## Tổng quan nghiên cứu

Trong bối cảnh đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục theo Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013, việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, đặc biệt là nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT, trở thành một yêu cầu cấp thiết. Nội dung này chiếm 14 tiết trong chương trình Giải tích lớp 11, bao gồm các khái niệm giới hạn của dãy số, hàm số, giới hạn một bên, giới hạn vô cực và tính liên tục của hàm số. Tuy nhiên, nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc tiếp thu các khái niệm trừu tượng và vận dụng các định lý, quy tắc tính giới hạn, dẫn đến sai lầm phổ biến trong học tập và giải toán.

Mục tiêu nghiên cứu nhằm khảo sát thực trạng khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số, từ đó đề xuất các biện pháp sư phạm hiệu quả để khắc phục những khó khăn này, góp phần nâng cao năng lực giải toán và chất lượng học tập môn Toán ở trường phổ thông. Nghiên cứu được thực hiện tại trường THPT Chuyên Thái Nguyên trong giai đoạn 2017-2019, với đối tượng là học sinh lớp 11 và giáo viên dạy Toán.

Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc hỗ trợ giáo viên đổi mới phương pháp dạy học, giúp học sinh phát triển tư duy liên tục, biến thiên, đồng thời nâng cao kỹ năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng rộng rãi trong các trường THPT nhằm cải thiện hiệu quả dạy và học môn Toán.

## Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

### Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên các lý thuyết và mô hình sau:

- **Lý thuyết chướng ngại học tập**: Phân biệt giữa khó khăn và chướng ngại, trong đó chướng ngại sư phạm là những trở ngại do phương pháp dạy học chưa phù hợp, có thể khắc phục bằng biện pháp sư phạm hợp lý.
- **Lý thuyết đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực**: Nhấn mạnh việc học tập tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, phát triển năng lực tư duy và vận dụng kiến thức.
- **Mô hình tiếp cận khái niệm toán học**: Bao gồm ba con đường chính là qui nạp, suy diễn và kiến thiết, giúp học sinh hình thành và củng cố khái niệm trừu tượng về giới hạn và tính liên tục.
- **Khái niệm chuyên ngành**: Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn vô cực, hàm số liên tục tại điểm và trên khoảng, các định lý về giới hạn và tính liên tục.
- **Quy trình dạy học khái niệm và định lý**: Bao gồm dẫn nhập, hình thành, củng cố, vận dụng và phát triển khái niệm, định lý thông qua các hoạt động nhận dạng, thể hiện, ngôn ngữ và bài tập.

### Phương pháp nghiên cứu

- **Nguồn dữ liệu**: Thu thập từ khảo sát thực trạng dạy và học tại trường THPT Chuyên Thái Nguyên, phỏng vấn 5 giáo viên dạy Toán và khảo sát 60 học sinh lớp 11.
- **Phương pháp phân tích**: Sử dụng phương pháp điều tra, quan sát, phỏng vấn trực tiếp, phân tích thống kê mô tả và đánh giá định lượng kết quả thực nghiệm sư phạm.
- **Thời gian nghiên cứu**: Từ năm 2017 đến 2019, bao gồm giai đoạn khảo sát thực trạng, đề xuất biện pháp và thực nghiệm sư phạm.
- **Cỡ mẫu và chọn mẫu**: Lựa chọn ngẫu nhiên 60 học sinh lớp 11 và 5 giáo viên dạy Toán tại trường THPT Chuyên Thái Nguyên nhằm đảm bảo tính đại diện và độ tin cậy của kết quả.
- **Thực nghiệm sư phạm**: Áp dụng các biện pháp sư phạm đề xuất vào giảng dạy thực tế, đánh giá hiệu quả qua kết quả kiểm tra và phản hồi của học sinh, giáo viên.

## Kết quả nghiên cứu và thảo luận

### Những phát hiện chính

- Khoảng 80% học sinh gặp khó khăn trong việc nắm bắt bản chất khái niệm và định lý về giới hạn và tính liên tục, dẫn đến sai lầm phổ biến trong giải toán.
- 60% học sinh mắc sai lầm về cú pháp, ngữ nghĩa và vận dụng định lý, công thức không chính xác.
- 40% học sinh có kỹ năng biến đổi đại số và kỹ năng tính toán còn hạn chế, ảnh hưởng đến kết quả học tập.
- Giáo viên cho biết việc dạy học chủ đề này còn mang tính truyền thống, tập trung vào luyện tập bài tập mà chưa chú trọng phát triển tư duy và nhận thức sâu sắc cho học sinh.

### Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính của những khó khăn và sai lầm trên là do tính trừu tượng của nội dung giới hạn và tính liên tục, đòi hỏi học sinh phải chuyển đổi tư duy từ “rời rạc” sang “liên tục” và “biến thiên”. Việc thiếu các hình ảnh trực quan, phản ví dụ và phương pháp dạy học tích cực khiến học sinh khó tiếp cận và hiểu sâu sắc các khái niệm. So với các nghiên cứu trong ngành giáo dục toán học, kết quả này phù hợp với xu hướng chung về khó khăn trong dạy học Giải tích ở phổ thông.

Việc áp dụng các biện pháp sư phạm như sử dụng phần mềm hỗ trợ, khai thác phản ví dụ, rèn luyện kỹ năng giải bài tập theo quy trình Polya và xây dựng hệ thống bài tập phân bậc được đánh giá là có hiệu quả trong việc nâng cao nhận thức và kỹ năng của học sinh. Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy tỉ lệ học sinh đạt điểm kiểm tra sau thực nghiệm tăng khoảng 20% so với trước khi áp dụng biện pháp.

Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ tỉ lệ điểm kiểm tra trước và sau thực nghiệm, bảng thống kê các loại sai lầm và mức độ đồng thuận của giáo viên về nguyên nhân sai lầm.

## Đề xuất và khuyến nghị

- **Áp dụng phần mềm hỗ trợ dạy học**: Sử dụng các công cụ trực quan hóa để hình thành biểu tượng khái niệm trừu tượng, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận nội dung giới hạn và tính liên tục. Mục tiêu tăng 30% sự hiểu biết khái niệm trong vòng 1 học kỳ, do giáo viên và nhà trường phối hợp thực hiện.
- **Tăng cường sử dụng phản ví dụ trong giảng dạy**: Giúp học sinh nhận diện và sửa chữa sai lầm, củng cố nội hàm khái niệm. Mục tiêu giảm 25% sai lầm phổ biến trong bài tập về giới hạn, áp dụng liên tục trong các tiết học lý thuyết.
- **Rèn luyện kỹ năng giải bài tập theo quy trình Polya**: Phát triển năng lực tư duy giải quyết vấn đề, tăng khả năng vận dụng kiến thức. Mục tiêu nâng cao 20% điểm trung bình bài tập, thực hiện qua các buổi học nhóm và bài tập về nhà.
- **Xây dựng hệ thống bài tập phân bậc**: Từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh tiếp nhận kiến thức một cách có hệ thống và phát triển dần dần. Mục tiêu tăng 15% số học sinh đạt loại khá giỏi trong kỳ thi cuối kỳ, do giáo viên bộ môn chủ trì xây dựng và áp dụng.
- **Tổ chức tập huấn nâng cao năng lực cho giáo viên**: Cập nhật kiến thức, phương pháp dạy học tích cực và kỹ năng sử dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy. Mục tiêu 100% giáo viên tham gia tập huấn trong năm học tiếp theo.

## Đối tượng nên tham khảo luận văn

- **Giáo viên Toán THPT**: Nắm bắt các biện pháp sư phạm hiệu quả để nâng cao chất lượng giảng dạy nội dung giới hạn và tính liên tục, từ đó cải thiện kết quả học tập của học sinh.
- **Nhà quản lý giáo dục**: Áp dụng kết quả nghiên cứu để xây dựng chính sách đào tạo, bồi dưỡng giáo viên và phát triển chương trình giảng dạy phù hợp với xu hướng đổi mới giáo dục.
- **Sinh viên ngành Sư phạm Toán**: Học tập phương pháp dạy học hiện đại, hiểu rõ các khó khăn học sinh gặp phải và cách khắc phục trong quá trình giảng dạy.
- **Nghiên cứu sinh và nhà khoa học giáo dục**: Tham khảo mô hình nghiên cứu, phương pháp khảo sát và thực nghiệm sư phạm để phát triển các đề tài nghiên cứu liên quan đến đổi mới phương pháp dạy học môn Toán.

## Câu hỏi thường gặp

1. **Tại sao học sinh gặp khó khăn khi học nội dung giới hạn và tính liên tục?**  
   Nội dung có tính trừu tượng cao, đòi hỏi chuyển đổi tư duy từ rời rạc sang liên tục, nhiều khái niệm mới lạ và khó trực quan hóa, gây khó khăn trong nhận thức và vận dụng.

2. **Các sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề này là gì?**  
   Sai lầm về nắm bắt bản chất khái niệm, vận dụng định lý, công thức sai, kỹ năng biến đổi đại số kém và thiếu kỹ năng trình bày lời giải rõ ràng.

3. **Biện pháp nào giúp học sinh hiểu sâu hơn về khái niệm giới hạn?**  
   Sử dụng phản ví dụ, phần mềm hỗ trợ trực quan, rèn luyện kỹ năng giải bài tập theo quy trình và xây dựng hệ thống bài tập phân bậc giúp học sinh tiếp cận khái niệm một cách hiệu quả.

4. **Làm thế nào để giáo viên nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này?**  
   Giáo viên cần đổi mới phương pháp dạy học, tăng cường hoạt động tương tác, sử dụng công nghệ hỗ trợ, tổ chức thực nghiệm sư phạm và tham gia các khóa tập huấn nâng cao năng lực.

5. **Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy hiệu quả của các biện pháp đề xuất như thế nào?**  
   Sau thực nghiệm, tỉ lệ học sinh đạt điểm kiểm tra cao tăng khoảng 20%, giảm sai lầm phổ biến và nâng cao sự chủ động, tích cực trong học tập.

## Kết luận

- Nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số là chủ đề trọng tâm và khó trong chương trình Giải tích lớp 11, đòi hỏi đổi mới phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả.
- Học sinh gặp nhiều khó khăn và sai lầm chủ yếu do tính trừu tượng của khái niệm và phương pháp dạy học truyền thống chưa phù hợp.
- Các biện pháp sư phạm như sử dụng phần mềm hỗ trợ, phản ví dụ, rèn luyện kỹ năng giải bài tập theo quy trình và xây dựng bài tập phân bậc đã được đề xuất và thực nghiệm thành công.
- Kết quả thực nghiệm cho thấy sự cải thiện rõ rệt về năng lực học sinh và chất lượng dạy học.
- Đề nghị các trường THPT, giáo viên và nhà quản lý giáo dục áp dụng các biện pháp này trong năm học tới để nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán.

Triển khai tập huấn giáo viên, áp dụng biện pháp trong giảng dạy thực tế và tiếp tục nghiên cứu mở rộng để hoàn thiện phương pháp dạy học.

**Kêu gọi:** Các nhà giáo dục và quản lý hãy cùng chung tay đổi mới phương pháp dạy học để phát huy tối đa năng lực học sinh trong môn Toán, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông.