Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu đối với hệ phương trình Navier-Stokes Voigt

• Tác giả: Tran Minh Nguyet
• Người hướng dẫn: Prof. Cung The Anh
• Trường học: Hanoi National University of Education
• Chuyên ngành: Differential and Integral Equations
• Đề tài: Some Optimal Control Problems for Navier-Stokes-Voigt Equations
• Loại tài liệu: doctoral dissertation
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Hanoi

• COMMITTAL IN THE DISSERTATION
• ACKNOWLEDGEMENTS
• 1. PRELIMINARIES AND AUXILIARY RESULTS
• 1.1. Regularities of boundaries
• 1.2. Lp and Sobolev spaces
• 1.3. The nonstationary 3D Navier-Stokes-Voigt equations
• 1.3.1. Solvability of the 3D Navier-Stokes-Voigt equations with homogeneous boundary conditions
• 1.3.2. Some auxiliary results on linearized equations
• 1.4. Some definitions in Convex Analysis
• 2. A DISTRIBUTED OPTIMAL CONTROL PROBLEM
• 2.1. Setting of the problem
• 2.2. Existence of optimal solutions
• 2.3. First-order necessary optimality conditions
• 2.4. Second-order sufficient optimality conditions
• 3. A TIME OPTIMAL CONTROL PROBLEM
• 3.1. Setting of the problem
• 3.2. Existence of optimal solutions
• 3.3. First-order necessary optimality conditions
• 3.4. Second-order sufficient optimality conditions
• 4. AN OPTIMAL BOUNDARY CONTROL PROBLEM
• 4.1. Setting of the problem
• 4.2. Solvability of the 3D Navier-Stokes-Voigt equations with nonhomogeneous boundary conditions
• 4.3. Existence of optimal solutions
• 4.4. First-order and second-order necessary optimality conditions
• 4.4.1. First-order necessary optimality conditions
• 4.4.2. Second-order necessary optimality conditions
• 4.5. Second-order sufficient optimality conditions
• CONCLUSION AND FUTURE WORK
• LIST OF PUBLICATIONS

I. Giới thiệu về hệ phương trình Navier Stokes Voigt

Hệ phương trình Navier-Stokes Voigt được giới thiệu như một mô hình cho chuyển động của các chất lỏng viscoelastic không nén. Hệ phương trình này có những ưu điểm nổi bật so với các mô hình khác, đặc biệt là không cần áp dụng các điều kiện biên nhân tạo bổ sung để đảm bảo tính đúng đắn toàn cục. Nghiên cứu về sự tồn tại và hành vi lâu dài của các nghiệm cho hệ phương trình này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng trong các miền bị giới hạn hoặc không bị giới hạn, có nhiều kết quả về sự tồn tại và hành vi lâu dài của nghiệm. Hệ phương trình này thuộc về các mô hình α trong cơ học chất lỏng, và đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực như xử lý hình ảnh.

1.1. Động lực nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều nghiên cứu về các bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phương trình Navier-Stokes, việc nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ phương trình Navier-Stokes Voigt vẫn chưa được thực hiện. Điều này tạo ra động lực cho việc nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phương trình này, nhằm tìm ra các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của nghiệm tối ưu. Các bài toán này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như công nghệ hàng không, robot và quy trình hóa học.

II. Các bài toán điều khiển tối ưu

Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phương trình Navier-Stokes Voigt được chia thành ba loại chính: điều khiển phân phối, điều khiển thời gian tối ưu và điều khiển biên tối ưu. Mỗi loại bài toán có những đặc điểm riêng và yêu cầu các phương pháp giải quyết khác nhau. Trong đó, bài toán điều khiển phân phối tập trung vào việc tối ưu hóa một hàm mục tiêu có dạng bậc hai, trong khi bài toán điều khiển thời gian tối ưu tìm kiếm các điều kiện tối ưu cho việc điều khiển trong khoảng thời gian ngắn nhất. Bài toán điều khiển biên tối ưu yêu cầu các biến điều khiển biên phải thỏa mãn một số điều kiện tương thích nhất định.

2.1. Bài toán điều khiển phân phối

Bài toán điều khiển phân phối cho hệ phương trình Navier-Stokes Voigt được thiết lập với hàm mục tiêu có dạng bậc hai. Mục tiêu là tìm ra nghiệm tối ưu trong một tập hợp điều khiển đóng và lồi. Các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của nghiệm tối ưu được thiết lập thông qua các định lý về tính khả thi và điều kiện tối ưu bậc nhất. Việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm tối ưu là một trong những thách thức lớn trong nghiên cứu này.

2.2. Bài toán điều khiển thời gian tối ưu

Bài toán điều khiển thời gian tối ưu cho hệ phương trình Navier-Stokes Voigt yêu cầu tìm kiếm các điều kiện tối ưu cho việc điều khiển trong thời gian ngắn nhất. Các điều kiện cần thiết và đủ cho sự tồn tại của nghiệm tối ưu được thiết lập thông qua các phương pháp phân tích toán học. Việc nghiên cứu bài toán này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc tối ưu hóa quy trình sản xuất và điều khiển trong các hệ thống động lực học.

III. Kết luận và hướng nghiên cứu tương lai

Nghiên cứu về các bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phương trình Navier-Stokes Voigt đã mở ra nhiều hướng đi mới trong lĩnh vực toán học ứng dụng. Các kết quả đạt được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong thực tiễn, đặc biệt trong các lĩnh vực như công nghệ chế tạo và xử lý chất lỏng. Hướng nghiên cứu tương lai có thể tập trung vào việc mở rộng các bài toán điều khiển tối ưu cho các mô hình phức tạp hơn, cũng như áp dụng các phương pháp số để giải quyết các bài toán này.

3.1. Hướng nghiên cứu tiếp theo

Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể bao gồm việc phát triển các phương pháp số để giải quyết các bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phương trình Navier-Stokes Voigt. Việc áp dụng các kỹ thuật tối ưu hóa hiện đại có thể giúp cải thiện độ chính xác và hiệu quả của các giải pháp. Ngoài ra, nghiên cứu có thể mở rộng sang các lĩnh vực khác như điều khiển tối ưu cho các hệ thống phi tuyến tính và các mô hình động lực học phức tạp hơn.