Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị: Luận Án Chuyên Sâu

• Tác giả: Chu Duc Khanh
• Người hướng dẫn: Giáo Sư Tiến Sĩ Dang Dinh Ang
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán Giải Tích
• Đề tài: Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thế Vị
• Loại tài liệu: Luận Án Phó Tiến Sĩ
• Năm xuất bản: 1996
• Địa điểm: Thành Phố Hồ Chí Minh

• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYẾT THẾ VỊ
• 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT THẾ VỊ
• 1.2. BÀI TOÁN THÁC TRIỂN SỐ LIỆU ĐO TRƯỜNG ĐIỀU HÒA
• 1.3. BÀI TOÁN TÌM PHÂN BỐ NGUỒN
• 1.4. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH LỖ HỔNG BÊN TRONG MỘT VẬT THỂ
• 1.5. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH MIỀN NGUỒN
• 2. CHƯƠNG 2: SỰ DUY NHẤT NGHIỆM
• 2.1. SỰ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN
• 2.2. SỰ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC PHI TUYẾN
• 3. CHƯƠNG 3: CHÍNH HÓA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN TÍNH
• 3.1. XÂY DỰNG NGHIỆM CHỈNH HÓA CHO BÀI TOÁN MOMENT TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÔ HẠN CHIỀU
• 3.2. CHUYỂN CÁC BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN TÍNH VỀ BÀI TOÁN MOMENT VÀ ÁP DỤNG KẾT QUẢ
• 4. CHƯƠNG 4: CHÍNH HÓA MỘT SỐ BÀI TOÁN NGƯỢC PHI TUYẾN
• 4.1. CHỈNH HÓA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH MIỀN NGUỒN TRONG TRƯỜNG HỢP 2 CHIỀU VÀ 3 CHIỀU
• 4.2. SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ CỦA J.CRONIN VỀ MỐI LIÊN QUAN GIỮA BẠC TỔPÔ VỚI SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
• 4.3. XÂY DỰNG NGHIỆM XẤP XỈ ỔN ĐỊNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ KHÔNG GIAN BANACH

I. Tổng Quan Bài Toán Ngược trong Lý Thuyết Thế Vị

Lý thuyết thế vị, khởi nguồn từ thế kỷ XIX, là một nhánh quan trọng của Vật Lý Toán, tập trung nghiên cứu thế vị của các trường lực, ví dụ như trường hấp dẫn và điện trường. Theo thời gian, nó đã chứng tỏ vai trò then chốt trong cả lý thuyết và ứng dụng. Rất nhiều bài toán thực tế trong Vật lý Địa cầu, Điện, Điện từ, và Cơ học đã được mô hình hóa dưới dạng các bài toán ngược trong lý thuyết thế vị. Tuy nhiên, những bài toán này thường gặp vấn đề 'không chỉnh' theo định nghĩa của J. Hadamard, nghĩa là chúng có thể không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Thậm chí, khi tồn tại nghiệm duy nhất, nghiệm này lại không đảm bảo phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đầu vào. Trong những thập kỷ gần đây, các bài toán ngược, đặc biệt là các bài toán không chỉnh, đã thu hút sự quan tâm lớn từ cộng đồng toán học toàn cầu. Bài toán không chỉnh, nghiệm (nếu có) không phụ thuộc liên lục vào dữ kiện: một nhiễu nhỏ của dữ kiện có thé đưa đến sai số rat lớn cho nghiệm, thậm chí có thé làm bài toán trở thành vô nghiệm. Vì vậy, đối với những bài toán này, ta phải tìm cách chỉnh hóa. Nghiệm chỉnh hóa là nghiệm xấp xi ổn định. Nhiều phương pháp chỉnh hóa đã được đưa ra trong các công trình của A. tuy nhiên việc đánh giá sai số thường gặp khó khăn và chỉ được giải quyết trong từng bài toán cụ thể.

1.1. Khái niệm cơ bản của Lý Thuyết Thế Vị và hàm thế

Lý thuyết thế vị dựa trên các định luật vật lý cơ bản như Định luật Newton và Định luật Coulomb. Định luật Newton phát biểu rằng lực tác động giữa hai chất điểm tỉ lệ thuận với tích khối lượng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Tương tự, Định luật Coulomb mô tả lực tác động giữa hai điện tích. Từ đó, khái niệm trường lực và hàm thế được định nghĩa. Hàm thế vị (Newton) sinh bởi chất điểm m đặt tại P(E, nị, È) là U= m/r . Hàm thé sinh hỏi nguồn D có phân bó khối lượng p được định nghĩa là Utay.10) iy (xX—Š)” + (y — 1)” +(4-§)°.

