Tổng quan luận án

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong thực tiễn, nhiều quá trình kỹ thuật, cơ học, vật lý, sinh học và kinh tế được mô tả toán học thông qua các mô hình hệ động lực và hệ điều khiển. Ba tính chất định tính cơ bản của một hệ điều khiển là tính điều khiển được, tính ổn định và tính ổn định hóa được. Khi các tham số cấu trúc của hệ thống chịu tác động bởi các sai số mô hình hóa hoặc nhiễu từ môi trường bên ngoài, việc đánh giá khả năng bảo toàn các tính chất định tính này được gọi là bài toán nghiên cứu tính bền vững. Để định lượng khả năng bảo toàn tính chất định tính, các nhà toán học sử dụng khái niệm bán kính bảo toàn (khoảng cách ngắn nhất từ một hệ có tính chất đang xét đến tập các hệ không còn giữ được tính chất đó).

Trong khi lý thuyết ổn định vững của hệ tuyến tính chịu nhiễu đã được phát triển tương đối hoàn chỉnh với nhiều công trình công bố về bán kính ổn định thực, bán kính ổn định phức, hệ dương, hệ có chậm và hệ vô hạn chiều, các nghiên cứu định lượng tương ứng cho tính điều khiển được chịu nhiễu vẫn còn tồn tại nhiều khoảng trống:

  • Các công thức bán kính điều khiển được phức dưới nhiễu không cấu trúc của R. Eising hay công thức dưới nhiễu cấu trúc của D. Kressner đều bị ràng buộc bởi các giả thiết ngặt nghèo (đo bằng chuẩn phổ, ma trận cấu trúc nhiễu phải có hạng đầy đủ theo cột). Chưa có một cách tiếp cận tổng quát cho bài toán bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc và đa nhiễu cấu trúc với chuẩn toán tử tùy ý.
  • Đối với hệ điều khiển có ràng buộc, các nghiên cứu trước đây chỉ khảo sát nhiễu tác động lên các ma trận hệ số mà chưa giải quyết bài toán khi chính miền tham số điều khiển (tập nón lồi ràng buộc) bị nhiễu và biến dạng.
  • Vấn đề tìm bán kính bảo toàn tính toàn ánh của ánh xạ tuyến tính dưới nhiễu cấu trúc tổng quát chưa có công thức tường minh đơn giản để có thể áp dụng trực tiếp cho các hệ động lực phức tạp như hệ descriptor (hệ đại số vi phân) và hệ động lực ẩn trên thang thời gian.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án tập trung giải quyết các mục tiêu chính sau:

  1. Xây dựng phương pháp tiếp cận thống nhất dựa trên lý thuyết toán tử đa trị tuyến tính để thiết lập công thức tính bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới nhiễu cấu trúc và đa nhiễu cấu trúc trong trường hợp tổng quát với các chuẩn toán tử tùy ý.
  2. Thiết lập định lượng đo độ lệch giữa các nón và xác định công thức bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính có ràng buộc khi miền tham số điều khiển chịu nhiễu.
  3. Thiết lập công thức bán kính toàn ánh dưới nhiễu cấu trúc và đa nhiễu cấu trúc, từ đó ứng dụng để tính bán kính ổn định hóa được của hệ tuyến tính, bán kính ổn định của hệ động lực ẩn trên thang thời gian, và các bán kính điều khiển được của hệ descriptor cấp một cũng như cấp cao.
  4. Xây dựng thuật toán có độ phức tạp đa thức nhằm tính toán số trị bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc.

Câu hỏi và giả thuyết nghiên cứu

Các câu hỏi nghiên cứu được xác định theo văn bản gồm:

  1. Câu hỏi 1: Có thể sử dụng lý thuyết toán tử đa trị tuyến tính để thiết lập công thức tường minh cho bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc và đa nhiễu cấu trúc mà không cần giả thiết ma trận cấu trúc có hạng cột đầy đủ hay không?
  2. Câu hỏi 2: Khi miền tham số điều khiển dạng nón lồi bị biến dạng dưới tác động của nhiễu thì khoảng cách hình học được xác định ra sao, và công thức bán kính điều khiển được của miền tham số được tính như thế nào? Mức độ nhiễu tối đa cho phép trên các ma trận hệ số là bao nhiêu khi miền điều khiển bị nhiễu ở mức $\eta$?
  3. Câu hỏi 3: Công thức bán kính toàn ánh của toán tử ma trận dưới nhiễu cấu trúc có dạng tường minh như thế nào, và làm thế nào để áp dụng công thức này vào việc giải các bài toán bán kính ổn định hóa được, bán kính ổn định trên thang thời gian và bán kính điều khiển được của các lớp hệ descriptor?
  4. Câu hỏi 4: Làm thế nào để xây dựng thuật toán phân tích tập mức giá trị kì dị nhằm tính toán giá trị bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc với độ phức tạp tính toán khả thi?

