chương I. Đối với nường hợp bài toán không có nghiệm duy nhất (Bài toán tìm phân bố nguồn) chúng tôi chứng minh khi bài toán có nghiệm thì trong vô số nghiệm của bài toán chỉ có duy nhất | nghiệm có chuẩn nhỏ nhất và chọn nghiệm có chuân nhỏ nhất này lam đôi lượng dé chỉnh hóa. Các bài toán khảo sát trong luận án được chia thành 2 loại : bài toán luyén lính và bài toán phi tuyến. Vì vậy chúng tôi trình bày cách xây dựng nghiệm chính hóa các bài toán này trong 2 chương : CHƯƠNG 3 : CHÍNH HÓA MỘT SO BÀI TOÁN NGƯỢC TUYEN TÍNH Đối với các bài toán ngược luyén tinh (Bài toán thác trién số liệu đó đạc của | trường điều hòa và bài toán tìm phân bố nguồn), chúng tôi sử dụng công cụ Toán học là bài toán moment trong | không gian Hilbcrt vô hạn chiêu dé xây dựng nghiệm chỉnh hóa.1 trình bày cách xây dựng nghiệm chỉnh hóa cho bài toán moment tông quát trong không gian Hilbert vô hạn chiều.
Lời giải được cho Me đầu 4 trong cả 2 trường hợp : trường hợp dữ kiện chính xác và trường hop dit kiện bị nhiễu.3 trình bày cách chuyền các bài toán ngược luyén tính nói trên về bài toán moment và áp dụng kết quả trong 3.1 để xây đựng nghiệm chỉnh hóa. CHƯƠNG 4 : CHÍNH HÓA MOT SO BÀI TOÁN PHI TUYẾN Trong chương này, chúng tôi chỉnh hóa bải toán xác định miền nguôn trong 2 trường hợp : trường hợp 2 chiều va trường hợp 3 chiều. Sử dụng Định lý của J.Cronin về môi liên quan giữa bac tôpô với số nghiệm của một phương trình phi tuyến, và dùng phương pháp xap xi không gian Banach bằng các không gian con hữu hạn chiều, chúng tôi xây dựng được nghiệm xấp xi ôn định cũng trong 2 trưởng hợp: dit kiện chính xác và di kiện không chính xác. CHƯƠNG | : TONG QUAN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG LÝ THUYET THE VỊ Trong chương nay, chúng tôi trình bày trước hết các khái niệm căn ban của Lý thuyết the vị dua trên các định luật Vật lý, từ đó đưa đến định nghĩa và một số tính chất quan trọng của hàm the.
Chúng lôi cũng trình bày một kết quả được sử dụng thường xuyên là định lý ve tính đuy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Dựa vào các khảo sát tong quát trên, chúng lôi đi đến thiết lập một số bai toán ngược trong Lý thuyết thé vị xuất phát từ những bài toán cụ thé trong Khoa học ứng dụng. Các bài toán này được chúng tôi chuyên thành các phương trình hoặc hệ phương trình tích phân tuyến tính hoặc phi tuyến. Việc khảo sát tính duy nhất nghiệm và xây dựng nghiệm chỉnh hóa của các bài toán này sẽ được trình ở những chương tiếp theo.
Các khái niệm căn bản của Lý thuyết thế vị. Trường và hàm the. Lý thuyết trường Newton được xây dựng từ Định luật Newton phát biéu như sau : Lực lac động giữa 2 chất điểm có khối lượng mị và mp đặt lai các điểm P và P; thì tỉ lệ thuận với tích các khối lượng của chúng, và tí lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Phương của lực này là Chương | : Tông Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thể Vị 6 đường thăng P¡P;,„ chiều của lực tác động vào chất điểm mạ là chiều từ P đến P; còn chiều của lực tác động vào chat điểm m› là chiều từ P› đến P;.
