Chương 1. Một số phương pháp cơ bản. Chương này trình bày các phương pháp cơ bản được vận dụng để giải các bài toán hình học tổ hợp như: Nguyên lí Đirichlê; nguyên lí cực hạn; phương pháp đồ thị, tô màu; phương pháp tạo đa giác bao; phương pháp mở rộng, thu nhỏ một hình. Ngoài ra phương pháp phản chứng cũng được sử dụng nhiều nhưng đan xen cùng các phương pháp khác.
Một số dạng toán hình học tổ hợp thường gặp. Chương này đưa ra các bài toán hình học tổ hợp cụ thể, đã được sắp xếp theo từng dạng: Hệ điểm và đường thẳng; điểm nằm trong hình; hình nằm trong hình; phủ hình; hình giao nhau; đếm các yếu tố hình học; đánh giá độ dài, góc, diện tích. Một số bài hình học tổ hợp trong các đề thi. Chương này đưa ra một số bài hình học tổ hợp có trong các đề thi học sinh giỏi lớp 9 các tỉnh, các đề thi tuyển sinh THPT chuyên, các đề thi Olympic Toán học.
2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để hoàn thành được luận văn này, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS Vũ Đỗ Long đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ bảo, tận tình giúp đỡ em trong quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện luận văn. Qua đây em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập tại trường. Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2015 Học viên Trần Thị Liên 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chƣơng 1 Một số phƣơng pháp cơ bản Trước khi đi vào một số phương pháp cơ bản để giải bài toán hình học tổ hợp, ta xét các khái niệm sau + Một hình F được gọi là lồi nếu với hai điểm A và B bất kì thuộc F , thì đoạn thẳng nối hai điểm A , B cũng thuộc F. + Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì trong một hình lồi là đường kính của hình lồi đó.
Nguyên lí Đirichlê Người đầu tiên đề xuất nguyên lí này được cho là nhà toán học Đức Johann Đirichlê khi ông đề cập tới nguyên lí với tên gọi “nguyên lí ngăn kéo” (The Drawer Principle). Ngoài ra nguyên lí này còn được biết đến như nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) hoặc nguyên lí những cái lồng nhốt thỏ. Nguyên lí này được Đirichlê phát biểu đầu tiên năm 1834. “Nguyên lý Đirichlê ở dạng cổ điển thường được dùng để chứng minh tồn tại theo kiểu không xây dựng (non-constructive), tức là biết đối tượng tồn tại nhưng không chỉ ra cụ thể.” (Trích bài giảng Các phương pháp và kỹ thuật chứng minh, trình bày tại chương trình Gặp gỡ toán học 2010 do ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1 - 31/1/2010.) a) Nguyên lí Đirichlê cơ bản Nhốt n 1 thỏ vào n lồng thì tồn tại một lồng có ít nhất hai thỏ.
b) Nguyên lí Đirichlê tổng quát Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp, N không chia hết cho k , thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất N 1 đồ vật. k (Ở đây, x là số nguyên lớn nhất có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x .) 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn N 1 vật. Khi đó tổng số đồ vật nhỏ hơn hoặc k N bằng k N. k Điều này mâu thuẫn với giả thiết có N đồ vật được đặt vào hộp.
c) Nguyên lí Đirichlê đối ngẫu Cho tập hữu hạn S , và S1 , S2 ,., Sn là các tập con của S sao cho S1 S2 . Khi đó, tồn tại một phần tử x thuộc S sao cho x là phần tử chung của k 1 tập Si , i 1, n. Ở đây S là số phần tử của tập hợp S. Si , i 1, n là số phần tử của các tập hợp Si.
d) Nguyên lí Đirichlê cho diện tích Nếu K là một hình phẳng, K1 , K2 ,., Kn là các hình phẳng sao cho Ki K với i 1, n , và | K || K1 | | K2 | . Ở đây K là diện tích của hình phẳng K , còn | Ki | là diện tích hình phẳng K i , i 1, n. Khi đó, tồn tại ít nhất hai hình phẳng Ki , K j , (1 i j n ) sao cho Ki , K j có điểm trong chung. e) Nguyên lí Đirichlê vô hạn Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo thì phải có ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn các quả táo.
f) Nguyên lí Đirichlê đối với đoạn thẳng Ta kí hiệu d ( I ) là độ dài của đoạn thẳng I nằm trong ¡. Cho A là một đoạn thẳng, A1 , A2 ,., An là các đoạn thẳng sao cho Ai A, i 1, n và d ( A) d ( A1 ) d ( A2 ) . 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi đó ít nhất có hai đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng trên có một điểm trong chung. Chứng minh Giả sử không có hai đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng đã cho có điểm trong chung.
