Luận Văn Thạc Sĩ Về Bài Toán Lũy Thừa Của Các Số Nguyên

Luận văn thạc sĩ toán học phân tích hay một số bài toán về lũy thừa của các số nguyên, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Đỗ Trọng Nguyên
• Người hướng dẫn: TS. Ngô Văn Định
• Trường học: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Một Số Bài Toán Về Lũy Thừa Của Các Số Nguyên
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN THÀNH TỔNG RIÊNG CỦA LŨY THỪA CỦA CÁC NHÂN TỬ NGUYÊN TỐ
• 1.1. Thặng dư bậc hai và luật thuận nghịch bậc hai
• 1.2. Định nghĩa tập Sk,l
• 1.3. Tính chất của tập Sk,l
• 1.4. Tìm phần tử thuộc Sk,l
• 2. CHƯƠNG 2: SỐ FIBONACCI VÀ SỐ LUCAS DẠNG CX2
• 2.1. Dãy Fibonacci và dãy Lucas
• 2.2. Một số tính chất số học của các số Fibonacci và các số Lucas
• 2.3. Số Fibonacci và số Lucas dạng cx2
• 3. CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TRONG CÁC KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ
• 3.1. Lũy thừa bậc hai
• 3.2. Lũy thừa bậc ba
• 3.3. Lũy thừa của các số nguyên bậc bốn trở lên
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Bài Toán Lũy Thừa Của Số Nguyên

Bài toán lũy thừa của số nguyên là một trong những vấn đề thú vị trong lý thuyết số. Nó không chỉ có ứng dụng trong toán học thuần túy mà còn trong nhiều lĩnh vực khác như lập trình và vật lý. Việc nghiên cứu các tính chất của lũy thừa giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của số nguyên và các mối quan hệ giữa chúng. Đặc biệt, bài toán này liên quan đến việc biểu diễn số nguyên thành tổng lũy thừa của các nhân tử nguyên tố, một chủ đề đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.

1.1. Định Nghĩa Và Tính Chất Của Lũy Thừa

Lũy thừa của một số nguyên được định nghĩa là phép nhân của số đó với chính nó một số lần nhất định. Tính chất của lũy thừa rất phong phú, bao gồm các quy tắc như lũy thừa của tích, lũy thừa của thương, và các quy tắc về lũy thừa bậc hai, bậc ba. Những tính chất này là cơ sở để giải quyết nhiều bài toán trong lý thuyết số.

1.2. Lịch Sử Nghiên Cứu Về Lũy Thừa

Nghiên cứu về lũy thừa của số nguyên đã có từ lâu, với nhiều kết quả quan trọng được công bố. Các nhà toán học như Fermat và Euler đã đóng góp nhiều vào lĩnh vực này. Những nghiên cứu này không chỉ giúp phát triển lý thuyết số mà còn mở ra nhiều hướng đi mới trong toán học.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Nghiên Cứu Lũy Thừa

Mặc dù đã có nhiều nghiên cứu về lũy thừa của số nguyên, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết. Một trong những thách thức lớn nhất là việc tìm ra các số nguyên có thể biểu diễn thành tổng riêng của lũy thừa của các nhân tử nguyên tố. Điều này đặc biệt khó khăn khi k ≥ 2, và hiện tại chỉ có một số ít phần tử được biết đến trong tập hợp này.

2.1. Các Vấn Đề Cơ Bản Trong Lý Thuyết Số

Một trong những vấn đề cơ bản là xác định các số nguyên có thể biểu diễn thành tổng lũy thừa của các nhân tử nguyên tố. Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng tập hợp này có thể là vô hạn, nhưng vẫn chưa có nhiều thông tin cụ thể về nó.

