MỞ ĐẦU Kết quả của luận án được tổng hợp từ các bài báo [P1], [P2], [P3] và [P4], đã được công, bố trên các tạp chí Computers and Mathematics with Applications, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Journal of Computational and Ap- plied Mathematics. e Bài báo [P1] khảo sat bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình khuếch tán với hệ số khuếch tán phi địa phương. Kết quả chính của bài báo này bao gồm: chỉ ra tính không chỉnh của bài toán theo nghĩa Hadamard, thiết lập bài toán chỉnh hóa bằng phương pháp OR, chứng minh tính tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán chỉnh hóa và sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa về nghiệm chính xác. e Bài báo [P2] khảo sát bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình phan ứng - khuếch tán với hệ số khuếch tán phi địa phương.
Kết quả chính của bài báo này bao gồm: chỉ ra tính không chỉnh của bài toán theo nghĩa Hadamard, thiết lập bài toán chỉnh hóa bằng phương pháp QR, đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa và kết luận về sự hội tụ. e Bài báo [P3] khảo sát bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình săn mỗi - con mdi. Kết quả chính của bài báo này bao gồm: dùng phương pháp QR xây dựng nghiệm chính hóa của bài toán, chứng minh sự tồn tại nghiệm và sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa về nghiệm chính xác. e Bài báo [P4] khảo sát bài toán ngược thời gian cho mô hình nhiều loài với nhiễu trắng Gaussian.
Kết quả chính của bài báo này bao gồm: sử dụng phương pháp QR cải tiến xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho bài toán, đánh giá sai số và kết luận về sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa về nghiệm chính xác. Một phan các kết quả này được báo cáo tại: e Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 2, Trường Đại học Đà Lạt, 12/2017. e Hội nghị Khoa học Quốc tế về khoa học ứng dụng (ISAS), Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc gia TP. e Seminar bộ môn Giải tích của trường Dai học Khoa Học Tự Nhiên, Dai học Quốc gia TP.
e Hội nghị Khoa học Quốc tế về khoa học ứng dụng (ISAS), Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc gia TP. HCM, 10/2023 11 Lý do chọn dé tài Đề tài luận án thuộc lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng. Đây là hướng nghiên cứu được nhiều nhà toán học quan tâm. Trong đó các bài toán ngược là một nhánh nghiên cứu phát triển mạnh trong thời gian gần đây, có nhiều kết quả được công bồ trên các tạp chí có uy tín.
Ly do tôi chọn dé tài "Bài toán ngược cho một số hệ phương trình parabolic trong sinh học" chủ yếu xuất phát từ định hướng của các thầy hướng dẫn: thay Nguyễn Dinh Huy, thay Bùi Lê Trọng Thanh, và thầy Nguyễn Huy Tuấn, người trực tiếp hướng dẫn tôi trong những ngày đầu làm quen với hướng nghiên cứu này.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài hướng đến việc chỉnh hóa một số bài toán ngược cho hệ phương trình phản ứng - khuếch tán với hệ số khuếch tán phi địa phương, được áp dụng trong nhiều mô hình trong sinh học và sinh thái học. Luận án chỉ ra tính không chỉnh của các bài toán ngược thông qua một số ví dụ cụ thể, xây dung các bài toán chỉnh hóa, khảo sát tính chỉnh của bài toán chỉnh hóa, sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa về nghiệm chính xác và đưa ra một số ví dụ số minh họa. Đối tượng nghiên cứu Đề tài xem xét các bài toán sau e Hệ phương trình khuếch tán phi địa phương ngược thời gian e Hệ phương trình phản ứng - khuếch tán phi địa phương ngược thời gian e Bài toán xác định dân số ban đầu của hệ phương trình săn mdi - con mỗi phi tuyến, ngược thời gian e Bài toán mô hình nhiều loài với nhiễu trắng Gaussian. 14 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của dé tài thuộc lĩnh vực Phương trình vi phân đạo hàm riêng, tập trung vào sử dụng phương pháp Quasi-Reversibility (QR) để chỉnh hóa nghiệm cho các hệ phương trình parabolic phi địa phương, ngược thời gian với dữ liệu tất định và dữ liệu có nhiễu trắng Gaussian.5 Phương pháp nghiên cứu Luận án có sử dụng các kiến thức về giải tích hàm, định lý ánh xạ co Ba- nach, phương pháp xấp xỉ Galérkin và các phép nhúng, bổ đề về tính com- pact.
để khảo sát sự ton tại duy nhất nghiệm; sử dụng phương pháp QR xây dựng toán tử chỉnh hóa dựa trên khai triển chuỗi Fourier để chỉnh hóa các bài toán ngược không chỉnh.6 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của dé tài Kết quả nghiên cứu của dé tài góp phan giải quyết các bài toán ngược cho các hệ phương trình phản ứng - khuếch tán, cụ thể là một số hệ săn mỗi - con mỗi có ứng dụng trong ngành sinh học và sinh thái học. Đề tài góp phần nâng cao phong trào nghiên cứu, thứ hạng và uy tín khoa học của trường, có thể xem như tài liệu tham khảo để sử dụng trong giảng day, học tập và nghiên cứu. Các kết quả của dé tài cũng được thảo luận trong nhóm nghiên cứu, cũng như một số hội thảo, hội nghị, có thể mở rộng hơn để thu được các kết quả khác trong tương lai. Chương 2 TỔNG QUAN Đề tài luận án thuộc lĩnh vực bài toán ngược và phương trình đạo ham riêng.