Mà từ Ai A, i 1, n , ta có d ( A1 A2 . Hai bất đẳng thức trên mâu thuẫn với nhau nên điều giả sử là sai. Vậy có ít nhất có hai đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng trên có một điểm trong chung. Nguyên lí Đirichlê thường liên quan đến các bài toán thi đấu thể thao, chia hết, nguyên tố cùng nhau, đồ thị, tô màu, quen nhau và các bài toán hình học.
Ở đây chỉ đưa ra một số bài toán cơ bản sau. Bên trong tam giác đều ABC cạnh bằng 2 m đặt năm điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1m. Lời giải Ba đường trung bình của tam giác đều cạnh 2 m sẽ chia nó ra thành bốn tam giác đều có cạnh 1m (hình 1).
Ta có năm điểm đặt trong bốn tam giác. Do đó theo nguyên lí Đirichlê, tồn tại một tam giác nhỏ mà trong đó có ít nhất hai điểm đã cho, và các điểm đó không thể rơi vào các đỉnh của tam giác ABC. Vậy khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1m. 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Trên mặt phẳng cho 43 điểm. Trong đó cứ ba điểm bất kì luôn luôn tìm được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 22 điểm đã cho. Lời giải Lấy A là một trong số 43 điểm đã cho.
Xét hình tròn ( A;1). Chỉ có hai khả năng sau có thể xảy ra + Nếu tất cả các điểm đã cho nằm trong hình tròn ( A;1) thì kết luận của bài toán là đúng. + Tồn tại điểm B A ( B thuộc trong số 43 điểm đã cho), sao cho B ( A;1). Xét hình tròn ( B;1).
Lấy C là điểm bất kì trong số 43 điểm đã cho sao cho C A, C B. Theo giả thiết và dựa vào AB 1, ta có Min CA, CB 1. Vì C là điểm bất kì trong số 43 điểm đã cho sao cho C A, C B nên các hình tròn ( A;1) , ( B;1) chứa tất cả 43 điểm đã cho. Vì thế theo nguyên lí Đirichlê, một trong hai hình tròn trên chứa không ít hơn 22 điểm đã cho.
Ta có điều cần chứng minh. Tổng quát Cho 2n 1 điểm trên mặt phẳng (với n 3 ). Biết trong đó cứ ba điểm bất kì luôn luôn tìm được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Khi đó tồn tại hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn n 1 điểm đã cho.
7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Cho một hình vuông có diện tích bằng 1. Người ta đặt vào trong hình vuông một cách tùy ý 101 điểm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác với 1 ba đỉnh là các điểm trong số các điểm đã cho có diện tích không quá.
Ta chia hình vuông ABCD thành 50 hình chữ nhật bằng nhau có diện tích 1 bằng cách sau 50 + Chia cạnh AB thành 10 đoạn liên tiếp bằng nhau. + Chia cạnh AD thành 5 đoạn liên tiếp bằng nhau. Khi đặt 101 điểm vào trong 50 hình chữ nhật thì ít nhất một hình chữ nhật chứa ba điểm. Giả sử hình chữ nhật đó chứa ba điểm M , N , K.
Khi đó diện tích MNK không lớn hơn một nửa diện tích hình chữ nhật chứa nó tức 1 là không lớn hơn. Điều đó có nghĩa là tồn tại ít nhất một tam giác với ba đỉnh 100 1 là các điểm trong số các điểm đã cho có diện tích không quá. 100 Tương tự ta có bài toán sau Bài 1. Trong hình vuông có cạnh bằng 1 , đặt 201 điểm phân biệt.
Chứng minh 1 rằng có ít nhất ba trong số 201 điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính. Chia hình vuông đã cho thành 100 hình vuông nhỏ bằng nhau có cạnh 1 bằng. Theo nguyên lí Đirichlê, tồn tại ít nhất một hình vuông nhỏ, chẳng hạn 10 hình vuông a chứa ít nhất ba trong số 201 điểm đó. Đường tròn ngoại tiếp hình 1 1 vuông a có bán kính .
10 2 14 Vậy ba điểm nói trên nằm trong hình tròn đồng tâm với hình vuông a và có bán 1 kính. 14 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tổng quát. Ta có thể tổng quát hóa bài toán trên với a là kích thước của cạnh hình vuông, m là số điểm đặt bất kì, phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất n trong số a m điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính .