- varying delay.

L1 -gain control of positive linear systems with multiple delays. Peak-to-peak gain control of discrete-time positive linear systems with diverse interval delays. Outline of main contributions. Nonnegative and Metzler matrices.

Stability and stabilization of LTI systems. Positive LTI systems. Stability analysis and controller design. STATIC OUTPUT-FEEDBACK CONTROL OF POSITIVE LINEAR SYS- TEMS WITH TIME-VARYING DELAY.

Single-input single-output systems. Single-input multiple-output systems. Multiple-input single-output systems. Multiple-input multiple-output systems.

Conclusion of Chapter 2. ON L1 -GAIN CONTROL OF POSITIVE LINEAR SYSTEMS WITH MUL- TIPLE DELAYS. PEAK-TO-PEAK GAIN CONTROL OF DISCRETE-TIME POSITIVE LIN- EAR SYSTEMS WITH DIVERSE INTERVAL DELAYS. Peak-to-peak gain characterization.

Static output-feedback peak-to-peak gain control. Matrix transformation approach. Vertex optimization approach. Conclusion of Chapter 4.

96 List of publications. 98 5 LIST OF SYMBOLS AND ACRONYMS Rn the n-dimensional Euclidean space ∥x∥∞ max-norm maxi=1,2,.,n |xi | of a vector x = (xi ) ∈ Rn !n n ∥x∥1 1-norm i=1 |xi | of a vector x = (xi ) ∈ R 1n the column vector (1, 1,. , 1)⊤ ∈ Rn x≼y component-wise comparison between vectors x and y. More precisely, for x = (xi ) ∈ Rn and y = (yi ) ∈ Rn , x ≼ y if xi ≤ yi for i = 1, 2,.

, n x≺y if xi < yi for i = 1, 2,. , n x≽y if xi ≥ yi for i = 1, 2,. , n (or y ≼ x) x≻y if xi > yi for i = 1, 2,. , n (or y ≺ x) Rn+ positive orthant of Rn , i., the set {x ∈ Rn : x ≽ 0} |x| = (|xi |) ∈ Rn+ the absolute of a vector x = (xi ) ∈ Rn Rn×m the set of n × m real matrices m×n |A| = (|aij |) ∈ R+ the absolute of a matrix A = (aij ) ∈ Rm×n diag{A, B} the diagonal matrix formulated by stacking A and B A⊤ the transpose matrix of a matrix A A−1 the inverse matrix of a matrix A A≽0 nonnegative matrix A = (aij ) ∈ Rm×n (aij ≥ 0 for all i, j) A≻0 positive matrix A (i.

aij > 0 for all i, j) A>0 positive-definite matrix A (i. x⊤ Ax > 0, ∀x ∈ Rn , x ̸ = 0) S+ n the set of symmetric positive-definite matrices in Rn×n In identity matrix in Rn×n Mn the set of Metzler matrices in Rn×n ∥A∥∞ the max-norm of a matrix A, i., for A = (aij ) ∈ Rm×n, !n ∥A∥∞ = ∥|A|1n ∥∞ = max1≤i≤m j=1 |aij | ∥A∥1 the 1-norm of a matrix A, i.,n |xi (k)|, max-norm of a vector x(k) ∈ Rn ∥f ∥ℓ∞ supk∈Z+ ∥f (k)∥∞ , ℓ∞ -norm of a function f : Z+ → Rn L1 (R+ , Rn ) the set {f : R+ → Rn : ∥f ∥L1 < ∞} ℓ ∞ ( Rn ) the set {f : Z+ → Rn : ∥f ∥ℓ∞ < ∞} ∥Σ∥(L1 ,L1 ) L1 -induced norm of the operator Σ ∥Ψ∥(ℓ∞,ℓ∞ ) ℓ∞ -induced norm of the operator Ψ C = C([a, b], Rn ) the set of Rn -valued continuous functions defined on [a, b] ∥φ∥C uniform norm supa≤t≤b ∥φ(t)∥ GAS global asymptotic stability GES global exponential stability LMIs linear matrix inequalities BMIs bilinear matrix inequalities LTI linear time-invariant LP linear programming LKF Lyapunov-Krasovskii functional SFC state-feedback controller SOFC static output-feedback controller SISO single-input single-output SIMO single-input multiple-output MISO multiple-input single-output MIMO multiple-input multiple-output ✷ completeness of a proof. Background A control system is an interconnection of components forming a system configu- ration, which provides desired responses by controlling outputs. The following figure shows a simple block-diagram of a control system.