Nếu gọi F là cường độ lực, r là khoảng cách giữa P; và P; thì Định luật Newton được biểu dién hỏi công thức : mmạma+ Ăn (1.1) trong đó, k là một hằng số phụ thuộc cách chọn đơn vị đo khôi lượng, chiêu đài, lực. Lưu ý rằng không chỉ Vật lý Địa cầu mà cả trong nhiều ngành Vật lý khác người ta cũng gặp những lực tác động có dạng (1.1) như trong Điện, Điện từ,. Chăng hạn, lực tác động giữa 2 điện tích mị, m› đặt lần lượt ở 2 điểm P\, P2 theo Định luật Coulomb cũng được cho hỏi công thức (1.1) trở thành : "mụn lễHN (1.2) F Xét 1 chất điểm m đặt tai P(E, nị, È). Chất điểm này sẽ sinh ra 1 lực tác động vào 1 chất điểm đặt lại Q(x,y,z) bat kỳ trong không gian theo (1.
Ta nói rằng chất điểm m sinh ra một trường lực (Newton) trong không gian và trường lực này sẽ được biểu diễn hỏi công thức : F= E (1.3) te Chương | : Tông Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết The Vị 7 với r=PQ=vJ +(( y—x n)2—+( §z—) &)? ˆ. - Nhận xét rằng (1.3) chính là cường độ của lực tác động vào chất điểm có khói lượng băng đơn vị đặt lại Q. Nếu ký hiệu F là trưởng lực Newton nói trên, và = QP thì ta có : =_ mM. c (4) Viết F =(F),F2,Ps) thì Er= m(Š = x) e Sa ne: tin [x«-#” +(y—n)" +(2- 0)" Frw= m(n=y) bi ¬ " +2 [«-#'° +(y—n)"+(z~— 07] F: = ; ms a! ¬1/2 [x-#?+~m?+¿~#ˆ] Bây giờ, xét nguồn D có phân bố mật độ p (D là một miễn bị chặn trong RỶ và giả định p là một hàm khả tích bị chan trên D) thì trường lực sinh bởi nguồn D là : Ê(x.⁄)= D ——- as b r với các thành phân là : Fi(x.
fx ~š)ˆ+(y—n)ˆ+(— 0] Luu ¥ ring F;.xae định bởi (1.8) là các hàm xác định trên toàn không gian RÌ Bây giờ, chúng ta đi đến khái niệm hàm thể vi. Với trường lực 2 Mm F=—f r như trong (1 .4), la gọi hàm số m U= = (1.9) là hàm thé vj (Newton) sinh bởi chất điểm m. Và tương tự, hàm thé sinh hỏi nguồn D có phân bó khối lượng p được định nghĩa là Utay.10) iy (xX—Š)” + (y — 1)” +(4-§)° Dé thay rằng với F cho hỏi (1.5) va u cho bởi (1.11) Ta có kết quả : Mệnh dé 1. Với p là một hàm bị chan và khả tích trên I) thì hàm thé vị U cho bởi (1.10) là mội hàm thuộc lớp C” trong R3 \ D Chương | : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết The Vị 9 Bây giờ chúng ta nói đến hàm thé vị logarit, đó là hàm thé trong mặt phing.
Trước hết, 2 chất điểm có khôi lượng m, mì đặt lại 2 điểm P và Q trong mặt phăng thì sinh ra lực tác động giữa chúng có cường độ là p= mm! (1.12) với r là khoảng cách giữa P và Q. Trưởng lực sinh ra bởi 1 chất điểm có khối lượng m đặt tại P(E, nị) là + voi F= QP. Trường lực sinh bởi nguồn D có phân bố khôi lượng p (D là một miền mở bị chan trong R® và p là một hàm bj chan va khả tích trên D) là -ó (1.13 É= (SD = dean b Với F = Ei, Fe thì F(x.y)= [Mio ye msdn (1.15) h(x~§)” +(y—n] Ham thé sinh bởi nguồn D trong trường hợp này là I b (y(x-§! +(y—-n)ˆ Chương | : Tông Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thể Vị 10 ai 5 [p(šn)In[a ~šJ° +(y =n)? dédn i] Ta cũng có với U cho bới (1.16) va F cho boi (1.17) Ta có kết qua : Mệnh đẻ 1. Với p là một hàm bi chan và khả tích trên D) thi ham thé vị U cho bởi (1.16) lũ một hàm thuộc lớp C” trong RẺ \ B 1.