Trong nhiều thập kỷ qua, nhiều loại phương trình đạo hàm riêng khác nhau đã được sử dụng làm mô hình toán học mô tả các hệ thống vật lý, hóa học, sinh học và sinh thái học. Trong số đó, một trong những hệ được sử dụng nhiều nhất là hệ phương trình phản ứng - khuếch tán. Ví dụ, mô hình Nagumo để truyền tín hiệu điện trong tế bào thân kinh mô tả sự kiểm soát điện thế qua màng tế bào bằng sự thay đổi dòng chảy của kênh ion; mô hình Kol- mogorov về hiệu ứng trì hoãn trong phản ứng của u thần kinh đệm cấp độ thấp (LGG) với xa trị [3]; hệ Lotka-Volterra khuếch tán [4] mô tả mối quan hệ giữa mật độ quan thể của các loài tương tác; mô hình Turing về sự hình thành mô hình sinh học Ei6l mô tả mồi quan hệ giữa nông độ của chất kích hoạt và cơ chất; mô hình phản ứng hóa học tỏa nhiệt xảy ra trong chất rắn Ø1. Một số mô hình phản ứng khác như hệ khuếch tán chéo cũng đã được nghiên cứu bởi J.
Carrillo và các cộng sự {8}Í12]. Gần đây, các bài toán phi địa phương đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu vì nó cho phép đưa ra kết quả chính xác hơn (phép đo biểu thị giá trị trung bình trong một lân cận của một điểm, thay vì giá trị tại một điểm đó). Mô hình được nghiên cứu áp dụng trong nhiều lĩnh vực: vật lý [13], kỹ thuật [14], và động lực học dân số [15],. Khi nghiên cứu mô hình dân số của các loài, để xem xét hành vi của từng loài, ta can xét đến các yếu tố như tại khu vực xung quanh quá đông đúc hoặc bị cô lập (ví dụ ở một khu vực có quá nhiều con méi/loai săn môi, thì loài săn mỗi sẽ có xu hướng đi chuyển/tản đi với tốc độ nhanh hơn.
Hoặc trong vi dụ nghiên cứu các tế bào mô bình thường (khỏe mạnh) và các tế bào phát triển bắt thường trong, não, sự chuyển động của từng loại tế bào bị ảnh hưởng nhiều bởi toàn bộ quần thể thuộc loại tương ứng. Do đó, sự khuếch tán phi địa phương được áp dụng để tính đến những yếu tố này. Mặc dù các bài toán giá trị đầu đã được nhiễu tác giả nghiên cứu nhưng van chưa có nhiều kết quả cho các bài toán ngược. Chúng ta phải nhắn mạnh rằng tính chất của nghiệm của bài toán giá trị cuối rất khác với bài toán giá trị ban đầu.
Do tính trơn của nghiệm bài toán parabolic thuận, trên thực tế, nói chung không thể đảm bao sự tồn tại nghiệm cho bài toán tìm lại dữ liệu ban dau. Ngoài ra, ngay cả khi nghiệm có thể tổn tại, tính duy nhất không thể được đảm bảo nếu không có giả định bổ sung về toán tử; và kể cả trường hợp tồn tại duy nhất nghiệm, thì nghiệm có thể không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào, có nghĩa là một sai số nhỏ trong dữ liệu có thể dẫn tới một sai số rất lớn của nghiệm. Vì thế, việc chỉnh hóa các bài toán ngược là cần thiết. Nhiều phương pháp chỉnh hóa đã được đưa ra, có thể kể đến như: phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, phương pháp hàm lọc, phương pháp tựa biên, phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier, phương pháp tựa đảo (Quasi-reversibility, được viết tắt là QR).1 Tình hình nghiên cứu Đối với phương trình parabolic với hệ số khuếch tán không đổi hoặc chỉ phụ thuộc vào thời gian, bài toán ngược đã được nghiên cứu trong nhiều công trình (ví dụ như trong [24 30)).
Phương pháp QR có một lich sử lâu dai đáng chú ý, kể từ lần đầu tiên được giới thiệu trong cuốn sách của Lattés and Lions [31], giải bài toán Cauchy cho phương trình elliptic. Ý tưởng chính của phương pháp chỉnh hóa này là xấp xi toán tử A bởi toán tử A° = A — eA2, dẫn đến bài toán chỉnh sau upt+(A—eA2)u=0, t€(0,T), (2. Showalter ] cũng dùng phương pháp QR với toán tử xấp xỉ Af = A(I+eA) "1, e > 0, để đưa ra bài toán xap xỉ sau uị + Au +eAuy=0, t€ (0,T), (2. Khi nghiên cứu bài toán chỉnh hóa đối với phương trình parabolic phi tuyến trong [33/34], nhóm tác giả D.
Tuan sử dung phương pháp QR điều chỉnh với toán tử xấp xỉ Ae có chứa thành phan logarit, được thành lập dựa trên phổ của toán tử A. Phương pháp QR dựa trên phân tích phổ để nghiên cứu nghiệm nhẹ cũng được nghiên cứu và phát triển sau đó (ví dụ trong be 38]), nhưng phương pháp này gặp nhiều khó khăn trong việc đánh giá sai số cho phương trình phi tuyến, vì việc sử dụng phân tích chuỗi Fourier cho các phương trình phi tuyến là khá phức tạp. Ngoài ra, phương pháp QR sử dụng ước lượng kiểu Carleman cũng được nghiên cứu, (ví dụ: 39) 40]), đưa ra các kết quả về tính duy nhất và sự hội tụ của nghiệm, nhưng nó chỉ hiệu quả khi thời gian quan sát T ngắn và phương trình là tuyến tính. Một phương pháp QR kép để giải bài toán Cauchy khi có dữ liệu cuối đo được đã được nghiên cứu trong, [41 |, và các phương pháp phan tử hữu han da được triển khai trong [42143].