Chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết dao động dọc trục của thanh có vết nứt, thiết lập phƣơng trình tần số cho dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt với điều kiện biên tổng quát. Chương 2 trình bày nội dung bài toán chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng tần số riêng; phƣơng pháp dò tìm vết nứt và đƣa ra một quy trình chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng. Chương 3 trình bày các kết quả tính toán bằng số và thảo luận. Kết luận chung nêu những kết quả chính đã nhận đƣợc trong luận văn và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu.
Tài liệu tham khảo bao gồm 20 tài liệu về vấn đề nghiên cứu, trong đó có 02 công bố mà tác giả luận văn là đồng tác giả. Phụ lục 1 nêu các công thức khác nhau để tính độ cứng lò xo tƣơng đƣơng sử dụng để mô tả vết nứt; Phụ lục 2 trình bày ứng dụng khai triển kỳ dị của một ma trận bất kỳ vào việc giải phƣơng trình đại số với ma trận hệ số không vuông hoặc kỳ dị; Phụ lục 3 tóm tắt sơ lƣợc về phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov và ứng dụng để giải bài toán chẩn đoán. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 6 CHƢƠNG 1 LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA THANH 1. Thiết lập phƣơng trình dao động của thanh[16, 18] Xét một thanh thẳng có tiết diện đều với các đặc trƣng hình học và vật liệu sau đây: E – modul đàn hồi; F – diện tích tiết diện ngang; ρ – mật độ khối; L – chiều dài.
Ký hiệu u (x,t) là chuyển vị mặt cắt tại x. Chọn hệ tọa độ là một trục trùng với trục của thanh bắt đầu từ đầu trái nhƣ trong Hình 1.1 dƣới đây dx Hình 1. Mô hình dao động dọc trục của thanh. Các lực tác dụng lên phân tố thanh dx tại mặt cắt x gồm: - Lực quán tính: f1 Fdx.u x, t - Các lực kéo ở hai đầu phân tố: N N, N dx x - Lực cản ngoài: fc u x, t dx - Tải trọng phân bố dọc theo thanh: Q p( x, t )dx Hƣớng tác dụng của các lực này đƣợc xác định trong Hình 1.1 sử dụng nguyên lý D’Alambert ta có thể thiết lập đƣợc phƣơng trình 2u u N F p x, t (1.1) t 2 t x Theo định luật Hook: u E E , x do vậy lực kéo tổng cộng u N F FE EF .2) x LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 7 Khi đó phƣơng trình (1.1) có thể viết ở dạng 2u u u F EF p x, t .3) t 2 t x x Đây là phƣơng trình dao động của thanh, đƣợc giải cùng với các điều kiện biên và điều kiện đầu.
Thông thƣờng điều kiện biên thƣờng là cho chuyển vị hoặc lực, ở đây chúng ta có thể viết điều kiện biên tổng quát ở hai đầu thanh nhƣ sau: tại x 0 : 0u( x, t ) 0ux ( x, t ) 0 (1.5) Một số trường hợp riêng sau: + Nếu đầu thanh bị ngàm chặt thì 0, 1 ; (1.6) + Nếu đầu thanh tự do: 1, 0 ; (1.7) + Nếu đầu thanh có đệm đàn hồi độ cứng K thì EF , K (1.9) Ví dụ: đối với thanh ngàm hai đầu thì điều kiện biên là u(0, t ) u(1, t ) 0 (1.10) và thanh có hai đầu tự do thì điều kiện biên là u x (0, t ) u x (1, t ) 0. Dao động của thanh không có vết nứt Xét bài toán dao động tự do, khi lực ngoài và lực cản bằng không 2u u F EF 0 .12) t 2 x x Trong trƣờng hợp các tham số hình học, vật liệu là hằng số ta đƣợc 2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) 2 c 0; c E / .13) t 2 x 2 Đây là phƣơng trình sóng một chiều với vận tốc truyền sóng bằng c phụ thuộc vào môi trƣờng vật liệu, không phụ thuộc vào hình học của kết cấu.14) phƣơng trình (1.13) sẽ có dạng [ 2U ( x) c2U x( x)]eit 0.15) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 8 Từ đây ta có phƣơng trình để xác định dạng dao động riêng U x( x) 2U ( x) 0, / c .16) Dễ dàng nhận thấy nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.16) có dạng U ( x) A cos x B sin x , (1.17) trong đó các hằng số A, B xác định từ điều kiện biên. Trƣớc hết ta xét điều kiện biên tổng quát 0U (0) 0U x (0) 0 (1.18) ta đƣợc hệ phƣơng trình để xác định hai hằng số A, B 0 A 0 B 0; ( 1 cos 1 sin ) A ( 1 sin 1 cos ) B 0. Để hệ phƣơng trình trên có nghiệm khác không thì điều kiện phải thỏa mãn là 0 0 det 0 (1.20) Đây chính là phƣơng trình tần số dao động dọc trục của thanh với điều kiện biên tổng quát.
Giải phƣơng trình này đối với ta đƣợc các nghiệm k , k 1,2,3,. đƣợc gọi là các trị riêng của thanh. Ứng với mỗi trị riêng này ta có thể xác định các tần số riêng và dạng dao động riêng k k E / , k ( x) Ck [ Ak cos k x Bk sin k x]; k 1, 2,3,.21) với các hằng số Ak , Bk đƣợc tính từ k. Từ phƣơng trình (1.20) có thể nhận đƣợc phƣơng trình tần số cho các trƣờng hợp điều kiện biên cổ điển nhƣ sau.
Đối với thanh một đầu ngàm một đầu tự do với các hằng số 1 0 0, 0 1 1 ta đƣợc cos 0.22) Tƣơng tự, xét thanh có hai đầu ngàm, khi đó 0 1 0, 0 1 1 và cuối cùng sin 0.23) Trong trƣờng hợp thanh có hai đầu tự do với 0 1 1, 0 1 0 ta đƣợc phƣơng trình (1. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 9 Kết thúc phần này, ta xét hàm dạng tổng quát (1.17) thỏa mãn điều kiện biên tổng quát bên trái (tức x=0) 0U (0) 0U x (0) 0 .26) Trong đó C là một hằng số tùy ý. Nhƣ vậy cuối cùng ta đƣợc L 0 ( x, ) C ( 0 sin x 0 cos x).27) Nghiệm này sử dụng để nghiên cứu dao động của thanh có vết nứt ở phần sau. Dao động của thanh có vết nứt e1 e2 en a1 a2 .2: 2 Mô hình thanh có vết nứt.
n Xét một thanh đàn hồi có tiết diện không đổi và các hằng số E – mô đun đàn hồi; ρ – khối lƣợng riêng; F – diện tích tiết diện ngang; L – chiều dài thanh. Giả sử thanh chứa n biết nứt ngang tại các vị trí e1 ,., en và có độ sâu tƣơng ứng là a1 ,. Vết nứt đƣợc mô tả bằng lò xo dọc trục có độ cứng là K j , j 1,., n đƣợc tính từ độ sâu vết nứt theo các công thức cho trong Phụ lục 1. Ta đã thiết lập đƣợc phƣơng trình dao động riêng của thanh có dạng U ( x) 2U ( x) 0, x (0,1), L / E .28) Tại các vết nứt nghiệm của phƣơng trình (1.28) phải thỏa mãn điều kiện EFU (e j 0) EFU (e j 0) EFU (e j ) ; (1., n hay U (e j 0) U (e j 0) U (e j ) U (e j 0) U (e j 0) jU (e j ), j EF / LK j , j 1,.30) Ký hiệu nghiệm của phƣơng trình (1.12) giữa hai vết nứt (e j 1 , e j ), j 1,., n 1, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10 khi đó các hàm này phải thỏa mãn điều kiện (1.30) đƣợc viết lại thành U j 1 (e j 0) U j (e j 0) U j (e j ); (1.
Ta có thể chứng minh đƣợc rằng các hàm U j 1 ( x), x (e j , e j 1 ) đƣợc biểu diễn ở dạng U j 1 ( x) U j ( x) jU j (e j ) cos ( x e j ), j 1,.32) trong đó U j (x) nghiệm phƣơng trình (1. Thật vậy, do U j (x) đƣợc mở rộng để thỏa mãn phƣơng trình (1.28) trong khoảng (e j , e j 1 ) và hàm cos ( x e j ) luôn thỏa mãn phƣơng trình (1.28) trong khoảng (e j , e j 1 ) , nên biểu thức (1.32) là tổng của hai nghiệm phƣơng trình (1.28) trong khoảng (e j , e j 1 ) sẽ là nghiệm của phƣơng trình (1.28) trong khoảng này. Mặt khác sử dụng (1.32) thỏa mãn điều kiện (1. Từ công thức truy hồi (1.32) ta có thể biểu diễn nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.35) j 1 trong đó L0 ( x) 0 sin x 0 cos x là nghiệm liên tục của phƣơng trình (1.28) thỏa mãn điều kiện biên tại x 0 , C là hằng số xác định từ điều kiện biên bên phải tại x 1 và cos x, x 0 K ( x) (1., n đƣợc tính công thức truy hồi j 1 j j [ L0 (e j ) k sin (e j ek )], j 1,.37) k 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 Để chứng minh (1.35) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.28) thỏa mãn điều kiện bên bên trái và các điều kiện tƣơng thích (1.31) ta chỉ cần chứng minh biểu thức (1.
Thật vậy, ta có thể chứng minh bằng phƣơng pháp quy nạp toán học nhƣ sau.35) là nghiệm của phƣơng trình (1.28) thỏa mãn điều kiện biên bên trái. Điều này chứng tỏ điều cần chứng minh đúng cho j, tức là n U ( x) C[ L0 ( x) j K ( x e j )] j 1 j 1 (1. Bây giờ ta phải chứng minh điều cần chứng minh đúng với j+1.