I. Chiều số bội và tập iđêan nguyên tố gắn kết
Luận văn tập trung vào việc nghiên cứu chiều số bội và tập iđêan nguyên tố gắn kết trong môđun đối đồng điều địa phương. Các khái niệm này được xem xét trong bối cảnh môđun Artin, một lớp môđun quan trọng trong đại số giao hoán. Chiều số bội được định nghĩa thông qua đa thức Hilbert-Samuel, trong khi tập iđêan nguyên tố gắn kết được xác định thông qua biểu diễn thứ cấp của môđun. Các kết quả chính bao gồm việc chứng minh tính duy nhất của các thành phần thứ cấp cô lập và mối quan hệ giữa chiều Noether và chiều Krull của môđun Artin.
1.1. Tập iđêan nguyên tố gắn kết
Tập iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun Artin được định nghĩa thông qua biểu diễn thứ cấp. Mỗi môđun Artin đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các môđun con thứ cấp, và tập các iđêan nguyên tố gắn kết là tập hợp các iđêan nguyên tố tương ứng với các thành phần thứ cấp này. Tính chất quan trọng của tập này là nó không phụ thuộc vào cách biểu diễn thứ cấp cụ thể của môđun. Điều này tương tự như vai trò của tập iđêan nguyên tố liên kết trong nghiên cứu môđun hữu hạn sinh.
1.2. Chiều của môđun Artin
Chiều Noether của một môđun Artin được định nghĩa thông qua bậc của đa thức Hilbert-Samuel. Chiều này phản ánh cấu trúc của môđun và có mối quan hệ chặt chẽ với chiều Krull của vành cơ sở. Một kết quả quan trọng là chiều Noether của môđun Artin bằng bậc của đa thức Hilbert-Samuel tương ứng. Điều này cho phép định nghĩa các khái niệm như hệ bội và hệ tham số cho môđun Artin, tương tự như trong trường hợp môđun hữu hạn sinh.
II. Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại. Các kết quả chính bao gồm việc chứng minh tính Artin của các môđun này, cũng như việc xác định chiều Noether và tập iđêan nguyên tố gắn kết của chúng. Môđun đối đồng điều địa phương là một công cụ quan trọng trong nghiên cứu cấu trúc đại số và hình học đại số, đặc biệt là trong việc phân tích các tính chất địa phương của các môđun và vành.
2.1. Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương
Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là môđun Artin tại mọi cấp. Điều này được chứng minh thông qua các tính chất của hàm Hilbert-Samuel và chiều Noether. Tính chất này cho phép áp dụng các kết quả về môđun Artin vào việc nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương, đặc biệt là trong việc xác định tập iđêan nguyên tố gắn kết và số bội.
2.2. Chiều và tập iđêan nguyên tố gắn kết
Chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương được xác định thông qua bậc của đa thức Hilbert-Samuel tương ứng. Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun này cũng được xác định thông qua biểu diễn thứ cấp. Các kết quả này cho phép hiểu rõ hơn về cấu trúc của môđun đối đồng điều địa phương và mối quan hệ của chúng với các iđêan nguyên tố trong vành cơ sở.
III. Công thức bội liên kết
Luận văn cũng trình bày các kết quả về công thức bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phương. Công thức này liên quan đến việc tính toán số bội của môđun dựa trên hệ tham số và tập iđêan nguyên tố gắn kết. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích cấu trúc của các môđun và vành, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến hình học đại số và lý thuyết môđun.
3.1. Định nghĩa số bội
Số bội của một môđun Artin được định nghĩa thông qua hệ số cao nhất của đa thức Hilbert-Samuel tương ứng. Số bội này phản ánh mức độ phức tạp của cấu trúc môđun và có mối quan hệ chặt chẽ với hệ tham số và tập iđêan nguyên tố gắn kết. Công thức bội liên kết cho phép tính toán số bội dựa trên các thông tin này.
3.2. Ứng dụng của công thức bội liên kết
Công thức bội liên kết có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc của các môđun đối đồng điều địa phương. Nó cho phép xác định các tính chất quan trọng của môđun, chẳng hạn như chiều Noether và tập iđêan nguyên tố gắn kết, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc đại số và hình học của các môđun và vành.
