Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Hoàng Thị Phương Thảo, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Nguyễn Thị Kim Sơn và TS. Nguyễn Như Thắng, tại Bộ môn Toán Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (bảo vệ năm 2022). Luận án thuộc chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân, mã số đào tạo 9.03.

Về tính cấp thiết, nhiều quá trình vận hành trong tự nhiên và kỹ thuật chứa đựng các tham số có tính bất định, chẳng hạn như lượng nhiên liệu đầu vào của hệ thống máy móc, quá trình xử lý tín hiệu hình ảnh hay cơ chế điều chỉnh điện tử. Việc mô hình hóa các hệ thống này đòi hỏi công cụ toán học xử lý dữ liệu mơ hồ, thiếu chính xác thay vì các tham số cố định. Phương trình vi phân mờ (FDEs) và phương trình vi phân mờ phân thứ (FFDEs) được đưa ra nhằm kết hợp giải tích mờ với toán tử tích phân - vi phân bậc không nguyên, cho phép phản ánh hiệu ứng nhớ và các đặc tính di truyền của hệ động lực.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định xuất phát từ các hạn chế nội tại của các dạng đạo hàm mờ trước đây:

  • Đạo hàm Hukuhara (hiệu H) đòi hỏi điều kiện tồn tại khắt khe và dẫn đến tính chất đường kính tập mức của nghiệm không giảm theo thời gian.
  • Đạo hàm Hukuhara suy rộng mạnh (SGH) và đạo hàm Hukuhara suy rộng (gH) làm xuất hiện hai loại nghiệm (loại 1 và loại 2) cùng hiện tượng điểm nhảy (switching point), gây phức tạp cho việc phân tích hệ động lực.
  • Không gian các số mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ được đưa ra bởi Esmi và cộng sự (2017) cùng Shen (2015, 2017) đã giải quyết vấn đề tồn tại của phép trừ đối với đạo hàm bậc nguyên. Tuy nhiên, các công cụ giải tích phân thứ (tích phân và đạo hàm phân thứ) cũng như các bài toán điều khiển học và ổn định hóa trên không gian $R_F(A)$ chưa từng được nghiên cứu.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định cụ thể gồm bốn mục tiêu:

  1. Xây dựng lý thuyết giải tích phân thứ trên không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$, gồm tích phân Riemann-Liouville phân thứ, đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc $p \in (0, 1]$.
  2. Khảo sát tính giải được và thiết lập các điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy của phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo hai loại đạo hàm nêu trên.
  3. Thiết lập các điều kiện để hệ phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo đạt tính điều khiển được hoàn toàn trong hai trường hợp: biến điều khiển là duy nhất và biến điều khiển không duy nhất.
  4. Phân tích tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng và thiết kế biến điều khiển phản hồi trạng thái nhằm ổn định hóa phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo.

Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm:

  • (i) Không gian mờ tương quan tuyến tính.
  • (ii) Hàm mờ tương quan tuyến tính.
  • (iii) Phương trình tiến hóa mờ phân thứ trong không gian mờ tương quan tuyến tính.

Phạm vi nghiên cứu bao gồm bốn nội dung chính:

  • Nội dung 1: Giải tích phân thứ trong không gian mờ tương quan tuyến tính (định nghĩa và tính chất của đạo hàm Fréchet Caputo và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo).
  • Nội dung 2: Các điều kiện đảm bảo tính có nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ.
  • Nội dung 3: Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo.
  • Nội dung 4: Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo.

Về phạm vi không gian và thời gian, cấu trúc đại số và topo được khảo sát trên không gian số mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ sinh bởi số mờ không đối xứng $A \in R_F^{nsy}$ hoặc số mờ đối xứng $A \in R_F^{sy}$; miền thời gian khảo sát là đoạn hữu hạn $I = [0, b]$ đối với bài toán Cauchy và bài toán điều khiển được, và nửa trục vô hạn $I = [0, \infty)$ đối với bài toán ổn định hóa.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lý thuyết tập mờ được khởi xướng bởi Zadeh (1965), mở đường cho sự phát triển của giải tích mờ và kỹ thuật điều khiển mờ với công trình đầu tiên của Mamdani và các cộng sự (1974). Thuật ngữ phương trình vi phân mờ được Vorobiev và Seikkala chính thức đưa ra vào năm 1978. Kể từ đó, ba hướng tiếp cận chính để tìm nghiệm của phương trình vi phân mờ đã được hình thành:

  1. Phương pháp áp dụng nguyên lý mở rộng Zadeh, do Oberguggenberger và Pittschmann (1994) phát triển.
  2. Phương pháp giải họ bao hàm vi phân theo các tập mức $\alpha$, dựa trên định lý biểu diễn tập mờ do Diamond (1990) và Kloeden (1991) nghiên cứu.
  3. Phương pháp sử dụng các loại đạo hàm mờ: Puri và Ralescu (1983) đưa ra đạo hàm Hukuhara (đạo hàm H); Bede và Gal (2005) đề xuất đạo hàm Hukuhara suy rộng mạnh (đạo hàm SGH); Stefanini (2010) cùng Bede và Stefanini (2013) đưa ra hiệu và đạo hàm Hukuhara suy rộng (đạo hàm gH).

Đối với phương trình vi phân mờ phân thứ (FFDEs), các mốc nghiên cứu tiêu biểu bao gồm: Agarwal và cộng sự (2010) lần đầu trình bày định nghĩa FFDEs; Hoa và cộng sự (2010) nghiên cứu đạo hàm Riemann-Liouville theo hiệu H cho hệ có trễ; Allahviranloo và cộng sự (2011) khảo sát đạo hàm Riemann-Liouville mờ theo đạo hàm Seikkala; Mazandarani và Kamyad (2012) cùng Salahshour và cộng sự (2012) nghiên cứu đạo hàm Caputo kết hợp với đạo hàm SGH; Ahmad và cộng sự (2018) đưa ra đạo hàm Caputo-Fabrizio SGH; Najariyan và Zhao (2018, 2020) thiết lập đạo hàm phân thứ granular.

Về không gian mờ tương quan tuyến tính, Esmi và cộng sự (2017) đã xây dựng không gian $R_F(A)$ từ số mờ không đối xứng $A \in R_F^{nsy}$ thông qua song ánh $\psi_A: \mathbb{R}^2 \to R_F(A)$, thiết lập phép trừ và đạo hàm Fréchet bậc nguyên. Shen (2015, 2017) mở rộng sang trường hợp số mờ đối xứng $A \in R_F^{sy}$ bằng cách thiết lập quan hệ tương đương $\equiv_A$ trên $\mathbb{R}^2$, đưa ra hiệu LC và đạo hàm LC bậc nguyên.

Về bài toán điều khiển và ổn định: Cơ sở giải tích hệ hữu hạn chiều được xây dựng từ Kalman (1960), Klamka (2006), Shukla và cộng sự (2007). Đối với hệ vi phân mờ, Kwun và Park (2010), Park và cộng sự (2010), Najariyan (2018), Jeong và cộng sự (2020) nghiên cứu tính điều khiển chính xác và điều khiển gần đúng. Sakar, Ulus và Arshad (2018) nghiên cứu điều khiển hoàn toàn cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ sử dụng đạo hàm gH, song kết quả vẫn bị chia thành hai trường hợp theo hai loại nghiệm. Về tính ổn định, Diamond (1990) nghiên cứu tính ổn định Lyapunov qua bao hàm vi phân; Subalakshmi và Balasubramaniam (2009) xét tính ổn định tiệm cận của hệ tiến hóa mờ theo đạo hàm H có nhiễu; Galperin và cộng sự (1999) sử dụng định lý Kharitonov; Wu và cộng sự (2008) cùng Najariyan (2019) nghiên cứu tính ổn định theo đạo hàm gH và đạo hàm granular.

Bảng tổng hợp dưới đây phân định vị trí học thuật của luận án so với các hướng tiếp cận trước:

Hướng tiếp cận Cơ chế vi phân Phạm vi không gian Đặc điểm và hạn chế Vị trí xử lý của luận án
Puri & Ralescu (1983) Đạo hàm Hukuhara (H) Không gian số mờ $R_F$ Hiệu H không luôn tồn tại; đường kính tập mức không giảm Thay thế bằng không gian $R_F(A)$ có phép trừ xác định
Bede & Gal (2005) Đạo hàm Hukuhara suy rộng mạnh (SGH) Không gian số mờ $R_F$ Tồn tại hai loại nghiệm; phát sinh hiện tượng điểm nhảy Loại bỏ điểm nhảy nhờ cấu trúc giải tích của $R_F(A)$
Stefanini (2010); Bede & Stefanini (2013) Đạo hàm Hukuhara suy rộng (gH) Không gian số mờ $R_F$ Hiệu gH không luôn tồn tại; bài toán điều khiển bị phân nhánh Xây dựng công cụ vi phân phân thứ mới không phân nhánh
Esmi và cộng sự (2017); Shen (2015) Đạo hàm Fréchet và đạo hàm LC Không gian $R_F(A)$ Chỉ mới nghiên cứu cho các toán tử vi tích phân bậc nguyên Mở rộng toàn diện sang tích phân và đạo hàm phân thứ $p \in (0, 1]$
Luận án (Hoàng Thị Phương Thảo, 2022) Đạo hàm Fréchet Caputo và LC Caputo Không gian $R_F^{nsy}(A)$ và $R_F^{sy}(A)$ Thiết lập giải tích phân thứ; giải quyết bài toán Cauchy, điều khiển và ổn định Đóng góp mới về hệ động lực phân thứ trên không gian mờ

Khoảng trống mà luận án lựa chọn giải quyết là: Xây dựng hoàn chỉnh phép tính vi tích phân phân thứ trên không gian $R_F(A)$ cho cả hai trường hợp số mờ đối xứng và không đối xứng; giải quyết bài toán Cauchy mà không cần giả định tránh điểm nhảy; thiết lập các tiêu chuẩn điều khiển được hoàn toàn và ổn định hóa phản hồi trạng thái cho hệ phương trình tiến hóa mờ phân thứ.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các hệ thống lý thuyết, khái niệm và cấu trúc toán học sau:

  • Khái niệm tập mờ trên $\mathbb{R}$ thông qua hàm thuộc $u: \mathbb{R} \to [0, 1]$, tập mức $[u]^\alpha = {x \in \mathbb{R}: u(x) \ge \alpha}$ khi $\alpha \in (0, 1]$ và $[u]^0 = \text{supp } u = {x \in \mathbb{R}: u(x) > 0}$. Không gian các số mờ ký hiệu là $R_F$.
  • Số mờ đối xứng và không đối xứng: Số mờ $u$ được gọi là đối xứng qua $t^$ nếu $u(t^ - y) = u(t^* + y)$ với mọi $y \in \mathbb{R}$. Không gian các số mờ không đối xứng ký hiệu là $R_F^{nsy}$; không gian các số mờ đối xứng trừ tập số thực $\mathbb{R}$ ký hiệu là $R_F^{sy}$. Metric trên $R_F$ là metric supremum Hausdorff $d_\infty(u_1, u_2) = \sup_{0 \le \alpha \le 1} d_H([u_1]^\alpha, [u_2]^\alpha)$.
  • Không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A) = {\psi_A(q, r) = qA + r \mid (q, r) \in \mathbb{R}^2}$. Khi $A \in R_F^{nsy}$, toán tử $\psi_A$ là một song ánh từ $\mathbb{R}^2$ lên $R_F^{nsy}(A)$, cấu trúc phép toán $\oplus_A, \odot_A, \ominus_A$ được xác định thông qua ánh xạ ngược $\psi_A^{-1}$. Chuẩn được định nghĩa bởi $|u|A = \max{|q|, |r|}$ và metric tương ứng $d{\psi_A}(u, v) = \max{|q_u - q_v|, |r_u - r_v|}$, biến $(R_F^{nsy}(A), \odot_A, \oplus_A)$ thành một không gian Banach.
  • Khi $A \in R_F^{sy}$, $\psi_A$ không phải là song ánh. Luận án sử dụng quan hệ tương đương $\equiv_A$ trên $\mathbb{R}^2$: $(q, r) \equiv_A (u, v) \iff (q = u, r = v) \text{ hoặc } (q = -u, r = 2ux^* + v)$. Lớp thương $\mathbb{R}^2/\equiv_A$ với phần tử đại diện $q \ge 0$ tạo ra song ánh $\hat{\psi}A: \mathbb{R}^2/\equiv_A \to R_F^{sy}(A)$. Hiệu LC ($B \⊟A C$), chuẩn $|B|{\hat{A}} = \max{|q_B|, |r_B|, |2q_B x^* + r_B|}$ và metric $d{\hat{\psi}_A}$ được thiết lập trên không gian này.
  • Lý thuyết giải tích phân thứ thực: Tích phân Riemann-Liouville bậc $p \in (0, 1]$ ký hiệu là $I_{0+}^p q(t)$, đạo hàm Caputo bậc $p$ ký hiệu là $D_{0+}^p q(t)$, sử dụng hàm Euler Gamma $\Gamma(p) = \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x} dx$ và hàm Beta $B(p, q)$.
  • Lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh ($C_0$-semigroup), phép biến đổi Laplace mờ, hàm kiểu Mittag-Leffler và nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Krasnoselskii, định lý Arzelà-Ascoli.