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Tính bền vững của hệ động lực tuyến tính hữu hạn chiều; hệ điều khiển tuyến tính có ràng buộc tham số trên nón lồi; hệ động lực ẩn trên thang thời gian; hệ descriptor cấp một và hệ descriptor cấp cao.
  • Phạm vi không gian và thời gian: Không gian trạng thái hữu hạn chiều trên trường số thực $\mathbb{R}$ và trường số phức $\mathbb{C}$; thang thời gian $\mathbb{T}$ không bị chặn ($\sup \mathbb{T} = \infty$); các lớp ma trận đo bằng chuẩn toán tử tùy ý. Công trình được hoàn thành và bảo vệ trong giai đoạn 2011–2012 tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu liên quan trong văn bản

Tác giả đã điểm lại hệ thống các công trình nghiên cứu nền tảng và chuyên sâu:

  • Hướng nghiên cứu bán kính ổn định: Khởi xướng bởi D. Hinrichsen và A. J. Pritchard (1986, 1989) với công thức bán kính ổn định phức cho hệ vi phân $\dot{x} = Ax$ chịu nhiễu $\dot{x} = (A + D\Delta E)x$. Bán kính ổn định thực được nhóm của L. Qiu (1995) giải quyết bằng công thức phức tạp. D. Hinrichsen, N. K. Son (Nguyễn Khoa Sơn) và P. H. A. Anh (Phạm Hữu Anh Ngọc) (1998, 2000) chứng minh đối với hệ dương, bán kính ổn định thực và phức trùng nhau, đồng thời mở rộng cho hệ phương trình vi phân phiếm hàm và hệ chịu đa nhiễu. B. Jacob (2001), N. H. Du (Nguyễn Hữu Dư) và V. H. Linh (Vũ Hoàng Linh) (2006) mở rộng cho hệ thời gian biến thiên và hệ ẩn. Tính ổn định trong không gian vô hạn chiều được nghiên cứu bởi D. Hinrichsen, A. J. Pritchard, P. H. A. Anh và N. K. Son.
  • Hướng nghiên cứu tính điều khiển được và bán kính điều khiển được: R. E. Kalman (1960) và M. L. J. Hautus (1969) đặt nền móng cho các tiêu chuẩn đại số về tính điều khiển được. C. C. Paige (1981) đề xuất khái niệm khoảng cách đến tính không điều khiển được; R. Eising (1984) đưa ra công thức bán kính điều khiển được không cấu trúc; R. A. DeCarlo, M. Wicks (1991), G. X. Hu và E. J. Davison (2004) nghiên cứu công thức bán kính điều khiển được thực. D. Kressner (2005) đề xuất công thức bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc qua giả nghịch đảo Moore-Penrose nhưng yêu cầu ma trận $E$ có hạng cột đầy đủ và đo bằng chuẩn phổ. M. Megan et al. (2005) khảo sát hệ có ràng buộc dưới dạng quá trình lồi chịu nhiễu ma trận.
  • Hướng nghiên cứu bán kính toàn ánh: C. Eckart và G. Young (1936) nghiên cứu ma trận vuông dưới nhiễu không cấu trúc; J. M. Pena (2003) nghiên cứu nhiễu cấu trúc dạng khối trên đường chéo nhưng công thức nhận được phức tạp.
  • Hướng nghiên cứu hệ descriptor và hệ trên thang thời gian: R. Byers (1988) nghiên cứu tính điều khiển được impulse của hệ descriptor cấp một; M. Wang et al. (2000) khảo sát hệ descriptor; S. Hilger (1990), M. Bohner, A. Peterson (2001) và S. DaCunha (2005) phát triển giải tích trên thang thời gian.

