MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết ổn định là một nhánh quan trọng của lý thuyết định tính các hệ phương trình vi phân mà được nhà toán học người Nga A. Lyapunov khởi xướng từ những năm cuối thế kỷ XIX. Với bề dày lịch sử hơn một thế kỷ nhưng đến thời điểm này lý thuyết ổn định Lyapunov vẫn còn là một lĩnh vực nghiên cứu có sức lôi cuốn rất lớn của toán học với ngày càng nhiều ứng dụng quan trọng được tìm thấy trong cơ học, vật lý, hóa học, công nghệ thông tin, sinh thái, môi trường, v.
và nó cũng trở thành một nhánh nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng [18, 20, 24, 29, 30]. Cùng với tính ổn định nghiệm, người ta còn quan tâm tới việc thiết kế một bộ điều khiển sao cho khi nó tác động vào một hệ điều khiển, hệ trở nên ổn định. Bài toán này được gọi là bài toán ổn định hóa hệ điều khiển và người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hóa được của hệ điều khiển từ những năm 1960. Mặt khác, trong các mô hình toán học (được xây dựng từ các bài toán kỹ thuật trong thực tiễn) thường xuất hiện độ trễ thời gian.
Các đại lượng trễ đó hình thành một cách tự nhiên, không thể tránh khỏi trong quá trình truyền tải, xử lý dữ liệu và người ta chỉ ra được rằng sự hiện diện của nó sẽ ít nhiều ảnh hưởng đến dáng điệu và tính chất của hệ, trong đó có tính ổn định, một tính chất thiết yếu trong các hệ kỹ thuật [18, 28, 43]. Chính vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và điều khiển cho các hệ có trễ là bài toán có ý nghĩa thực tế, đã và đang được nhiều học giả quan tâm trong những năm gần đây [2, 8, 12, 14, 41, 57]. Các hướng nghiên cứu quan trọng bao gồm việc đánh giá 8 định tính sự phụ thuộc độ trễ của tính ổn định cũng như xây dựng các tiêu chuẩn mới, tân tiến hơn để có thể áp dụng cho nhiều mô hình tổng quát và phức tạp hơn, phù hợp với các mô hình kỹ thuật hiện đại. Bên cạnh đó, các quá trình trong thực tiễn thường xảy ra một cách không chắc chắn (nghĩa là, có sự xuất hiện của các đại lượng “nhiễu” hệ thống).
Các nhiễu này có thể xuất hiện do sai số vận hành, do ảnh hưởng lẫn nhau giữa các thành tố trong hệ thống hoặc giữa các hệ thống khác nhau. Vì vậy, việc đòi hỏi phải biết chính xác tất cả các tham số của hệ trong mô hình là điều không tưởng hoặc rất khó vận dụng trong thực tế. Do đó, việc đánh giá tối ưu mức ảnh hưởng của nhiễu đối với đầu ra của hệ thống (bài toán H∞ ) là bài toán có tính thời sự, được nhiều nhà toán học và kỹ sư quan tâm nghiên cứu. Các cách tiếp cận khác nhau đã được phát triển và một số lượng lớn các kết quả quan trọng về điều khiển H∞ cho nhiều lớp hệ có trễ đã được công bố trong thời gian qua [4, 8, 13, 44, 51, 53, 57, 59, 64].
Tuy vậy còn nhiều vấn đề mở thú vị và quan trọng trong cả lý thuyết lẫn ứng dụng vẫn chưa được giải quyết, đặc biệt là các kết quả hiện có về bài toán H∞ cho các lớp hệ điều khiển có trễ tổng quát còn khá khiêm tốn và cần được tiếp tục nghiên cứu sâu hơn. Đó chính là động lực để chúng tôi thực hiện đề tài này. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU Trong cách tiếp cận theo miền thời gian (time-domain approach), phương pháp Lyapunov trực tiếp là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu bài toán ổn định và điều khiển H∞ cho các hệ có trễ như: hệ tuyến tính, hệ phi tuyến, hệ nơ-ron, hệ suy biến, v. Qua đó, các điều kiện giải bài toán điều khiển H∞ cho hệ ô-tô-nôm sẽ được thiết lập dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính hoặc phương trình Riccati đại số; còn với hệ không ô-tô-nôm thì các điều kiện giải bài toán này sẽ được thiết lập thông qua các phương trình Riccati vi phân.
Hệ nơ-ron có trễ vừa được đề cập đến ở trên là một lớp hệ phương trình 9 vi phân hàm đặc biệt, đã được nghiên cứu một cách rộng rãi trong hơn hai thập kỷ qua bởi những ứng dụng thành công của nó trong nhiều lĩnh vực như: bộ nhớ kết hợp (associative memory), nhận dạng và phân loại mẫu, xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, giải các bài toán tối ưu, v. Mặc dù đã có một số công trình đề cập đến bài toán điều khiển H∞ cho các hệ nơ-ron có trễ [35, 40, 46, 47, 48] nhưng chủ đề này còn lâu mới đạt được sự trọn vẹn và điều này thúc đẩy sự quan tâm đáng kể của chúng tôi trong luận án này. Vì lý do đó, lớp hệ đầu tiên được đề cập trong luận án về bài toán điều khiển H∞ là hệ nơ-ron có trễ biến thiên hỗn hợp (nghĩa là yếu tố trễ gồm hai loại: trễ dạng rời rạc và trễ dạng tích phân): Z t ẋ(t) = −Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t))) + W2 c(x(s))ds t−k(t) + Bu(t) + Cω(t) (1) z(t) = Ex(t) + M x(t − h(t)) + N u(t), t > 0, x(t) = ϕ(t), t ∈ [−d, 0], d = max{h2 , k}, ở đây x(t) = [x1 (t), x2 (t),. , xn (t)]T ∈ Rn là véc tơ trạng thái của hệ nơ-ron; u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển; ω(t) ∈ Rr là biến nhiễu/không chắc chắn; z(t) ∈ Rs là hàm quan sát đầu ra của hệ nơ-ron; A = diag{a1 , a2 ,.
, an } là ma trận đường chéo chính dương; W0 , W1 , W2 , B, C, E, M, N là các ma trận thực cho trước có số chiều thích hợp; f (·), g(·), c(·) là các hàm kích hoạt của hệ; h(t), k(t) là các hàm trễ của hệ thỏa mãn điều kiện 0 6 h1 6 h(t) 6 h2 , 0 6 k(t) 6 k. Năm 2009, bài toán ổn định mũ cho hệ nơ-ron ẋ(t) = −(A+∆A(t))x(t)+(W0 +∆W0 (t))f (x(t))+(W1 +∆W1 (t))f (x(t−h(t))) với hàm trễ h(t) biến thiên liên tục dạng khoảng và có đạo hàm bị chặn đã được xét bởi Kwon và Park trong [32]. Còn bài toán ổn định hóa được dạng mũ thì được các tác giả Phat, Trinh [45] đề xuất vào năm 2010 cho hệ nơ-ron 10 với trễ hỗn hợp Z t ẋ(t) = −Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t))) + W2 c(x(s))ds + Bu(t), t−k(t) trong đó các hàm trễ h(t), k(t) được giả thiết thỏa mãn điều kiện: 0 6 h(t) 6 h, ḣ(t) 6 δ < 1, 0 6 k(t) 6 k ∀t > 0. Không lâu sau đó, kết quả này được mở rộng sang trường hợp trễ rời rạc h(t) là hàm liên tục, nhận giá trị trong một khoảng bởi hai tác giả Thuan, Phat trong [52].
Năm 2012, Sakthivel và các cộng sự [47] xét bài toán điều khiển H∞ cho hệ nơ-ron có trễ hỗn hợp (và không có trễ trong hàm quan sát) ẋ(t) = −(A + ∆A)x(t) + (W0 + ∆W0 )f (x(t)) + (W1 + ∆W1 )g(x(t − h(t))) Z t + (W2 + ∆W2 ) c(x(s))ds + u(t) + (C + ∆C)ω(t), t−k(t) z(t) = Ex(t), với các hàm trễ h(t), k(t) thỏa mãn: 0 6 h(t) 6 h, ḣ(t) 6 δ, 0 6 k(t) 6 k ∀t > 0. Trong công trình này, các tác giả đã thu được tính ổn định hóa được dạng tiệm cận và điều kiện H∞. Sang năm 2013, các tác giả Phat, Trinh [46] tiếp tục nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ nơ-ron có trễ ẋ(t) = −Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − τ1 (t))) + Bu(t) + Cω(t), z(t) = Ex(t) + M h(x(t − τ2 (t))) + N u(t), với cả hai trường hợp được xét: các hàm trễ τ1 (t), τ2 (t) là khả vi và có đạo hàm bị chặn trên bởi một số thực dương bé hơn 1 hoặc các hàm trễ là bị chặn nhưng không nhất thiết khả vi. Từ đó, các tác giả đã thu được tính ổn định hóa được dạng mũ và điều kiện H∞ ứng với mỗi trường hợp.
Như vậy, các kết quả đã nêu ở trên về tính ổn định và điều khiển H∞ phần lớn đều bị hạn chế bởi giả thiết độ trễ là hàm khả vi và có đạo hàm bị chặn trên hoặc đơn giản chỉ là hàm bị chặn. Hiện nay việc nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ phương trình (1) với độ trễ h(t) liên tục, không đòi hỏi 11 tính khả vi và nhận giá trị trong một khoảng nêu trên vẫn chưa nhận được sự quan tâm thích đáng của các nhà nghiên cứu (lưu ý rằng hàm trễ lúc đó được phép biến thiên nhanh theo thời gian và cận dưới h1 của nó không nhất thiết phải bằng 0). Trong bối cảnh đó, chúng tôi đề xuất bài toán điều khiển H∞ cho hệ (1). Trên thực tế, bài toán này là tương đối khó để giải.
Lý do là bởi các khó khăn sẽ phát sinh khi chúng ta cố gắng rút ra các điều kiện nhằm ổn định hóa hệ khi không có nhiễu đồng thời đảm bảo hiệu suất của hệ khi có nhiễu, đặc biệt khi trễ thời gian biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi xuất hiện ở cả hàm trạng thái và hàm quan sát. Các phiếm hàm Lyapunov–Krasovskii hiện có trong các công trình liên quan [40, 46, 47] không thể sử dụng để giải quyết vấn đề đặt ra cho hệ (1) khi chúng hoặc là sẽ không thể xử lý được khía cạnh không khả vi của hàm trễ hoặc sẽ dẫn tới các bất đẳng thức ma trận rất phức tạp. Vì thế, chúng tôi tìm cách phát triển các kỹ thuật đã có trong [7, 25, 52] để xử lý bài toán này. Bằng cách xây dựng các phiếm hàm Lyapunov–Krasovskii mới, một điều kiện đủ giải bài toán điều khiển H∞ cho hệ (1) được thiết lập thông qua các LMI mà có thể giải được một cách đơn giản thông qua các thuật toán trong [16].
Suốt mấy thập kỷ qua, tính ổn định tiệm cận Lyapunov (xem xét dáng điệu động lực của hệ trong khoảng thời gian vô hạn) gần như thống trị trong lý thuyết ổn định hệ thống. Thường thì tính ổn định tiệm cận là đủ cho các ứng dụng thực tiễn, tuy nhiên trên thực tế, đôi khi người ta chỉ quan tâm đến dáng điệu của hệ trong một khoảng thời gian hữu hạn cố định cho trước nào đó. Lúc này, phương pháp Lyapunov truyền thống không còn dùng được nữa và nửa đầu thập niên 1950 là cột mốc đánh dấu sự ra đời của khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn (mà đôi khi ta sẽ gọi tắt là ổn định hữu hạn) [5, 26].