1.2. Bài Toán Ngược và Tính Không Chỉnh trong Lý Thuyết Thế Vị

Bài toán ngược trong lý thuyết thế vị thường xuất hiện khi cần xác định nguồn gốc hoặc cấu trúc bên trong của một hệ thống từ các dữ liệu đo được ở bên ngoài. Ví dụ, xác định phân bố nguồn sinh ra trường thế hoặc xác định hình dạng của lỗ hổng bên trong một vật thể. Một đặc điểm quan trọng của bài toán ngược là tính 'không chỉnh', tức là nghiệm có thể không tồn tại, không duy nhất, hoặc không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào. Điều này đặt ra thách thức lớn trong việc giải quyết các bài toán ngược.

1.3. Vai Trò của Tính Duy Nhất Nghiệm và Phương Pháp Chỉnh Hóa

Trong các bài toán ngược không chỉnh, việc khảo sát tính duy nhất nghiệm có vai trò then chốt. Theo luận án, việc khảo sát tính duy nhất nghiệm ngoài ý nghĩa thực tế là xét xem "Dữ kiện cho có di dé xác định nghiệm bài toán một cách duy nhất ?" mà còn nhằm xác định nghiệm chính xác riêng (trong trường hợp bài toán có vô sô nghiệm) cần được xấp xi ôn định. Do đó, các phương pháp chỉnh hóa được sử dụng để tìm nghiệm xấp xỉ ổn định, tức là nghiệm ít bị ảnh hưởng bởi sai số trong dữ liệu đầu vào. Các phương pháp này bao gồm phương pháp Tikhonov, phương pháp lặp, và sử dụng bài toán moment trong không gian Hilbert.

II. Thách Thức Tính Không Ổn Định của Nghiệm Bài Toán Ngược

Một vấn đề đặc biệt quan trọng trong những bài toán ngược không chỉnh là khảo sát tính duy nhất nghiệm của bài toán. Vấn dé này đóng vai trò quan trọng hơn rất nhiêu so với sự tồn tại nghiệm (thường bị vi phạm trong các bài toán không chỉnh). Việc khảo sát tính duy nhất nghiệm ngoài ý nghĩa thực tế là xét xem "Dữ kiện cho có di dé xác định nghiệm bài toán một cách duy nhất ?" mà còn nhằm xác định nghiệm chính xác riêng (trong trường hợp bài toán có vô sô nghiệm) cần được xấp xi ôn định. Trong lập luận án này, mang tên "BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYÉT THE VỊ" chúng tôi nghiên cứu một số bài toán ngược không chỉnh quan trọng trong Lý thuyết thế vị. Luận án, ngoài phần mở dau và kết luận, được chia thành 4 chương : CHƯƠNG | : TONG QUAN VE BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYET THÉ VỊ Mục đích của chương nay là từ lý thuyết hàm thé vị và các công cụ giải tích, chúng tôi thiết lập mô hình toán học cho một số bài toán ngược quan trọng trong Lý thuyết thé vị sẽ khảo sát trong các chương sau.1, chúng tôi trình bày các khái niệm căn bản của Lý thuyết thế vị, bat nguồn từ các Định luật Vật lý (Định luật Newton, Định luật Coulomb .) đồng thời nêu lại những tính chat quan trọng của hàm the vị- Sau đó, chúng tôi trình bày sự thành lập mô hình toán học cho một số bải toán ngược trong Lý thuyết thé vị. xét bài toán thác triển số liệu đo đạc của một trưởng điều hòa va đưa đến 2 bài toán ứng với trường hợp 2 chiều và trường hợp 3 chiêu.

2.1. Vấn Đề Về Tính Duy Nhất Nghiệm trong Bài Toán Ngược

Khi giải bài toán ngược, việc đảm bảo nghiệm là duy nhất là vô cùng quan trọng. Nếu không, có thể có nhiều giải pháp khác nhau, dẫn đến việc lựa chọn kết quả không chính xác. Nghiên cứu tập trung vào việc chứng minh hoặc bác bỏ tính duy nhất nghiệm cho các loại bài toán ngược khác nhau trong lý thuyết thế vị. Trong trường hợp bài toán có vô số nghiệm, cần xác định nghiệm nào có ý nghĩa vật lý và có thể xấp xỉ ổn định.

2.2. Ảnh Hưởng của Sai Số Dữ Liệu Đến Nghiệm Bài Toán Ngược

Một thách thức lớn khác là độ nhạy của nghiệm đối với sai số trong dữ liệu đo đạc. Do tính 'không chỉnh' của bài toán ngược, một sai số nhỏ trong dữ liệu đầu vào có thể dẫn đến sai số rất lớn trong nghiệm. Vì vậy, cần có các phương pháp để giảm thiểu ảnh hưởng của sai số và đảm bảo tính ổn định của nghiệm. Các phương pháp chính quy hóa đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết vấn đề này.

2.3. Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Độ Chính Xác của Nghiệm

Độ chính xác của nghiệm bài toán ngược phụ thuộc vào nhiều yếu tố, bao gồm chất lượng dữ liệu đo đạc, phương pháp giải và các giả định về mô hình. Việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp và đánh giá sai số là rất quan trọng. Đồng thời, cần xem xét các yếu tố vật lý và toán học có thể ảnh hưởng đến nghiệm.

III. Cách Giải Ứng Dụng Phương Pháp Chỉnh Hóa Tikhonov

Đối với các bài toán ngược luyén tinh (Bài toán thác trién số liệu đó đạc của | trường điều hòa và bài toán tìm phân bố nguồn), chúng tôi sử dụng công cụ Toán học là bài toán moment trong | không gian Hilbcrt vô hạn chiêu dé xây dựng nghiệm chỉnh hóa.1 trình bày cách xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho bài toán moment tông quát trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Lời giải được cho Me đầu 4 trong cả 2 trường hợp : trường hợp dữ kiện chính xác và trường hop dit kiện bị nhiễu.3 trình bày cách chuyền các bài toán ngược luyén tính nói trên về bài toán moment và áp dụng kết quả trong 3.1 để xây đựng nghiệm chỉnh hóa.

3.1. Xây Dựng Nghiệm Chỉnh Hóa Cho Bài Toán Moment Tổng Quát

Luận án trình bày cách xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho bài toán moment tổng quát trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Lời giải được đưa ra cho cả hai trường hợp: dữ kiện chính xác và dữ kiện bị nhiễu. Bài toán moment cung cấp một khuôn khổ toán học mạnh mẽ để giải quyết các bài toán ngược tuyến tính.

3.2. Chuyển Bài Toán Ngược Tuyến Tính Về Bài Toán Moment

Các bài toán ngược tuyến tính như bài toán thác triển số liệu đo đạc của trường điều hòa và bài toán tìm phân bố nguồn có thể được chuyển về dạng bài toán moment. Sau khi chuyển đổi, có thể áp dụng các kết quả từ bài toán moment tổng quát để xây dựng nghiệm chỉnh hóa.

3.3. Phân Tích và Đánh Giá Nghiệm Chỉnh Hóa

Sau khi tìm được nghiệm chỉnh hóa, cần phân tích và đánh giá tính chất của nghiệm, bao gồm tính ổn định, sai số, và độ chính xác. Các phương pháp phân tích lỗi và đánh giá hiệu quả được sử dụng để đảm bảo chất lượng của nghiệm.

IV. Bí Quyết Chỉnh Hóa Bài Toán Ngược Phi Tuyến Với Banach

Trong chương này, chúng tôi chỉnh hóa bải toán xác định miền nguôn trong 2 trường hợp : trường hợp 2 chiều va trường hợp 3 chiều. Sử dụng Định lý của J.Cronin về môi liên quan giữa bac tôpô với số nghiệm của một phương trình phi tuyến, và dùng phương pháp xap xi không gian Banach bằng các không gian con hữu hạn chiều, chúng tôi xây dựng được nghiệm xấp xi ôn định cũng trong 2 trưởng hợp: dit kiện chính xác và di kiện không chính xác.

4.1. Sử Dụng Định Lý J.Cronin Về Bậc Tôpô

Định lý J.Cronin, liên kết bậc tôpô với số nghiệm của phương trình phi tuyến, đóng vai trò quan trọng trong việc chỉnh hóa bài toán ngược phi tuyến. Định lý này giúp xác định sự tồn tại và số lượng nghiệm của bài toán.

4.2. Xấp Xỉ Không Gian Banach Bằng Không Gian Con Hữu Hạn Chiều

Phương pháp xấp xỉ không gian Banach bằng các không gian con hữu hạn chiều được sử dụng để giải quyết bài toán ngược phi tuyến trong cả trường hợp dữ kiện chính xác và không chính xác. Phương pháp này cho phép tìm nghiệm xấp xỉ ổn định.

4.3. Ứng Dụng Cho Bài Toán Xác Định Miền Nguồn

Kỹ thuật này được áp dụng cho bài toán xác định miền nguồn trong cả hai trường hợp 2 chiều và 3 chiều. Quá trình xây dựng nghiệm xấp xỉ ổn định được thực hiện cẩn thận, đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy của kết quả.

V. Ứng Dụng Giải Bài Toán Xác Định Lỗ Hổng Trong Vật Thể

Trong khoa học kỹ thuật, người ta có thé ding phương pháp điện hoặc điện từ để khảo sát các lỗ hông (hay vet nứt) bên trong một vật thé. Muốn vậy, người ta áp vào vật thé D một trường Vật lý (điều hòa) sao cho) giá trị của trường thé triệt trên tại biên của lỗ hồng. Người ta sẽ xác định hình dang các lỗ hong dựa vào giá trị đo của trường và của đạo hàm thco phương pháp luyến của trường lại một phan của biên ngoài. Chương | : Tông Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thể Vị 19 Mô hình này dẫn đến bai toán xác định miền cho trường điều hòa sau:

5.1. Mô Hình Toán Học cho Bài Toán Xác Định Lỗ Hổng

Luận án xây dựng mô hình toán học cho bài toán xác định lỗ hổng bên trong một vật thể. Mô hình này dựa trên việc áp dụng trường vật lý điều hòa vào vật thể và xác định hình dạng lỗ hổng từ các dữ liệu đo được trên biên ngoài. Bài toán xác định miền cho trường điều hòa được thiết lập để giải quyết vấn đề này.

5.2. Tính Duy Nhất Nghiệm cho Bài Toán Xác Định Lỗ Hổng

Luận án cũng đề cập đến tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định lỗ hổng. Việc đảm bảo tính duy nhất nghiệm là quan trọng để có thể xác định chính xác hình dạng và vị trí của lỗ hổng bên trong vật thể. Chương 2 tập trung vào khảo sát vấn đề này.

5.3. Ứng Dụng Thực Tế trong Kỹ Thuật và Khoa Học Vật Liệu

Bài toán xác định lỗ hổng có nhiều ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật và khoa học vật liệu. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để kiểm tra chất lượng vật liệu, phát hiện vết nứt trong cấu trúc, và đánh giá độ bền của sản phẩm. Các phương pháp điện và điện từ được sử dụng để thực hiện các phép đo cần thiết.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Bài Toán Ngược

Tóm lại, luận án đã tập trung nghiên cứu một số bài toán ngược không chỉnh quan trọng trong Lý thuyết thế vị, bao gồm bài toán thác triển số liệu, bài toán tìm phân bố nguồn, và bài toán xác định miền nguồn. Các phương pháp chỉnh hóa đã được áp dụng để tìm nghiệm xấp xỉ ổn định cho các bài toán này. Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề thực tế trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

6.1. Tóm Tắt Các Kết Quả Nghiên Cứu Chính

Luận án đã trình bày một tổng quan về bài toán ngược trong lý thuyết thế vị, phân tích các thách thức liên quan đến tính không chỉnh của nghiệm, và đề xuất các phương pháp chỉnh hóa để giải quyết các bài toán này. Các kết quả nghiên cứu đã được minh họa thông qua các ví dụ cụ thể.

6.2. Các Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo

Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp chỉnh hóa mới, áp dụng các phương pháp hiện có cho các bài toán phức tạp hơn, và khám phá các ứng dụng mới của bài toán ngược trong các lĩnh vực khác nhau.

6.3. Tầm Quan Trọng của Nghiên Cứu Đối Với Ứng Dụng Thực Tế

Nghiên cứu về bài toán ngược trong lý thuyết thế vị có tầm quan trọng lớn đối với ứng dụng thực tế. Các kết quả nghiên cứu có thể được sử dụng để giải quyết các vấn đề trong nhiều lĩnh vực, bao gồm thăm dò địa chất, kỹ thuật, y học, và xử lý ảnh. Việc tiếp tục nghiên cứu và phát triển các phương pháp giải bài toán ngược sẽ mang lại nhiều lợi ích cho xã hội.