Vị trí và khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án định vị trọng tâm vào việc khắc phục các hạn chế của các công trình đi trước thông qua việc sử dụng công cụ toán tử đa trị tuyến tính. Luận án mở rộng bài toán bán kính điều khiển được sang trường hợp ma trận cấu trúc $E$ tùy ý với chuẩn toán tử bất kỳ; giải quyết bài toán hoàn toàn mới về độ bền vững của hệ có ràng buộc khi miền tham số điều khiển nón lồi bị biến dạng; và tổng quát hóa lý thuyết bán kính toàn ánh để ứng dụng đồng thời cho hệ descriptor cấp cao và hệ động lực ẩn trên thang thời gian.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Lý thuyết, khái niệm và khung phân tích

Luận án xây dựng trên các khung lý thuyết toán học chuyên ngành:

  1. Lý thuyết toán tử đa trị tuyến tính: Toán tử $F: \mathbb{K}^n \rightrightarrows \mathbb{K}^m$ có đồ thị $\text{gr},F = {(x, y) \in \mathbb{K}^n \times \mathbb{K}^m : x \in \mathbb{K}^n, y \in F(x)}$ là không gian con tuyến tính; miền xác định $\text{dom},F = {x \in \mathbb{K}^n : F(x) \neq \emptyset}$; không gian nhân $\text{ker},F = {x \in \text{dom},F : 0 \in F(x)}$; toán tử liên hợp $F^*$ và toán tử nghịch đảo $F^{-1}$. Chuẩn của toán tử đa trị được xác định bởi $|F| = \sup_{x \in \text{dom},F, |x|=1} \inf_{y \in F(x)} |y|$.
  2. Lý thuyết điều khiển hệ tuyến tính: Tiêu chuẩn hạng Kalman $\text{rank}[B, AB, \dots, A^{n-1}B] = n$ và tiêu chuẩn hạng Hautus $\text{rank}[A - \lambda I, B] = n, \forall \lambda \in \mathbb{C}$.
  3. Hình học nón lồi và định lý Krein-Rutman: Nón lồi đóng $P \subset \mathbb{R}^m$ có đỉnh tại $0$, phần trong $\text{int}(P) \neq \emptyset$; nón liên hợp $P^* = {x \in \mathbb{R}^m : \langle x, u \rangle \ge 0, \forall u \in P}$; định lý Krein-Rutman về sự tồn tại véc tơ riêng trong nón liên hợp của họ toán tử giao hoán bảo toàn nón.
  4. Giải tích trên thang thời gian: Thang thời gian $\mathbb{T}$, toán tử bước nhảy tiến $\varsigma(t) = \inf{s \in \mathbb{T} : s > t}$, toán tử bước nhảy lùi $\varrho(t) = \sup{s \in \mathbb{T} : s < t}$, hàm hạt $\mu(t) = \varsigma(t) - t$, delta đạo hàm $f^\Delta(t)$, hàm thoái lui dương $\mathcal{R}^+$, hàm mũ $e_p(t, s)$ và miền ổn định mũ đều $\mathcal{S} = {\lambda \in \mathbb{C} : x^\Delta = \lambda x \text{ ổn định mũ đều}}$.

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp giải tích hàm và toán tử đa trị: Biểu diễn các quan hệ đại số dưới dạng toán tử đa trị nghịch đảo $W_\lambda^{-1} = [A - \lambda I, B]^{-1}$ để xử lý bài toán ma trận không khả nghịch hoặc thiếu chiều, đánh giá chuẩn toán tử qua Định lý Hahn-Banach.
  • Phương pháp hình học lồi và tối ưu: Thiết lập hàm khoảng cách có hướng giữa các nón, sử dụng phép chiếu trực giao và tối ưu hóa phi lồi trên mặt cầu đơn vị.
  • Phương pháp giải tích số và đại số ma trận: Phân tích tập mức giá trị kì dị, kết hợp kỹ thuật ma trận nghịch đảo và thuật toán chia đôi theo tiếp cận của M. Gu để tính toán giá trị bán kính.

Nguồn tư liệu và dữ liệu

Nguồn tư liệu sử dụng trong luận án bao gồm các hệ thống định lý, bổ đề toán học thuần túy được trích xuất từ các sách chuyên khảo chuẩn mực (Jerzy Zabczyk, M. Bohner, A. Peterson) và các bài báo khoa học chuyên ngành đăng tải trên các tạp chí quốc tế và trong nước.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các kết quả cơ sở làm nền tảng cho toàn bộ luận án:

  • Trình bày chi tiết lý thuyết toán tử đa trị tuyến tính $F: \mathbb{K}^n \rightrightarrows \mathbb{K}^m$. Với chuẩn Euclid, chứng minh mệnh đề: nếu $y \in F(x)$ và $y^* \in F(0)^\bot$ thì $d(0, F(x)) = |y|$.
  • Chứng minh các đẳng thức cấu trúc của toán tử liên hợp và nghịch đảo: $(F^)^ = F$, $(F^)^{-1} = (F^{-1})^$, $|F| = |F^|$, $\text{ker},F^ = (\text{Im},F)^\bot$, và $F(0) = (\text{dom},F^*)^\bot$.
  • Thiết lập điều kiện toàn ánh: toán tử $F$ là toàn ánh khi và chỉ khi $F^$ là đơn ánh, tương đương với $(F^)^{-1}$ là đơn trị. Thiết lập bất đẳng thức chuẩn tích toán tử $|GF| \le |G| |F|$ khi $F(0) \subset \text{dom},G$ và $(GF)^* = F^* G^*$ khi $\text{Im},F \subset \text{dom},G$.
  • Tổng hợp các tiêu chuẩn điều khiển được của hệ $\dot{x} = Ax + Bu$ thông qua ma trận điều khiển được $Q_T = \int_0^T S(r)BB^* S^*(r)dr$, điều kiện hạng Kalman và điều kiện hạng Hautus.
  • Trình bày tiêu chuẩn điều khiển được toàn cục của hệ có ràng buộc điều khiển $u \in \Omega$ ($\Omega$ là nón lồi đỉnh $0$, $\text{int}(\Omega) \neq \emptyset$) dựa trên định lý Krein-Rutman: hệ điều khiển được khi và chỉ khi $\text{rank}[A|B] = n$ và không tồn tại véc tơ riêng $f$ ứng với giá trị riêng thực $\lambda$ của $A^*$ thỏa mãn $\langle f, Bu \rangle \ge 0, \forall u \in \Omega$.
  • Trình bày định nghĩa ổn định mũ đều trên thang thời gian $\mathbb{T}$ không bị chặn, chứng minh miền ổn định $\mathcal{S}$ là tập mở trong $\mathbb{C}$, và cụ thể hóa $\mathcal{S}$ trên các thang thời gian đặc thù:
Thang thời gian $\mathbb{T}$ Miền ổn định mũ đều $\mathcal{S}$
$\mathbb{T} = \mathbb{R}$ (liên tục) $\mathcal{S} = {\lambda \in \mathbb{C} : \text{Re},\lambda < 0}$
$\mathbb{T} = h\mathbb{Z}, h > 0$ (rời rạc) $\mathcal{S} = {\lambda \in \mathbb{C} :
$\mathbb{T} = \bigcup_{k=0}^\infty [2k, 2k+1]$ (hỗn hợp) $\mathcal{S} = {\lambda \in \mathbb{C} : \text{Re},\lambda + \ln

Chương 2: Hệ có ràng buộc với miền tham số điều khiển bị nhiễu

Chương 2 giải quyết bài toán xác định bán kính điều khiển được khi miền tham số điều khiển $P \subset \mathbb{R}^m$ của hệ $\dot{x} = Ax + Bu, u \in P$ bị nhiễu thành nón $\tilde{P}$:

  • Đưa ra định nghĩa khoảng cách có hướng từ nón $P$ đến nón $Q$: $$\rho(P, Q) = \sup {d(x, Q) : x \in P, |x| = 1}$$
  • Chứng minh các tính chất hình học:
    1. $0 \le \rho(P, Q) \le 1$.
    2. $\rho(P, Q) = 0 \iff P \subset \bar{Q}$.
    3. Khi $P$ đóng: $\rho(P, Q) = 1 \iff \exists x \in P : \langle x, u \rangle \le 0, \forall u \in Q$.
    4. Bất đẳng thức tam giác: $\rho(K, Q) \le \rho(K, P) + \rho(P, Q)$.
    5. Tính chất đối ngẫu giữa hai nón lồi đóng: $\rho(P, Q) = \rho(Q^, P^)$.
  • Chứng minh bổ đề hình học: với mọi $x \in \mathbb{R}^n$, $\min{d(x, P), d(-x, P)} = \sqrt{|x|^2 - \left(\sup_{u \in P, |u|=1} |\langle x, u \rangle|\right)^2}$.
  • Thiết lập tiêu chuẩn tương đương cho tính điều khiển được của hệ $(A, B, P)$: (i) $\text{span}{BP, ABP, \dots, A^{n-1}BP} = \mathbb{R}^n$; (ii) $B^(\text{ker}(A^ - \lambda I)) \cap P^* = {0}, \forall \lambda \in \mathbb{R}$.
  • Chứng minh công thức tường minh tính bán kính điều khiển được của miền tham số $r_{A,B}(P) = \inf {\rho(P, \tilde{P}) : (A, B, \tilde{P}) \text{ không điều khiển được}}$: $$r_{A,B}(P) = \min_{\lambda \in \sigma_{\mathbb{R}}(A^)} \inf_{x \in S_\lambda^m} \sqrt{|x|^2 - \sup_{u \in S_P^{m}} |\langle x, u \rangle|^2}$$ (Quy ước $r_{A,B}(P) = 1$ nếu $\sigma_{\mathbb{R}}(A^) = \emptyset$), trong đó $S_\lambda^m = S^m \cap B^(\text{ker}(A^* - \lambda I))$ và $S_P^{m*} = S^m \cap P^*$.
  • Khảo sát trường hợp đồng thời cả ma trận $(A, B)$ chịu nhiễu $(A + \Delta_1, B + \Delta_2)$ và miền $P$ chịu nhiễu mức $\rho(P, \tilde{P}) \le \eta$, đưa ra bán kính $r(A, B, \eta)$ và đánh giá giới hạn nhiễu cho phép của ma trận hệ số.

Chương 3: Hệ điều khiển tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc

Chương 3 tập trung vào hệ tuyến tính $\dot{x} = Ax + Bu$ chịu nhiễu cấu trúc $[\tilde{A}, \tilde{B}] = [A, B] + D\Delta E$:

  • Sử dụng toán tử đa trị nghịch đảo $W_\lambda^{-1}$ của toán tử đơn trị $W_\lambda = [A - \lambda I, B]$, chứng minh công thức bán kính điều khiển được phức với chuẩn toán tử tùy ý: $$r_{\mathbb{C}}^{D,E}(A, B) = \frac{1}{\sup_{\lambda \in \mathbb{C}} |E W_\lambda^{-1} D|}$$
  • Chỉ ra các công thức đã biết của R. Eising (khi $D = I, E = I$, chuẩn phổ) và D. Kressner (khi $E$ có hạng cột đầy đủ) là các trường hợp riêng suy ra từ công thức tổng quát trên.
  • Mở rộng cho hệ chịu đa nhiễu cấu trúc $[\tilde{A}, \tilde{B}] = [A, B] + \sum_{i=1}^N D_i \Delta_i E_i$, thiết lập các đánh giá chặn: $$\frac{1}{\max_{i \in \mathcal{N}} \sup_{\lambda \in \mathbb{C}} |H W_\lambda^{-1} D_i|} \le r_{\mathbb{C}}^{mp}(A, B) \le \frac{1}{\max_{i \in \mathcal{N}} \sup_{\lambda \in \mathbb{C}} |E_i W_\lambda^{-1} D_i|}$$ trong đó ma trận $H$ thỏa mãn $|E_i x| \le |Hx|, \forall x \in \mathbb{C}^{n+m}, i \in \mathcal{N}$. Khi $E_i = \alpha_i E_1, \forall i \in \mathcal{N}$, chứng minh thu được đẳng thức chính xác.
  • Đề xuất thuật toán số trị tính toán bán kính điều khiển được phức dưới nhiễu cấu trúc dựa trên tiếp cận phân tích tập mức giá trị kì dị và phương pháp chia đôi của M. Gu.

Chương 4: Bán kính toàn ánh và các ứng dụng của nó

Chương 4 khảo sát ma trận toàn ánh $W \in \mathbb{K}^{n \times m}$ ($W\mathbb{K}^m = \mathbb{K}^n$) chịu nhiễu cấu trúc $\tilde{W} = W + D\Delta E$:

  • Định nghĩa bán kính toàn ánh $r(W; D, E) = \inf{|\Delta| : W + D\Delta E \text{ không toàn ánh}}$ và chứng minh công thức: $$r(W; D, E) = \frac{1}{|E W^{-1} D|}$$ (với $W^{-1}$ là toán tử đa trị nghịch đảo của $W$). Kết quả này tổng quát hóa định lý Eckart-Young (1936).
  • Đối với đa nhiễu cấu trúc $\tilde{W} = W + \sum_{i=1}^N D_i \Delta_i E_i$, thiết lập các chặn trên và chặn dưới: $$\frac{1}{\max_{i,j \in \mathcal{N}} |E_i W^\dagger D_j|} \le r(W; D_i, E_i, i \in \mathcal{N}) \le \frac{1}{\max_{i \in \mathcal{N}} |E_i W^{-1} D_i|}$$ $$\frac{1}{\max_{i \in \mathcal{N}} |H W^{-1} D_i|} \le r(W; D_i, E_i, i \in \mathcal{N}) \le \frac{1}{\max_{i \in \mathcal{N}} |E_i W^{-1} D_i|}$$
  • Áp dụng lý thuyết bán kính toàn ánh để thiết lập các công thức bán kính bảo toàn cho nhiều lớp hệ động lực:
Đại lượng bán kính bảo toàn Hệ động lực và dạng nhiễu Công thức tường minh
Bán kính ổn định hóa được $\Lambda_{\mathbb{C}}^{D,E}(A, B)$ Hệ $\dot{x} = Ax + Bu$
$[\tilde{A}, \tilde{B}] = [A, B] + D\Delta E$		 $\displaystyle \Lambda_{\mathbb{C}}^{D,E}(A, B) = \frac{1}{\sup_{\lambda \in \mathbb{C}^+} |E W_\lambda^{-1} D|}$
($W_\lambda = [A - \lambda I, B]$)
Bán kính ổn định trên thang thời gian $r_{\mathbb{C}}(F, A; D, E)$ Hệ ẩn $F x^\Delta = Ax$
$[\tilde{F}, \tilde{A}] = [F, A] + D\Delta E$		 $\displaystyle r_{\mathbb{C}}(F, A; D, E) = \frac{1}{\sup_{\lambda \in \infty \cup \partial\mathcal{S}} |E_\lambda (\lambda F - A)^{-1} D|}$
($E_\lambda = E \begin{bmatrix} \lambda I_n \ -I_n \end{bmatrix}$)
Bán kính điều khiển được trên tập đạt được $r_{\mathbb{C}}^R(F, A, B; D, E)$ Hệ descriptor cấp 1 $F\dot{x} = Ax + Bu$
$[\tilde{F}, \tilde{A}, \tilde{B}] = [F, A, B] + D\Delta E$		 $\displaystyle r_{\mathbb{C}}^R = \frac{1}{\sup_{s \in \mathbb{C}} |E_{1s} W_{1s}^{-1} D|}$
Bán kính điều khiển được hoàn toàn $r_{\mathbb{C}}^C(F, A, B; D, E)$ Hệ descriptor cấp 1 $F\dot{x} = Ax + Bu$
$[\tilde{F}, \tilde{A}, \tilde{B}] = [F, A, B] + D\Delta E$		 $\displaystyle r_{\mathbb{C}}^C = \frac{1}{\sup_{(\alpha,\beta) \in \mathbb{C}^2 \setminus {(0,0)}} |E_{\alpha\beta} W_{\alpha\beta}^{-1} D|}$
Bán kính ĐKĐ trên tập đạt được (cấp cao) $r_{\mathbb{C}}^R(F, \mathbf{A}, B; D, E)$ Hệ descriptor cấp $k$
$F x^{(k)} = \sum_{j=0}^{k-1} A_j x^{(j)} + Bu$		 $\displaystyle r_{\mathbb{C}}^R = \frac{1}{\sup_{s \in \mathbb{C}} |E_1(s) W_1(s)^{-1} D|}$
Bán kính ĐKĐ hoàn toàn (cấp cao) $r_{\mathbb{C}}^C(F, \mathbf{A}, B; D, E)$ Hệ descriptor cấp $k$
$F x^{(k)} = \sum_{j=0}^{k-1} A_j x^{(j)} + Bu$		 $\displaystyle r_{\mathbb{C}}^C = \min\left{\frac{1}{\sup_{s \in \mathbb{C}} |E_1(s) W_1(s)^{-1} D|}, \frac{1}{|E_2(0) W_2(0)^{-1} D|}\right}$

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự nêu các đóng góp khoa học mới về mặt lý thuyết và phương pháp tính toán:

  1. Thiết lập phương pháp tiếp cận mới bằng toán tử đa trị tuyến tính: Đưa ra kỹ thuật sử dụng toán tử đa trị tuyến tính để tính toán chuẩn của các ma trận nghịch đảo suy rộng, cho phép giải quyết bài toán bán kính bền vững mà không cần các giả thiết hạn chế về hạng của ma trận cấu trúc nhiễu hay cấu trúc của chuẩn không gian.
  2. Công thức bán kính điều khiển được tổng quát: Chứng minh công thức tường minh tính bán kính điều khiển được phức dưới nhiễu cấu trúc và các đánh giá chặn dưới/chặn trên cho đa nhiễu cấu trúc với chuẩn toán tử bất kỳ.
  3. Định lượng tính bền vững của miền điều khiển có ràng buộc: Đề xuất khái niệm khoảng cách có hướng giữa hai nón $\rho(P, Q)$, chứng minh tính đối ngẫu $\rho(P, Q) = \rho(Q^, P^)$ và thiết lập công thức tường minh tính bán kính điều khiển được của miền tham số $P$. Đồng thời đánh giá được độ chịu nhiễu của các ma trận hệ số khi miền tham số bị nhiễu ở mức $\eta$.
  4. Mở rộng lý thuyết bán kính toàn ánh và ứng dụng đa dạng: Thiết lập công thức bán kính toàn ánh dưới nhiễu cấu trúc $r(W; D, E) = 1/|EW^{-1}D|$; từ đó giải quyết trọn vẹn việc tìm công thức bán kính ổn định hóa được của hệ tuyến tính, bán kính ổn định của hệ ẩn trên thang thời gian, và các bán kính điều khiển được cho hệ descriptor cấp một và cấp cao.
  5. Đóng góp về thuật toán: Đề xuất thuật toán chia đôi dựa trên phân tích tập mức giá trị kì dị để tính số trị bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc trong một số trường hợp với độ phức tạp đa thức.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Theo trình bày trong văn bản:

  • Hạn chế: Thuật toán tính toán bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc hiện tại mới chỉ giải quyết được cho một số trường hợp đặc biệt; chưa có thuật toán hoàn chỉnh cho trường hợp tổng quát với các chuẩn toán tử tùy ý do liên quan đến bài toán tối ưu toàn cục không lồi trên biến phức.
  • Hướng nghiên cứu tiếp: Luận án xác định việc sử dụng công cụ tối ưu toàn cục (Global Optimization) để tiếp tục xây dựng các thuật toán tính toán bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc tổng quát đo bởi chuẩn toán tử tùy ý là chủ đề nghiên cứu tiếp theo.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo có giá trị chuyên môn cao đối với:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên: Thuộc các chuyên ngành Toán Giải tích, Toán Ứng dụng, Phương trình vi phân và Hệ động lực, Lý thuyết Điều khiển tự động.
  • Các kỹ sư và nhà nghiên cứu kỹ thuật: Quan tâm đến mô hình hóa và điều khiển bền vững các hệ thống cơ học có ràng buộc, hệ thống robot, hệ thống điện từ (mô hình hóa dưới dạng hệ descriptor) và các hệ thống điều khiển xung/lai (mô hình hóa trên thang thời gian).
  • Phần đáng tham khảo nhất: Kỹ thuật sử dụng toán tử đa trị tuyến tính để tính chuẩn nghịch đảo toán tử; phương pháp đối ngẫu hình học nón lồi để đo độ nhiễu tập tham số; và bảng công thức tường minh tính toán bán kính cho các hệ descriptor cấp cao.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao lý thuyết toán tử đa trị tuyến tính lại là công cụ mấu chốt để giải quyết bài toán bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc?

Trong các nghiên cứu trước đây (như của D. Kressner), việc biểu diễn nghịch đảo ma trận $W_\lambda = [A - \lambda I, B]$ phải sử dụng giả nghịch đảo Moore-Penrose $(W_\lambda (E^* E)^{-1/2})^\dagger$, đòi hỏi ma trận $E$ phải có hạng đầy đủ theo cột và chuẩn sử dụng phải là chuẩn phổ. Bằng cách xem $W_\lambda^{-1}$ như một toán tử đa trị tuyến tính từ không gian ảnh vào không gian nguồn, tác giả sử dụng định nghĩa chuẩn của toán tử đa trị $|E W_\lambda^{-1} D| = \sup_{x, |x|=1} \inf_{y \in W_\lambda^{-1}(Dx)} |Ey|$, từ đó thiết lập được công thức bán kính điều khiển được cho ma trận $E$ tùy ý và áp dụng được cho mọi chuẩn toán tử.

2. Khoảng cách có hướng $\rho(P, Q)$ giữa hai nón được định nghĩa thế nào và có tính chất gì nổi bật?

Khoảng cách có hướng từ nón $P$ đến nón $Q$ (cùng có đỉnh tại $0$ trong $\mathbb{R}^n$) được định nghĩa bởi: $$\rho(P, Q) = \sup {d(x, Q) : x \in P, |x| = 1}$$ Khoảng cách này có các tính chất: $0 \le \rho(P, Q) \le 1$; $\rho(P, Q) = 0 \iff P \subset \bar{Q}$; thỏa mãn bất đẳng thức tam giác $\rho(K, Q) \le \rho(K, P) + \rho(P, Q)$; và đặc biệt thỏa mãn tính chất đối ngẫu $\rho(P, Q) = \rho(Q^, P^)$ khi $P, Q$ là các nón lồi đóng.

3. Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính có ràng buộc điều khiển trên nón lồi $P$ điều khiển được toàn cục là gì?

Hệ $\dot{x} = Ax + Bu, u \in P$ ($P$ là nón lồi đóng đỉnh $0$, $\text{int}(P) \neq \emptyset$) điều khiển được toàn cục khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

  1. Hệ không có ràng buộc tương ứng là điều khiển được: $\text{span}{BP, ABP, \dots, A^{n-1}BP} = \mathbb{R}^n$ (tương đương $\text{rank}[A|B] = n$).
  2. Không tồn tại giá trị riêng thực $\lambda$ của $A^$ sao cho $B^(\text{ker}(A^* - \lambda I)) \cap P^* \neq {0}$ (nghĩa là không tồn tại véc tơ riêng $f$ ứng với giá trị riêng thực $\lambda$ của $A^*$ thỏa mãn $\langle f, Bu \rangle \ge 0, \forall u \in P$).

4. Bán kính ổn định của hệ động lực ẩn trên thang thời gian $F x^\Delta = Ax$ được tính toán như thế nào?

Dưới nhiễu cấu trúc $[\tilde{F}, \tilde{A}] = [F, A] + D\Delta E$, bán kính ổn định phức được xác định bởi công thức: $$r_{\mathbb{C}}(F, A; D, E) = \frac{1}{\sup_{\lambda \in \infty \cup \partial\mathcal{S}} |E_\lambda (\lambda F - A)^{-1} D|}$$ trong đó $E_\lambda = E \begin{bmatrix} \lambda I_n \ -I_n \end{bmatrix}$ và $\mathcal{S}$ là miền ổn định mũ đều của thang thời gian $\mathbb{T}$.

5. Sự khác biệt giữa bán kính điều khiển được hoàn toàn ($r_{\mathbb{C}}^C$) và bán kính điều khiển được đạt được ($r_{\mathbb{C}}^R$) của hệ descriptor cấp cao là gì?

Đối với hệ descriptor cấp cao $F x^{(k)} = \sum_{j=0}^{k-1} A_j x^{(j)} + Bu$, tính điều khiển được hoàn toàn đòi hỏi kiểm soát cả các chế độ động học tại các điểm kì dị vô hạn. Do đó, công thức bán kính điều khiển được hoàn toàn $r_{\mathbb{C}}^C$ là giá trị nhỏ nhất giữa bán kính điều khiển được trên tập đạt được và bán kính bảo toàn tính chính quy tại điểm $0$ của toán tử liên quan: $$r_{\mathbb{C}}^C(F, \mathbf{A}, B; D, E) = \min\left{ r_{\mathbb{C}}^R(F, \mathbf{A}, B; D, E), \frac{1}{|E_2(0) W_2(0)^{-1} D|}\right}$$

Kết luận

Luận án của tác giả Đỗ Đức Thuận là một công trình nghiên cứu hoàn chỉnh thuộc chuyên ngành Toán Giải tích, tập trung giải quyết các bài toán định lượng về tính bền vững của hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu. Bằng việc xây dựng khung lý thuyết dựa trên toán tử đa trị tuyến tính và hình học nón lồi, luận án đã thiết lập thành công hệ thống các công thức tường minh tính bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc, bán kính điều khiển được của miền tham số có ràng buộc, bán kính toàn ánh, cũng như bán kính ổn định và điều khiển được cho các hệ descriptor và hệ ẩn trên thang thời gian. Các kết quả đạt được đã mở rộng và tổng quát hóa nhiều công trình kinh điển trong lý thuyết điều khiển, đồng thời đặt cơ sở phương pháp luận cho các nghiên cứu tiếp theo về tối ưu hóa toàn cục trong phân tích hệ động lực.