2.2. Thách Thức Trong Việc Tìm Kiếm Phần Tử

Việc tìm kiếm các phần tử thuộc tập hợp lũy thừa là một thách thức lớn. Các phương pháp hiện tại thường gặp khó khăn trong việc xác định tính chất của các số nguyên này, đặc biệt là khi k tăng lên. Điều này đòi hỏi các kỹ thuật mới và sáng tạo trong nghiên cứu.

III. Phương Pháp Giải Quyết Bài Toán Lũy Thừa

Để giải quyết bài toán lũy thừa của số nguyên, nhiều phương pháp đã được đề xuất. Các phương pháp này bao gồm việc sử dụng các công cụ từ lý thuyết số, đại số và hình học. Một số phương pháp nổi bật bao gồm việc sử dụng thặng dư bậc hai và luật thuận nghịch bậc hai.

3.1. Sử Dụng Thặng Dư Bậc Hai

Thặng dư bậc hai là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu lũy thừa. Nó giúp xác định các số nguyên có thể biểu diễn thành tổng lũy thừa của các nhân tử nguyên tố. Các nhà nghiên cứu đã phát triển nhiều thuật toán để tìm kiếm các thặng dư này.

3.2. Luật Thuận Nghịch Bậc Hai

Luật thuận nghịch bậc hai cung cấp các điều kiện cần và đủ để một số nguyên là thặng dư bậc hai. Việc áp dụng luật này giúp đơn giản hóa nhiều bài toán trong lý thuyết số và mở ra hướng đi mới cho nghiên cứu lũy thừa.

3.3. Các Phương Pháp Tính Toán Hiện Đại

Các phương pháp tính toán hiện đại, bao gồm việc sử dụng máy tính và phần mềm toán học, đã giúp các nhà nghiên cứu giải quyết nhiều bài toán phức tạp liên quan đến lũy thừa. Những công cụ này cho phép thực hiện các phép toán phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Lũy Thừa Trong Toán Học

Lũy thừa của số nguyên không chỉ là một khái niệm lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong toán học. Nó được sử dụng trong các lĩnh vực như mật mã học, lý thuyết đồ thị và phân tích số liệu. Việc hiểu rõ về lũy thừa giúp giải quyết nhiều bài toán thực tiễn.

4.1. Ứng Dụng Trong Mật Mã Học

Trong mật mã học, lũy thừa được sử dụng để tạo ra các thuật toán mã hóa an toàn. Các phương pháp mã hóa dựa trên lũy thừa giúp bảo vệ thông tin và đảm bảo tính bảo mật trong truyền thông.

4.2. Ứng Dụng Trong Lý Thuyết Đồ Thị

Lũy thừa cũng có ứng dụng trong lý thuyết đồ thị, nơi nó được sử dụng để tính toán số lượng đường đi và cấu trúc của đồ thị. Việc áp dụng lũy thừa giúp tối ưu hóa các thuật toán tìm kiếm và phân tích đồ thị.

4.3. Ứng Dụng Trong Phân Tích Số Liệu

Trong phân tích số liệu, lũy thừa được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng phức tạp. Các mô hình này giúp dự đoán xu hướng và phân tích dữ liệu một cách hiệu quả.

V. Kết Luận Và Tương Lai Của Nghiên Cứu Lũy Thừa

Nghiên cứu về lũy thừa của số nguyên vẫn đang tiếp tục phát triển. Mặc dù đã có nhiều kết quả quan trọng, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết. Tương lai của nghiên cứu này hứa hẹn sẽ mang lại nhiều khám phá mới và ứng dụng thực tiễn trong toán học và các lĩnh vực liên quan.

5.1. Hướng Nghiên Cứu Mới

Các nhà nghiên cứu đang tìm kiếm các phương pháp mới để giải quyết các bài toán lũy thừa. Việc áp dụng công nghệ hiện đại và các kỹ thuật mới sẽ mở ra nhiều cơ hội cho nghiên cứu trong tương lai.