Các tính chất của hàm thể vị. Trước hết, ta lưu ý rằng các hàm ODE TPC===—=——=—==—=—== ýœ&x-£? +(y=))” +(z—=È)“ l (x,y)> In jJœ&-—š)ˆ+(y—n)° giữ một vai trò đặc biệt quan trong trong Lý thuyết thé vị. Chúng là các hàm giải tích trên RỶ \(E, 9. ©) (hoặc R*\ ((&, r)]) và thoả phương trình Laplace trên miền này.
Từ đây, dé đàng suy ra rằng các hàm thé vị U(x,y,x) (hoặc U(x,y)) định nghĩa bởi (1.16)) cũng hoa phương trình Lapace trên RỶ \ D (hoặc RỶ \ D). Nói cách khác, hàm thé vị la hàm điều hoà trong miễn ở ngoài nguồn sinh ra nó. Dưới đây là một số tính chất quan trọng của các hàm thế vị. Trước hết là tình chất của hàm thé vị sinh bởi nguồn là một miễn bị chặn trong RỶ Chương | : Tổng Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết The Vị 11 Mệnh đẻ 1.
gọi D là một mo bị chan trong RỶ có biên đủ trơn. p là một hàm bị chặn thuộc lớp C! trên D. Thì hàm U:RÌẺ¬R Dj ( x ~ § ) ° + (y ~ n > + ( 4 -O ) - thỏa các tinh chat sau : () Ve CR (ii) U € C>(R3\ 0D) (iii) AU = 0 trong RỶ\Ð AU = —-4x9 trong D (iv) Nếu G là một miền bị chin trong RỶ thì U WŸ, p(G) với mọi p e (1, #) Dac biệt, U H(G) (v) li ý x7 +y7 +zˆ.z1| ~»œ trong đó DU chỉ đạo ham theo 1 phương bat kỳ của hàm u. Tương tự, đối với hàm thế logarit, ta có : Mệnh dé 1.
Gọi D là một mở bị chan trong RẺ có biên đủ trơn, p là một hàm bị chan thuộc lớp C' trên D. Thì hàm U:RR Chương | : Tông Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết The Vị 12 U(x.y)= form inf x)? +(y~n)Š Edn các tinh chat sau : (i) U eCl(R*) (ii) U e C2(R2\ AD) ) = ( trong R?\B (iiiAU AU = 470 trong D (iv) Nếu G là một miễn bị chan trong RỶ thì U © W’, p(G) với mọi p e (1, ©) Đặc biệt, U HẰ(G) 5 U(x, (v) |ixylimli—oIn(x 8) = - + ym) ÿ [pce mdédn a be li St y= lim D¿U(x.Z) — bi chan trong | vùng cận của ©. Thi ye zv(È, n)dšdn i u(X.⁄)= 2= = Tye | VOM YAIERY R? [x —&)" +(y—\)” + Ì Chương | : Tông Quan Về Bài Toán Ngược Trong Lý Thuyết Thể Vị 13 trong đó v(X. Giả u(x,y) at GS ‹V(x.y)€ R‡ sử u(x, y) bị chân trong | vùng cận của œ.
Thi trongđó ví(X) = u(x/()), Vx e R. Mệnh dé sau đây cho ta tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy : Mệnh dé 1. Xét một hàm u liên tục trên D Và điều hòa trên D với D lù một miễn. Gia sử có y€ €£D với y mà trong @D và 7 đủ tron, va = ou =() ulBes thi u =0 trên D.
Trong các tiết sau, chúng tôi thiết lập một số bài toán ngược quan trọng trong lý thuyết the vị. Bài toán thác triển số liệu đo trường điều hòa Việc xác định giá trị các trường điều hòa trong Vật lý như trudngtrong lực, di thường trọng luc, điện, điện từ có ý nghĩa quan trong trong việc giải đáp nguồn sinh ra trường thé này.