’—–• —–’—–• Žƒ– Figure 1: Block-diagram of a control system Typically, physical components of a control system (illustrated as Fig. 1) are composed of input, output and state variables. Inputs are those signals which can be intentionally incorporated (controller, switching signals ect) or suddenly integrated (for example, exogenous disturbances) into a system to activate, manipulate or degrade system performance, whereas outputs of a system belong to a channel which will be measured, observed or regulated (measurement outputs, observers or controlled out- puts). Output states are controlled and/or affected by the effect of inputs.

A state is a set of mathematical functions or physical variables, which can be used to describe system behavior and performance if the inputs are known. In many practical models, relevant states such as liquid levels in controlling tanks, concentrations of chemicals, the population size of species or the number of molecules are always nonnegative. Such models are described in the state-space representation by dynamical systems, whose states and outputs driven by nonnegative inputs (including initial states) are nonnegative all the time. This particular category of systems are referred to as positive systems [32] or nonnegative systems [37] (throughout this thesis we only mention as positive systems).

A typical example of positive systems is com- partmental networks [79]. A compartment can be viewed as a conceptual storage tank containing an amount of material which is kinetically homogeneous, where kinetically 8 homogeneous means that any material entering the compartment is instantaneously mixed with the material of the compartment. A compartmental network is a network consisting of several homogeneous compartments, describing the exchanges of nonneg- ative quantities of materials among compartments and the environment with conser- vation of mass of materials. The framework of compartmental networks is also useful to establish other models which are subject to conservation laws.

Many other practical applications of positive systems have been found in a variety of disciplines from biology, ecology and epidemiology, chemistry, pharmacokinetics to air traffic flow networks, con- trol engineering, telecommunication and chemical-physical processes [6, 25, 51, 55, 82]. Apart from a wide range of applications, positive systems possess many elegant properties that have yet no counterpart in general linear systems [12]. For instance, by the robustness and monotonicity [79] induced from the positivity, positive systems are highly evolved in designing interval observers [14, 29, 30, 83], which are relevant in the context of observation of systems for which only a poor model is available, utilized in the problem of state estimations [8] or stability analysis of nonlinear time-delay systems [63, 66]. Moreover, many problems known to be NP-hard, in general, turn out to be deceptively simple in the context of linear positive systems [13].

Due to widespread applications and special characteristics, the systems and control theory of linear positive systems has received ever-increasing interest in the past decades (see, e. In particular, as most relevant issues in the field of analysis and synthesis of positive systems, stability, disturbance attenuation and robustness are essential problems that should be taken into account thoroughly. Considerable research attention has been devoted to such problems with numerous results have been reported recently. For a number of references, we refer the readers to [13, 23, 45, 46, 50, 60, 64] for various problems concerning stability analysis, controller synthesis [28, 82, 90, 95] and L1 /L∞ control [11, 17, 73, 74, 76, 87].

Stability theory plays an essential role in the systems and control theory, which is always one of the top priority research topics. Its intrinsic interest and relevance has been found in variety of disciplines in economic, finance, environment and system engineering. Stability ensures that the steady state of a system remains near the equilibrium state and even tends to return to the equilibrium (asymptotic stability). In other words, the equilibrium is insensitive to small perturbation of initial conditions.

9 This feature is usually termed as Lyapunov stability [61]. Among various concepts of stability that arise in the study of control systems, stability in the sense of Lyapunov and its variants such as asymptotic stability or exponential stability have been well- recognized as common characterizations of stability of equilibrium points with regard to the convergence of state trajectories as time tends to infinity. Other stability concepts such as bounded-input bounded-output stability, input-to-state stability or finite-time stability are also significant in control engineering applications [58]. Beside positivity constraints, the occurrence of time-delay is unavoidable in mod- eling engineering systems and industrial processes [21,78].

For example, in multi-agent systems (MASs), due to the limited bandwidth and transmission rate of communication channels, the information exchange between agents is always affected by time delays, which is a key factor affecting the consensus problem of MASs [94]. Many examples of time-delay systems can also be found in transmission lines or telecommunication net- works [86]. The transportation of resources in logistic networks is another example of positive systems with delays as the resource amount is not only positive but also sub- ject to delays due to traffic jams and other latency aspects. The presence of time delays usually leads to unpredictable system behaviors, degradation of system performance even jeopardize system stability.

Thus, the study of time-delay systems is essential in the field of control engineering [86], which has attracted significant research attention in the past two decades (see, e. A very rich literature with a large number of important results concerning the systems and control theory of time-delay systems has been reported.