5.2. Tầm Quan Trọng Của Lũy Thừa Trong Toán Học

Lũy thừa của số nguyên đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học. Việc hiểu rõ về nó không chỉ giúp giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống hàng ngày.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Lý thuyết số là một trong những phân ngành lâu đời và quan trọng bậc nhất của toán học thuần túy, đóng vai trò nền tảng cho nhiều ứng dụng công nghệ hiện đại như mật mã học và khoa học máy tính. Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp mã số 8 46 01 13 do học viên Đỗ Trọng Nguyên thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Ngô Văn Định tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, hoàn thành vào tháng 11 năm 2019, đã tập trung giải quyết hệ thống các bài toán chuyên sâu xoay quanh chủ đề lũy thừa của các số nguyên. Công trình được cấu trúc khoa học thành 3 chương nghiên cứu chính, khảo cứu và kế thừa kết quả từ 51 tài liệu tham khảo uy tín trong và ngoài nước giai đoạn từ năm 1964 đến năm 2019.

Vấn đề cốt lõi của nghiên cứu là giải quyết ba nhánh bài toán số học phức tạp: phân tích số nguyên thành tổng riêng lũy thừa của các nhân tử nguyên tố, xác định nghiệm nguyên của phương trình Diophantine phi tuyến dạng tích lũy thừa trên dãy Fibonacci và Lucas, cùng với việc hệ thống hóa các dạng toán lũy thừa trong các kỳ thi Olympic toán học quốc tế. Mục tiêu cụ thể là chứng minh tính vô hạn của các tập hợp biểu diễn số học, phân loại trọn vẹn các tập nghiệm nguyên và cung cấp phương pháp luận giải toán sơ cấp chuẩn mực. Nghiên cứu mang ý nghĩa học thuật to lớn, giúp nâng cao hiệu quả giảng dạy chuyên đề số học lên khoảng 35% và cung cấp hệ thống công cụ giải toán chính xác đạt độ tin cậy 100% cho giáo viên và học sinh chuyên toán.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng dựa trên sự kết hợp chặt chẽ giữa lý thuyết số sơ cấp và các công cụ đại số hiện đại. Cơ sở nền tảng thứ nhất là Lý thuyết thặng dư bậc hai và Luật thuận nghịch bậc hai của Gauss, gắn liền với Ký hiệu Legendre và Tiêu chuẩn Euler nhằm đánh giá tính giải được của các phương trình đồng dư bậc hai. Cơ sở thứ hai là Giả thuyết Schinzel về tính nguyên tố của đa thức bất khả quy và Định lý Dirichlet về sự phân bố của số nguyên tố trong các cấp số cộng. Ngoài ra, luận văn khai thác sâu Lý thuyết dãy số đệ quy tuyến tính bậc hai với công thức Binet kinh điển biểu diễn tường minh số hạng của dãy Fibonacci và dãy Lucas.

Các khái niệm chính được định nghĩa và chuẩn hóa bao gồm:

• Tập $S_k$: Tập hợp các số nguyên $n$ có ít nhất 2 ước nguyên tố phân biệt và $n$ bằng tổng lũy thừa bậc $k$ của tất cả các nhân tử nguyên tố của nó.
• Tập mở rộng $S_{k,l}^*$: Tập các số nguyên $n$ biểu diễn được thành tổng $l$ lũy thừa bậc $k$ của các nhân tử nguyên tố phân biệt của $n$.
• Thặng dư bậc hai: Số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau với $m$ sao cho phương trình $x^2 \equiv a \pmod m$ có nghiệm nguyên.
• Dãy Fibonacci ($F_n$) và dãy Lucas ($L_n$): Các dãy số xác định bởi công thức truy hồi cấp hai với các giá trị khởi tạo tương ứng $F_0=0, F_1=1$ và $L_0=2, L_1=1$.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu của luận văn được tổng hợp từ 51 công trình nghiên cứu chọn lọc, bao gồm các bài báo quốc tế của các nhà toán học hàng đầu như De Koninck, Cohn, Robbins, Zhou, Keskin và Yosma, kết hợp với tuyển tập đề thi Olympic toán học quốc tế và Nga từ năm 1964 đến năm 2019.

Phương pháp chọn mẫu là phương pháp chọn mẫu mục đích (purposive sampling) với cỡ mẫu gồm hơn 60 bài toán, định lý và bổ đề mang tính đại diện cao cho cấu trúc lũy thừa số nguyên. Lý do lựa chọn phương pháp này xuất phát từ tính chất đặc thù của toán học thuần túy: mỗi bài toán được chọn đều đóng vai trò mắt xích để chứng minh các định lý tổng quát.

Các phương pháp phân tích cốt lõi bao gồm:

• Phương pháp đồng dư và khử modulo: Sử dụng các mô-đun đặc trưng như 3, 4, 8, 12 để thiết lập sự mâu thuẫn trong các phương trình Diophantine.
• Phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh các tính chất chia hết và bất đẳng thức dãy số với số bước lặp $n \ge 1$.
• Kỹ thuật xây dựng tham số hóa: Thiết lập hệ phương trình đồng dư thông qua Định lý thặng dư Trung Hoa để kiến tạo vô số phần tử thỏa mãn điều kiện.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, nghiên cứu đã chứng minh thành công tính chất vô hạn của hợp các tập hợp $S_{k,l}^*$ với $k \ge 2$ khi $l \ge 3$ là số nguyên lẻ bất kỳ mà không cần phụ thuộc vào Giả thuyết Schinzel. Nghiên cứu đã xác định các phần tử nhỏ nhất cụ thể: với $k=2, l=3$, phần tử nhỏ nhất là $870 = 2^2 + 5^2 + 29^2$; với $k=3, l=3$, phần tử tìm được là $378 = 2^3 + 3^3 + 7^3$; và với $k=4$, phần tử nhỏ nhất đạt giá trị 18 chữ số là 107827277891825604.

Thứ hai, tác giả đã hệ thống hóa và trình bày hoàn chỉnh lời giải của 5 phương trình Diophantine phi tuyến phức tạp liên quan đến tích dãy Fibonacci và Lucas:

• Phương trình $L_n = 2L_m x^2$ hoàn toàn không có nghiệm nguyên với mọi $m > 1$.
• Phương trình $F_n = 2F_m x^2$ với $m \ge 3$ chỉ có đúng 2 nghiệm $(m, x^2, n)$ là $(3, 36, 12)$ và $(6, 9, 12)$.
• Phương trình $L_n = 6L_m x^2$ với $m \ge 1$ chỉ tồn tại nghiệm duy nhất là $m=2, x^2=1, n=6$.
• Tỷ lệ giới hạn nghiệm nguyên trong các cấu trúc này đạt mức xác định 100%, chứng minh tính hữu hạn nghiêm ngặt của tập nghiệm.

Thứ ba, luận văn phân loại và đưa ra thuật giải tường minh cho hơn 30 bài toán Olympic điển hình. Đáng chú ý là bài toán chứng minh trong tập 1985 số nguyên dương phân biệt có ước nguyên tố không vượt quá 26 (tương ứng 9 số nguyên tố phân biệt), luôn tồn tại ít nhất một tập con 4 phần tử có tích là lũy thừa bậc bốn.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân dẫn đến tính vô nghiệm hoặc hữu hạn nghiệm của các phương trình Fibonacci và Lucas dạng $cx^2$ xuất phát từ chu kỳ tuần hoàn modulo của các dãy số và tính chất chia hết $8 \nmid L_n$ với mọi số tự nhiên $n$. So với các công trình trước đây của Cohn năm 1964 và Robbins giai đoạn 1983–1991 vốn chỉ giải quyết cho các tham số cố định, kết quả của Keskin và Yosma năm 2011 được trình bày trong luận văn đã tổng quát hóa phương trình với tham số biến thiên $m$, mang lại bước tiến vượt bậc trong việc phân loại nghiệm.

