I. Một số tính chất của ánh xạ đa trị theo nón
Chương này trình bày các khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị theo nón, bao gồm cân bằng, đa trị, và tính liên tục. Các khái niệm như điểm hữu hiệu và tính lồi được phân tích chi tiết. Đặc biệt, định lý Banach-Steinhaus được mở rộng cho các hàm lồi, từ đó xây dựng điều kiện cần và đủ cho tính C-liên tục của ánh xạ đa trị. Tính Lipschitz cũng được xem xét, cho thấy mối liên hệ giữa tính Lipschitz và tính lồi, liên tục. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các bài toán tối ưu hóa.
1.1. Khái niệm nón
Khái niệm nón đóng vai trò quan trọng trong tối ưu hóa. Nón được định nghĩa là tập hợp các điểm trong không gian tuyến tính, với các tính chất như nón lồi và nón nhọn. Các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa cho các loại nón khác nhau, từ nón tầm thường đến nón đa diện. Mối quan hệ thứ tự trên nón cũng được thiết lập, cho thấy tính chất phản xạ và bắc cầu. Điều này tạo nền tảng cho việc nghiên cứu các điểm hữu hiệu trong không gian tôpô tuyến tính.
1.2. Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị
Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị được định nghĩa và phân tích. Ánh xạ đa trị F từ không gian X vào Y được xem xét với các điều kiện cần và đủ cho tính C-liên tục. Các điều kiện này liên quan đến việc tồn tại lân cận trong không gian, từ đó dẫn đến các kết luận về tính liên tục của ánh xạ. Mối quan hệ giữa tính liên tục và dãy suy rộng cũng được làm rõ, cho thấy sự quan trọng của tính liên tục trong các bài toán tối ưu hóa và lý thuyết điểm cân bằng.
II. Bài toán cân bằng vectơ đa trị
Chương này tập trung vào bài toán cân bằng vectơ đa trị, một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết ánh xạ đa trị. Bài toán được phân tích từ các khía cạnh khác nhau, bao gồm bài toán cân bằng vô hướng và các bài toán liên quan. Các điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán cân bằng vô hướng được trình bày, cùng với các ứng dụng thực tiễn như bài toán tối ưu vectơ và bài toán điểm yên ngựa. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực như kinh tế và kỹ thuật.
2.1. Bài toán cân bằng vô hướng
Bài toán cân bằng vô hướng được nghiên cứu với các điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm. Các phương pháp giải quyết bài toán này được trình bày, cùng với các ví dụ minh họa. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như kinh tế và quản lý. Các kết quả này cho thấy tầm quan trọng của lý thuyết cân bằng trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn.
2.2. Ứng dụng của bài toán cân bằng đa trị
Ứng dụng của bài toán cân bằng đa trị được trình bày qua các bài toán cụ thể như bài toán điểm hữu hiệu của tập hợp và bài toán tối ưu vectơ. Các điều kiện tồn tại nghiệm cho các bài toán này được phân tích, cho thấy mối liên hệ giữa lý thuyết và thực tiễn. Những ứng dụng này không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học xã hội.