Về phương pháp nghiên cứu thực tế: Luận án là công trình nghiên cứu toán học thuần túy thuộc hướng tiếp cận giải tích hình thức (formal mathematical analysis). Các phương pháp cụ thể bao gồm:

  • Phương pháp giải tích hàm và giải tích mờ: Chuyển đổi tương đương các bài toán tiến hóa mờ trên $R_F(A)$ về hệ phương trình thực trên $\mathbb{R}^2$ hoặc trên không gian thương $\mathbb{R}^2/\equiv_A$.
  • Phương pháp điểm bất động: Chuyển bài toán vi phân phân thứ Cauchy về phương trình tích phân tương đương, xác lập không gian Banach các hàm liên tục $C(I, R_F(A))$ với metric supremum $\rho$ và metric trọng số yếu $d_m$ ($m = 1-p$), chứng minh toán tử tích phân lũy thừa $F^n$ là ánh xạ co khi $n$ đủ lớn.
  • Phương pháp nửa nhóm và biến đổi hàm: Sử dụng cấu trúc nửa nhóm liên tục mạnh và biến đổi Laplace trong $R_F(A)$ để giải bài toán điều khiển được hoàn toàn.
  • Phương pháp phân tích hệ động lực và ổn định Lyapunov: Thiết lập các bất đẳng thức đối với hệ số và xây dựng biến điều khiển phản hồi trạng thái.

Nguồn dữ liệu: Luận án sử dụng hoàn toàn dữ liệu lý thuyết và các công cụ toán học giải tích trừu tượng được trích xuất từ 72 tài liệu tham khảo khoa học trong và ngoài nước; không sử dụng dữ liệu thống kê xã hội, dữ liệu đo đạc thực nghiệm hay các phần mềm xử lý số liệu.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Sơ lược về không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A)

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức nền tảng về không gian mờ $R_F$ và không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$. Luận án trình bày chi tiết hai cấu trúc không gian dựa trên tính đối xứng của số mờ $A$:

  1. Không gian $R_F^{nsy}(A)$ ($A$ là số mờ không đối xứng): Do $\psi_A$ là song ánh tuyến tính, phép cộng, phép nhân vô hướng và phép trừ được xác định tường minh: $$u_1 \oplus_A v_1 = \psi_A(\psi_A^{-1}(u_1) + \psi_A^{-1}(v_1))$$ $$u_1 \ominus_A v_1 = \psi_A(\psi_A^{-1}(u_1) - \psi_A^{-1}(v_1))$$ Tác giả chứng minh metric $d_{\psi_A}$ có các tính chất bất biến tịnh tiến: $d_{\psi_A}(u_1 \oplus_A w, u_2 \oplus_A w) = d_{\psi_A}(u_1, u_2)$, thuần nhất: $d_{\psi_A}(k \odot_A u_1, k \odot_A u_2) = |k| d_{\psi_A}(u_1, u_2)$ và $d_{\psi_A}(u_1 \ominus_A u_2, \hat{0}) = d_{\psi_A}(u_1, u_2)$.

  2. Không gian $R_F^{sy}(A)$ ($A$ là số mờ đối xứng qua $x^$): Ánh xạ $\psi_A$ không còn là song ánh. Luận án xây dựng lớp tương đương $\equiv_A$ trên $\mathbb{R}^2$ và chứng minh $\hat{\psi}_A: \mathbb{R}^2/\equiv_A \to R_F^{sy}(A)$ là một song ánh. Hiệu LC được xác định theo: $$B \⊟_A C = \begin{cases} \hat{\psi}A([(q_B - q_C), r_B - r_C]{\equiv_A}), & q_B \ge q_C \ \hat{\psi}_A([(q_C - q_B), 2(q_C - q_B)x^ + r_C - r_B]{\equiv_A}), & q_B < q_C \end{cases}$$ Metric $d{\hat{\psi}A}$ thỏa mãn tính chất: $d{\hat{\psi}_A}(a \hat{\oplus}_A b, a \hat{\oplus}A c) = d{\hat{\psi}A}(b, c)$ và $d{\hat{\psi}_A}(\lambda \hat{\odot}_A a, \lambda \hat{\odot}A b) = |\lambda| d{\hat{\psi}_A}(a, b)$.

  3. Giải tích hàm mờ tương quan tuyến tính: Luận án nêu biểu diễn chuẩn của hàm $\hat{f}(t) = \hat{\psi}A([\tilde{q}(t), \tilde{r}(t)]{\equiv_A})$, định nghĩa đạo hàm Fréchet $\hat{f}'F(t) = \psi_A(q'(t), r'(t))$ và đạo hàm LC một phía theo metric $d{\psi_A}$ hoặc $d_{\hat{\psi}_A}$. Đối với tích phân Riemann, tác giả chỉ ra điểm khác biệt: Đẳng thức $\int_n^m \hat{f}(t)dt = (-1) \hat{\odot}_A \int_m^n \hat{f}(t)dt$ luôn đúng khi $A \in R_F^{nsy}$, nhưng khi $A \in R_F^{sy}$ thì đẳng thức này chỉ đúng khi tâm đối xứng $x^* = 0$.

Chương 2: Tính giải được của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ

Chương 2 là phần đóng góp lý thuyết cốt lõi của luận án khi mở rộng giải tích mờ sang bậc phân thứ $p \in (0, 1]$:

  1. Định nghĩa toán tử vi tích phân phân thứ:

    • Tích phân Riemann-Liouville phân thứ của $\hat{f}(t) = \psi_A(q(t), r(t))$ trên không gian $R_F^{nsy}(A)$ được xác định bởi: $$^{RL}F I{0+}^p \hat{f}(t) = \psi_A(I_{0+}^p q(t), I_{0+}^p r(t))$$
    • Đối với $A \in R_F^{sy}$, tác giả chứng minh định lý khẳng định: Nếu hàm $q(t)$ không đổi dấu trên $J$ thì tích phân Riemann-Liouville phân thứ $^{RL}F I{0+}^p \hat{f}(t)$ hoàn toàn độc lập với việc lựa chọn phần tử biểu diễn.
    • Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ: $$^C_F D_{0+}^p \hat{f}(t) = ^{RL}F I{0+}^{1-p} \hat{f}'F(t) = \psi_A(I{0+}^{1-p} q'(t), I_{0+}^{1-p} r'(t))$$ và chứng minh đẳng thức cơ bản $^{RL}F I{0+}^p (^C_F D_{0+}^p \hat{f}(t)) = \int_0^t \hat{f}'_F(s)ds$.
    • Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo (đạo hàm LC Caputo) $^{C}{LC} D{0+}^p \hat{f}(t)$: Được xác định qua $^{RL}F I{0+}^{1-p} \hat{f}'{LC}(t)$, tính toán qua biểu diễn chuẩn $|D{0+}^p \tilde{q}(t)|$ và các hàm thành phần. Tác giả chứng minh bổ đề về tính cộng và trừ của đạo hàm LC Caputo đối với các hàm có phần thực cùng tính đơn điệu.

  2. Khảo sát bài toán Cauchy theo đạo hàm Fréchet Caputo: Xét bài toán: $$^C_F D_{0+}^p \hat{x}(t) = \hat{f}(t, \hat{x}(t)), \quad t \in I = [0, b], \quad \hat{x}(0) = \hat{x}0 \in R_F^{nsy}(A)$$ Chuyển về phương trình tích phân tương đương: $$\hat{x}(t) = \hat{x}0 \oplus_A {^{RL}F I{0+}^p} \hat{f}(t, \hat{x}(t))$$ Sử dụng metric trọng số yếu $d{1-p}(\hat{x}, \hat{y}) = \sup{s \in I} {s^{1-p} d_{\psi_A}(\hat{x}(s), \hat{y}(s))}$, tác giả thiết lập đánh giá cho toán tử tích phân $F$: $$d_{\psi_A}(F^n\hat{x}, F^n\hat{y}) \le \frac{L^n t^{np} \Gamma(p)}{\Gamma((n+1)p)} t^{1-p} d_{1-p}(\hat{x}, \hat{y})$$ Vì $\lim_{n \to \infty} \frac{L^n t^{np}}{\Gamma((n+1)p)} = 0$, toán tử $F^n$ là một ánh xạ co khi $n$ đủ lớn. Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, bài toán Cauchy có duy nhất nghiệm tích phân trên $C(I, R_F^{nsy}(A))$.

  3. Khảo sát bài toán Cauchy theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo: Xét bài toán: $$^{C}{LC} D{0+}^p \hat{x}(t) = \hat{g}(t, \hat{x}(t)), \quad t \in I = [0, b], \quad \hat{x}(0) = \hat{x}_0$$ Tác giả thiết lập tính giải được và tính duy nhất nghiệm dựa trên các điều kiện giải tích tương ứng trên không gian thương.

Chương 3: Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo

Chương 3 giải quyết bài toán điều khiển được hoàn toàn cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ trên không gian $R_F^{nsy}(A)$: $$^C_F D_{0+}^p \hat{x}(t) = B\hat{x}(t) \oplus_A \hat{f}(t, \hat{x}(t)) \oplus_A Eu(t), \quad t \in I = [0, b], \quad \hat{x}(0) = \hat{x}_0$$ Trong đó $B$ là toán tử tuyến tính sinh nửa nhóm liên tục mạnh, $E$ là toán tử điều khiển, $u(t)$ là hàm điều khiển nhận giá trị trong không gian thích hợp, $\hat{f}$ là hàm nhiễu/ngoại lực liên tục.

Các kết quả đạt được trong chương bao gồm:

  • Xây dựng phép biến đổi Laplace và nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian mờ tương quan tuyến tính.
  • Thiết lập công thức biểu diễn nghiệm tích phân của hệ thông qua toán tử loại Mittag-Leffler sinh bởi toán tử $B$.
  • Chứng minh tính điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển duy nhất: Khi ngoại lực $\hat{f}$ thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến trạng thái, tác giả thiết lập toán tử điều khiển Gramian nghịch đảo. Áp dụng nguyên lý ánh xạ co, luận án chứng minh tồn tại duy nhất một hàm điều khiển $u(t)$ đưa trạng thái hệ thống từ $\hat{x}_0$ ban đầu về trạng thái đích $\hat{x}_1$ tại thời điểm kết thúc $b$.
  • Chứng minh tính điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển không duy nhất: Khi nới lỏng điều kiện Lipschitz của $\hat{f}$ (chỉ yêu cầu tính liên tục và điều kiện bị chặn compact), luận án áp dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh hệ thống vẫn điều khiển được hoàn toàn, tuy nhiên biến điều khiển không còn duy nhất.

Chương 4: Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo

Chương 4 nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng và thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái cho hệ: $$^{C}{LC} D{0+}^p \hat{x}(t) = a \odot_A \hat{x}(t) \oplus_A \hat{f}(t, \hat{x}(t)) \oplus_A u(t), \quad t \in [0, \infty), \quad \hat{x}(0) = \hat{x}_0$$ với $p \in (0, 1)$, $\hat{x}_0 \in R_F(A)$.

Các nội dung chính bao gồm:

  1. Trường hợp $A \in R_F^{nsy}$ (số mờ không đối xứng): Bằng cách sử dụng song ánh $\psi_A^{-1}$, hệ mờ được chuyển đổi về hệ phương trình vi phân thực hai chiều tương ứng. Dựa trên các định lý giải tích và tính chất của hàm Mittag-Leffler thực, tác giả thiết lập các điều kiện đại số giữa tham số $a$, hằng số Lipschitz của $\hat{f}$ và bậc phân thứ $p$ để đảm bảo nghiệm hội tụ tiệm cận về điểm cân bằng khi thời gian $t \to \infty$.
  2. Trường hợp $A \in R_F^{sy}$ (số mờ đối xứng): Do không có song ánh từ $R_F^{sy}(A)$ vào $\mathbb{R}^2$, luận án chuyển đổi việc nghiên cứu trạng thái $\hat{x}(t)$ sang biểu diễn chuẩn $\tilde{q}(t), \tilde{r}(t)$ trên không gian thương $\mathbb{R}^2/\equiv_A$. Dựa trên giả thiết về tính đơn điệu của hàm thành phần $\tilde{q}(t)$ (được gọi là "phần thực"), tác giả thiết lập các bất đẳng thức cho hệ số để chứng minh tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng.
  3. Xây dựng luật điều khiển phản hồi trạng thái: Trong trường hợp hệ mở ($u(t) = \hat{0}$) có điểm cân bằng không ổn định, luận án đề xuất cấu trúc biến điều khiển phản hồi trạng thái mờ dạng $u(t) = K \odot_A \hat{x}(t)$ (hoặc hàm phản hồi thích hợp) đưa vào hệ kín nhằm triệt tiêu tính bất ổn và đảm bảo nghiệm của hệ kín ổn định tiệm cận.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các đóng góp mới về mặt lý luận và khoa học như sau:

  1. Đề xuất thành công hai khái niệm đạo hàm phân thứ mới cho các hàm mờ tương quan tuyến tính: Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc $p \in (0, 1]$.
  2. Chứng minh các tính chất giải tích cơ bản của hai loại đạo hàm này, bao gồm tính tuyến tính, mối quan hệ tích phân - vi phân và tính độc lập của tích phân phân thứ đối với cách chọn phần tử đại diện khi số mờ là đối xứng.
  3. Giải quyết bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ trên không gian $R_F(A)$, chứng minh tính tồn tại và duy nhất nghiệm bằng nguyên lý ánh xạ co với metric trọng số yếu $d_{1-p}$, loại bỏ hoàn toàn các hạn chế về điểm nhảy và phân nhánh hai loại nghiệm gặp phải ở đạo hàm gH.
  4. Mở rộng lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh và biến đổi Laplace trên không gian $R_F^{nsy}(A)$, thiết lập các tiêu chuẩn điều khiển được hoàn toàn trong hai trường hợp biến điều khiển duy nhất và không duy nhất.
  5. Thiết lập điều kiện ổn định tiệm cận của điểm cân bằng cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm LC Caputo cho cả hai lớp số mờ đối xứng và không đối xứng; đồng thời xây dựng quy trình thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái ổn định hóa hệ thống.

Về mặt công bố khoa học, các kết quả chính của luận án đã được công bố trong hai bài báo khoa học đăng trên tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI/Scopus (Fuzzy Sets and Systems, năm 2021 và năm 2022), cùng một chương sách chuyên khảo trong ấn phẩm Advances in Fuzzy Integral and Differential Equations (năm 2021). Kết quả nghiên cứu cũng đã được báo cáo tại 4 hội thảo khoa học chuyên ngành trong nước từ năm 2021 đến năm 2022.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Về mặt hạn chế:

  • Luận án mới chỉ tập trung khảo sát các phương trình vi phân mờ phân thứ với bậc $p \in (0, 1]$, chưa mở rộng cho trường hợp bậc phân thứ cao hơn ($p > 1$).
  • Kết quả bài toán điều khiển được hoàn toàn ở Chương 3 mới được xây dựng trên không gian $R_F^{nsy}(A)$ với số mờ không đối xứng; chưa giải quyết trọn vẹn cho trường hợp số mờ đối xứng $R_F^{sy}(A)$ do cấu trúc đại số của lớp thương phức tạp.
  • Luận án là công trình lý thuyết thuần túy, chưa xây dựng các thuật toán số hay tiến hành mô phỏng thực nghiệm trên máy tính để minh họa việc áp dụng biến điều khiển vào các bài toán kỹ thuật cụ thể.

Các hướng nghiên cứu tiếp theo được tác giả đề xuất:

  1. Nghiên cứu bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ với toán tử không bị chặn trên không gian $R_F^{sy}(A)$ (trường hợp số mờ đối xứng).
  2. Mở rộng bài toán điều khiển tối ưu và bài toán điều khiển gần đúng (approximate controllability) cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ trên không gian mờ tương quan tuyến tính.
  3. Nghiên cứu phương trình vi phân mờ phân thứ có chứa độ trễ (delay) hoặc chịu tác động của xung (impulsive) trên không gian $R_F(A)$.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị tham khảo chuyên môn đối với các nhóm đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán giải tích, Phương trình vi phân và tích phân, Toán ứng dụng: Có thể sử dụng Chương 1 và Chương 2 như một tài liệu tham khảo hệ thống về cấu trúc đại số, topo và phép tính vi tích phân phân thứ trên không gian mờ tương quan tuyến tính.
  • Các nhà nghiên cứu về lý thuyết điều khiển hệ động lực và điều khiển mờ: Các kết quả ở Chương 3 và Chương 4 cung cấp khung phân tích chặt chẽ để áp dụng lý thuyết nửa nhóm, biến đổi Laplace và hàm Mittag-Leffler trong việc phân tích tính điều khiển được và ổn định hóa hệ bất định.
  • Các kỹ sư và nhà nghiên cứu mô hình hóa trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu, cơ học chất lỏng và vật liệu nhớt: Có thể tham khảo phương pháp tiếp cận không gian $R_F(A)$ để mô hình hóa các đại lượng bất định mà không làm bùng nổ độ rộng tập nghiệm như các phương pháp đạo hàm mờ truyền thống.

Câu hỏi thường gặp

1. Vì sao tác giả lựa chọn nghiên cứu trên không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ thay vì không gian số mờ $R_F$ thông thường với đạo hàm gH?
Trong không gian số mờ $R_F$ thông thường, hiệu Hukuhara không phải lúc nào cũng tồn tại; trong khi đó, đạo hàm gH dẫn đến hai loại nghiệm khác nhau và làm xuất hiện hiện tượng điểm nhảy (switching point) phức tạp. Việc sử dụng không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ cho phép thiết lập phép trừ tự nhiên (thông qua song ánh $\psi_A$ khi $A$ không đối xứng hoặc qua hiệu LC trên không gian thương khi $A$ đối xứng), đảm bảo hiệu luôn tồn tại và loại bỏ hiện tượng phân nhánh nghiệm.

2. Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo khác nhau như thế nào về phạm vi áp dụng?
Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ được xây dựng dựa trên song ánh $\psi_A$ nên chủ yếu áp dụng tự nhiên và chặt chẽ cho không gian $R_F^{nsy}(A)$ sinh bởi số mờ không đối xứng; khi áp dụng cho số mờ đối xứng, nó đòi hỏi điều kiện phụ là hàm thành phần $q'(t)$ không đổi dấu. Ngược lại, đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo (LC Caputo) được xây dựng dựa trên hiệu LC và biểu diễn chuẩn, áp dụng trực tiếp được cho cả hai trường hợp số mờ đối xứng và không đối xứng mà không phụ thuộc vào tính song ánh của $\psi_A$.

3. Phương pháp nào được sử dụng để chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy trong Chương 2?
Tác giả chuyển bài toán Cauchy về phương trình tích phân tương đương trên không gian Banach $C(I, R_F^{nsy}(A))$. Sau đó, tác giả sử dụng metric trọng số yếu $d_{1-p}$ và áp dụng bất đẳng thức hàm Beta để chứng minh toán tử tích phân lũy thừa $F^n$ là một ánh xạ co khi $n$ đủ lớn, từ đó khẳng định tính tồn tại và duy nhất nghiệm theo nguyên lý điểm bất động Banach.

4. Hai trường hợp điều khiển được hoàn toàn trong Chương 3 khác nhau ở những giả thiết nào?
Trường hợp thứ nhất giả thiết hàm ngoại lực $\hat{f}$ thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục theo biến trạng thái; khi đó tác giả xây dựng toán tử Gramian nghịch đảo và chứng minh tính điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển duy nhất. Trường hợp thứ hai nới lỏng điều kiện của $\hat{f}$ (chỉ yêu cầu tính liên tục và bị chặn compact); khi đó tính điều khiển được hoàn toàn được chứng minh thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii và biến điều khiển nhận được không còn là duy nhất.

5. Luận án khắc phục trở ngại toán học nào khi khảo sát tính ổn định tiệm cận trên không gian số mờ đối xứng $R_F^{sy}(A)$?
Khi $A$ là số mờ đối xứng, không tồn tại song ánh từ $R_F^{sy}(A)$ vào $\mathbb{R}^2$. Luận án khắc phục trở ngại này bằng cách không làm việc trực tiếp trên trạng thái $\hat{x}(t)$ mà chuyển sang làm việc với biểu diễn chuẩn tắc $\tilde{q}(t), \tilde{r}(t)$ trên không gian thương $\mathbb{R}^2/\equiv_A$. Dựa trên giả thiết về tính đơn điệu của hàm thành phần $\tilde{q}(t)$, tác giả thiết lập hệ bất đẳng thức ràng buộc các hệ số để suy ra tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Hoàng Thị Phương Thảo đã xây dựng thành công cơ sở giải tích phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ thông qua hai khái niệm đạo hàm Fréchet Caputo và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc $p \in (0, 1]$. Dựa trên các công cụ toán học này, tác giả đã giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy, thiết lập các tiêu chuẩn điều khiển được hoàn toàn và khảo sát tính ổn định tiệm cận cùng quy trình thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái cho hệ phương trình tiến hóa mờ phân thứ. Toàn bộ các kết quả lý thuyết đạt được đã khắc phục triệt để các hạn chế về điểm nhảy và phân nhánh nghiệm của các dạng đạo hàm mờ trước đây, đóng góp một khung giải tích mới cho lý thuyết phương trình vi phân và điều khiển học mờ.