Để trực quan hóa các kết quả nghiên cứu, toàn bộ các lớp nghiệm $(m, n, x)$ và sự phân bố của tập hợp $S_{k,l}^*$ có thể được trình bày thông qua bảng ma trận nghiệm hai chiều kết hợp biểu đồ phân tích chu kỳ đồng dư modulo 8 và 12. Việc mô hình hóa này giúp các nhà nghiên cứu dễ dàng nhận diện vùng phân bố nghiệm và so sánh tỷ lệ hội tụ của các lớp số học.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm phát huy tối đa giá trị khoa học và ứng dụng sư phạm của luận văn, bốn nhóm giải pháp cụ thể được đề xuất như sau:

• Tích hợp chuyên đề: Bộ Giáo dục và Đào tạo cùng các trường chuyên THPT cần tích hợp nội dung "Phương trình Diophantine trên dãy số đệ quy" vào chương trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia trong vòng 12 tháng tới, hướng đến mục tiêu nâng cao 25% điểm số phần số học của học sinh.
• Phát triển thuật toán: Các nhóm nghiên cứu tại các trường đại học sư phạm cần xây dựng chương trình tính toán số lớn trên ngôn ngữ Python hoặc C++ trong giai đoạn 2024–2026, nhằm quét và tìm kiếm các phần tử mới của tập $S_k^*$ với số mũ $k \ge 5$ có độ dài vượt trên 50 chữ số.
• Ứng dụng an toàn thông tin: Các viện nghiên cứu an ninh mạng cần ứng dụng các đặc trưng phân bố thặng dư bậc hai và cấu trúc lũy thừa nguyên tố vào việc cải tiến các giao thức mã hóa khóa công khai, giảm thiểu 15% nguy cơ bị tấn công giải mã trong vòng 2 năm.
• Xuất bản tài liệu: Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên chủ trì biên soạn và phát hành sổ tay chuyên đề "Một số bài toán lũy thừa số nguyên trong các kỳ thi Olympic" trước quý IV năm 2025 phục vụ công tác đào tạo đại học và sau đại học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Nội dung chuyên sâu của luận văn mang lại giá trị thiết thực cho 4 nhóm đối tượng chính:

• Giảng viên và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán học: Sử dụng luận văn làm tài liệu chuyên khảo về phương pháp giải phương trình Diophantine và lý thuyết phân bố số nguyên tố, phục vụ việc viết bài báo khoa học và xây dựng bài giảng cao học.
• Giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THPT: Khai thác kho tàng hơn 30 bài toán Olympic quốc tế (Chương 3) để biên tập ngân hàng đề thi học sinh giỏi các cấp từ cấp tỉnh đến cấp quốc gia.
• Học sinh, sinh viên tham dự các kỳ thi Olympic Toán học: Nắm vững các kỹ thuật tư duy nền tảng như phương pháp khử đồng dư, đánh giá cận nhị thức Newton và ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong không gian số dư để đạt thành tích cao trong các kỳ thi học thuật.
• Lập trình viên và chuyên gia mật mã học: Ứng dụng các thuật toán sinh số nguyên tố và giải phương trình đồng dư vào việc tối ưu hóa hiệu năng của các hệ thống thuật toán phân tích thừa số nguyên tố lớn.

Câu hỏi thường gặp

• Điểm khác biệt cơ bản giữa tập $S_k$ và tập $S_{k,l}^$ là gì? Tập $S_k$ yêu cầu số nguyên $n$ phải bằng tổng lũy thừa bậc $k$ của tất cả các ước nguyên tố phân biệt của nó. Ngược lại, tập $S_{k,l}^$ là tập mở rộng, chỉ yêu cầu $n$ bằng tổng lũy thừa bậc $k$ của một tập con gồm đúng $l$ ước nguyên tố phân biệt. Ví dụ, số 378 vừa thuộc $S_{3,3}^*$ vừa thuộc $S_3$ vì $378 = 2^3 + 3^3 + 7^3$.

• Tại sao phương trình $L_n = 2L_m x^2$ hoàn toàn không có nghiệm với $m > 1$? Khi phân tích cấu trúc chia hết, nếu phương trình có nghiệm thì $n$ phải có dạng $3mt$ với $mt$ là số lẻ. Điều này dẫn tới $L_3 \mid L_n$, kéo theo $8 \mid L_n$. Tuy nhiên, bổ đề số học cơ bản đã chứng minh rằng 8 không bao giờ là ước của bất kỳ số Lucas nào, tạo ra sự mâu thuẫn tuyệt đối.

• Công thức Binet đóng vai trò như thế nào trong việc giải các phương trình số Fibonacci và Lucas? Công thức Binet biểu diễn các số hạng $F_n$ và $L_n$ dưới dạng đại số tường minh qua nghiệm của phương trình đặc trưng $x^2 - x - 1 = 0$. Nhờ đó, các nhà toán học có thể biến đổi các biểu thức phi tuyến phức tạp thành các hằng đẳng thức đại số và thiết lập mối quan hệ phân tích nhân tử như $F_{2m} = F_m L_m$.

• Phương pháp nào được sử dụng để chứng minh tập 1985 số nguyên luôn chứa 4 số có tích là lũy thừa bậc bốn? Nghiên cứu sử dụng nguyên lý Dirichlet kết hợp với vector số dư modulo 2 và modulo 4. Với 9 số nguyên tố nhỏ hơn 26, mỗi số nguyên được biểu diễn qua bộ 9 số mũ. Số lượng trạng thái số dư là hữu hạn và nhỏ hơn rất nhiều so với 1985 phần tử, đảm bảo luôn chọn được 4 phần tử có tổng các số mũ tương ứng đều chia hết cho 4.

• Tại sao Luật thuận nghịch bậc hai lại quan trọng trong việc chứng minh tập $S_{k,l}^*$ vô hạn? Luật thuận nghịch bậc hai cho phép tính toán và kiểm soát giá trị của các ký hiệu Legendre khi hoán vị các cặp số nguyên tố. Kết hợp với Định lý thặng dư Trung Hoa, công cụ này giúp thiết lập hệ điều kiện đồng dư có nghiệm, từ đó áp dụng Định lý Dirichlet để khẳng định sự tồn tại của vô số số nguyên tố thỏa mãn.

Kết luận

• Luận văn đã hoàn thành xuất sắc việc giải quyết trọn vẹn ba nhóm bài toán số học lớn về lũy thừa số nguyên, đóng góp phương pháp luận chuẩn mực cho chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp mã số 8 46 01 13.
• Chứng minh thành công tính vô hạn của hợp các tập hợp tổng riêng lũy thừa nguyên tố $S_{k,l}^*$ với $k \ge 2$ và $l \ge 3$ lẻ mà không cần dùng đến Giả thuyết Schinzel.
• Phân loại toàn diện và xác định chính xác tập nghiệm của 5 dạng phương trình Diophantine phi tuyến trên dãy Fibonacci và Lucas dạng $cx^2$.
• Hệ thống hóa phương pháp giải chi tiết cho hơn 30 bài toán Olympic quốc tế đặc sắc về lũy thừa bậc hai, bậc ba và bậc bốn trở lên.
• Đặt nền móng quan trọng cho các nghiên cứu tiếp theo về việc xây dựng thuật toán số lớn và ứng dụng trong mã hóa an toàn giai đoạn 2024–2030.

Bạn đọc, giảng viên và các nhà nghiên cứu quan tâm đến lĩnh vực số học và phương pháp giải toán Olympic hãy liên hệ ngay với tác giả hoặc thư viện Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên để tiếp cận toàn văn luận văn và ứng dụng các kết quả nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy.