Bài tập Đại số tuyến tính - Phí Thị Vân Anh (ĐH Giao thông Vận tải)

Khám phá các bài tập đại số tuyến tính giúp nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề và hiểu biết về toán học. Tài liệu hữu ích cho sinh viên.

• Đề tài: Bài Tập Đại Số Tuyến Tính

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
• 1.1. Ma trận và các phép toán cơ bản
• 1.1.1. Cộng, trừ, nhân vô hướng ma trận
• 1.1.2. Nhân ma trận
• 1.1.3. Lũy thừa bậc cao của ma trận
• 1.2. Định thức và cách tính định thức
• 1.2.1. Tính định thức theo định nghĩa hoặc biến đổi sơ cấp
• 1.2.2. Định thức của ma trận tích
• 1.3. Ma trận nghịch đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận
• 1.3.1. Tìm ma trận nghịch đảo
• 1.3.2. Giải phương trình ma trận
• 1.4. Hạng của ma trận
• 1.4.1. Tìm hạng theo định nghĩa
• 1.4.2. Tìm hạng theo phương pháp Gauss
• 2. CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
• 2.1. Phương pháp Cramer
• 2.2. Phương pháp Gauss giải hệ
• 2.2.1. Hệ bậc thang
• 2.2.2. Hệ tổng quát
• 2.3. Giải và biện luận hệ
• 2.4. Hệ thuần nhất
• 3. CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH
• 3.1. Không gian tuyến tính Rⁿ
• 3.2. Không gian con
• 3.3. Tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến tính
• 3.4. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, hạng của hệ véc tơ
• 3.5. Hệ sinh, cơ sở, số chiều
• 3.5.1. Cơ sở và số chiều
• 3.6. Phép chuyển cơ sở, công thức biến đổi tọa độ
• 3.6.1. Phép chuyển cơ sở
• 3.6.2. Công thức biến đổi tọa độ
• 4. CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
• 4.1. Ánh xạ tuyến tính
• 4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
• 4.2.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính tổng quát
• 4.2.2. Ma trận của biến đổi tuyến tính
• 4.3. Giá trị riêng, véc tơ riêng
• 4.4. Chéo hóa ma trận
• 4.4.1. Ma trận đồng dạng, ma trận chéo hóa được
• 4.4.2. Các dấu hiệu nhận biết ma trận chéo hóa
• 4.4.3. Cách chéo hóa ma trận
• 4.5. Tạo ảnh của một phần tử qua ánh xạ tuyến tính
• 5. CHƯƠNG 5: KHÔNG GIAN EUCLID
• 5.1. Không gian Euclid Rⁿ
• 5.1.1. Tính toán với chuẩn và tích vô hướng
• 5.1.2. Tính góc giữa hai phần tử
• 5.1.3. Xác minh quan hệ trực giao
• 5.1.4. Bài toán xác định một phần tử
• 5.2. Hệ trực giao/trực chuẩn và cơ sở trực giao/trực chuẩn
• 5.2.1. Chứng minh hệ là trực giao/trực chuẩn
• 5.2.2. Tìm véc tơ còn thiếu trong cơ sở trực chuẩn
• 5.2.3. Tính tọa độ của véc tơ theo cơ sở trực chuẩn
• 5.2.4. Thủ tục Gram-Schmidt
• 5.3. Phần bù trực giao và phép chiếu trực giao
• 5.3.1. Tìm phần tử của phần bù trực giao
• 5.3.2. Xác định hình chiếu của phép chiếu trực giao
• 5.3.3. Bổ sung hệ trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan các dạng bài tập đại số tuyến tính phổ biến

Đại số tuyến tính là một học phần nền tảng bắt buộc đối với sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế. Việc nắm vững lý thuyết và thành thạo kỹ năng giải bài tập đại số tuyến tính là yêu cầu cốt lõi để tiếp thu các môn học chuyên ngành sau này. Theo TS. Phí Thị Vân Anh trong cuốn "Bài tập Đại số tuyến tính", mục tiêu chính là cung cấp cho sinh viên một tài liệu học tập ngắn gọn, thuận tiện, bao quát các dạng bài tập trọng tâm. Nội dung học phần này thường được cấu trúc thành các chương lớn, mỗi chương giải quyết một mảng kiến thức riêng biệt nhưng có sự liên kết chặt chẽ. Các dạng bài tập không chỉ dừng lại ở việc tính toán số học mà còn đòi hỏi tư duy logic, khả năng phân tích và chứng minh các mệnh đề toán học. Việc luyện tập thường xuyên giúp củng cố kiến thức, nhận diện nhanh các dạng toán và hình thành phương pháp giải quyết vấn đề một cách hệ thống. Các chủ đề chính bao gồm ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vector, ánh xạ tuyến tính, và các khái niệm nâng cao như trị riêng, vector riêng. Mỗi chủ đề lại chứa nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến phức tạp, từ tính toán đơn thuần đến các bài toán biện luận tham số. Việc xây dựng một đề cương môn đại số tuyến tính chi tiết và bám sát giáo trình đại số tuyến tính là bước đầu tiên để chinh phục môn học này. Hiểu rõ cấu trúc và mục tiêu của từng chương giúp người học phân bổ thời gian ôn tập đại số tuyến tính một cách hợp lý, tránh tình trạng học lệch hoặc bỏ sót những kiến thức quan trọng. Các bài tập thường được thiết kế để kiểm tra cả kỹ năng tính toán lẫn khả năng áp dụng định lý, tính chất vào việc giải quyết các vấn đề cụ thể, là cầu nối không thể thiếu giữa lý thuyết và thực hành.

1.1. Tầm quan trọng của việc luyện giải bài tập thường xuyên

Việc luyện giải bài tập đại số tuyến tính một cách thường xuyên và có hệ thống đóng vai trò quyết định đến kết quả học tập. Không giống như các môn học chỉ cần ghi nhớ, đại số tuyến tính đòi hỏi sự thấu hiểu sâu sắc các khái niệm trừu tượng. Luyện tập giúp biến kiến thức lý thuyết thành kỹ năng thực hành. Quá trình giải bài tập giúp người học tự kiểm tra mức độ hiểu bài, phát hiện những lỗ hổng kiến thức và kịp thời bổ sung. Hơn nữa, việc tiếp xúc với nhiều dạng bài khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, giúp hình thành phản xạ và tư duy giải toán nhanh nhạy. Đây là yếu tố cực kỳ quan trọng khi làm đề thi đại số tuyến tính có lời giải, nơi thời gian luôn là một áp lực lớn. Thông qua việc lặp đi lặp lại các thao tác tính toán, các quy trình chứng minh, người học sẽ ghi nhớ công thức và định lý một cách tự nhiên, giảm thiểu các sai sót không đáng có. Việc tự tìm ra lời giải bài tập đại số tuyến tính còn rèn luyện tính kiên trì, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề một cách logic.

1.2. Phân loại các chủ đề chính trong giáo trình đại số tuyến tính

Một giáo trình đại số tuyến tính tiêu chuẩn thường được chia thành năm chương chính. Chương đầu tiên giới thiệu về ma trận và định thức, là những công cụ cơ bản được sử dụng xuyên suốt môn học. Chương hai tập trung vào hệ phương trình tuyến tính và các phương pháp giải như phương pháp Gauss và Cramer. Chương ba đi sâu vào khái niệm trừu tượng hơn là không gian vector, bao gồm các chủ đề như không gian con, tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, và cơ sở và số chiều. Chương bốn trình bày về ánh xạ tuyến tính, một trong những khái niệm trung tâm của đại số tuyến tính, cùng với các vấn đề liên quan như trị riêng, vector riêng và chéo hóa ma trận. Cuối cùng, chương năm thường đề cập đến không gian Euclid, tích vô hướng và các ứng dụng trực giao. Việc phân loại rõ ràng các chủ đề giúp người học xây dựng một lộ trình học tập logic, từ những khái niệm cụ thể đến các ý tưởng trừu tượng hơn.

II. Thách thức khi tìm lời giải bài tập đại số tuyến tính

Mặc dù là môn học quan trọng, nhiều sinh viên gặp không ít khó khăn khi giải bài tập đại số tuyến tính. Một trong những thách thức lớn nhất đến từ tính trừu tượng của các khái niệm. Không giống như giải tích, các đối tượng trong đại số tuyến tính như không gian vector hay ánh xạ tuyến tính không dễ hình dung. Điều này dẫn đến việc người học có thể thuộc lòng định nghĩa, định lý nhưng không thực sự hiểu bản chất và không biết cách vận dụng vào giải bài tập. Việc tìm kiếm lời giải bài tập đại số tuyến tính đáng tin cậy cũng là một vấn đề. Các lời giải trên mạng thường sơ sài, thiếu giải thích chi tiết hoặc đôi khi chứa sai sót. Một thách thức khác là khối lượng tính toán lớn và phức tạp, đặc biệt với các bài toán liên quan đến ma trận nghịch đảo của ma trận cấp cao, hay giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn. Một sai sót nhỏ trong tính toán có thể dẫn đến kết quả sai hoàn toàn, gây tâm lý chán nản. Hơn nữa, nhiều bài tập đòi hỏi không chỉ một mà là sự kết hợp của nhiều kiến thức khác nhau. Ví dụ, để thực hiện chéo hóa ma trận, sinh viên cần nắm vững cách tìm trị riêng, vector riêng, và hiểu về ma trận đồng dạng. Sự thiếu liên kết giữa các mảng kiến thức khiến việc giải quyết các bài toán tổng hợp trở nên vô cùng khó khăn. Cuối cùng, áp lực từ các đề thi đại số tuyến tính có lời giải thường rất lớn, đòi hỏi tốc độ và sự chính xác cao, khiến nhiều sinh viên không kịp hoàn thành bài thi dù đã ôn tập đại số tuyến tính kỹ lưỡng.

2.1. Khó khăn trong việc hiểu các khái niệm trừu tượng

Các khái niệm như không gian vector, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, hay cơ sở và số chiều là những khái niệm cốt lõi nhưng rất trừu tượng. Sinh viên thường gặp khó khăn trong việc hình dung một không gian vector n-chiều hay hiểu ý nghĩa hình học của sự độc lập tuyến tính. Việc học thuộc định nghĩa mà không nắm được bản chất dẫn đến sự lúng túng khi gặp các bài toán chứng minh hoặc các câu hỏi đòi hỏi sự suy luận sâu. Ví dụ, bài toán xác định một hệ vector có phải là cơ sở của một không gian con hay không đòi hỏi phải kiểm tra đồng thời hai tính chất: hệ đó phải độc lập tuyến tính và là hệ sinh. Việc nhầm lẫn giữa các khái niệm này là rất phổ biến.

2.2. Lỗi sai thường gặp khi áp dụng công thức và định lý

Quá trình giải bài tập đại số tuyến tính chứa đựng nhiều công thức và quy tắc tính toán phức tạp, dễ dẫn đến sai sót. Lỗi phổ biến nhất là nhầm lẫn trong các phép biến đổi sơ cấp trên dòng khi tìm hạng của ma trận hoặc giải hệ bằng phương pháp Gauss. Một lỗi khác là tính sai định thức hoặc các phần bù đại số khi tìm ma trận nghịch đảo. Trong các bài toán về ánh xạ tuyến tính, việc xác định ma trận của ánh xạ trong một cặp cơ sở cho trước cũng thường gây nhầm lẫn nếu không nắm vững quy trình. Ngoài ra, việc áp dụng sai điều kiện của định lý, chẳng hạn như áp dụng quy tắc Cramer cho một hệ không phải hệ Cramer (det(A) = 0), cũng là một lỗi sai cơ bản nhưng thường gặp, dẫn đến kết quả không chính xác và mất điểm đáng tiếc trong các bài kiểm tra.

III. Phương pháp giải bài tập ma trận và định thức hiệu quả

Chương Ma trận và Định thức là nền tảng của toàn bộ môn học, do đó việc nắm vững các phương pháp giải bài tập trong chương này là cực kỳ quan trọng. Các dạng bài tập chính bao gồm thực hiện các phép toán trên ma trận, tính lũy thừa bậc cao, tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo và xác định hạng của ma trận. Đối với các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân ma trận, điều quan trọng là phải tuân thủ đúng định nghĩa và các điều kiện về kích thước ma trận. Đặc biệt, phép nhân ma trận không có tính giao hoán (AB ≠ BA), đây là một lưu ý quan trọng cần ghi nhớ. Đối với bài toán tính lũy thừa bậc cao của ma trận (Aⁿ), thay vì nhân trực tiếp, cần tìm ra các quy luật đặc biệt như Aᵏ = I, Aᵏ = O, hoặc sử dụng kỹ thuật chéo hóa ma trận sẽ được học ở chương sau. Việc giải quyết hiệu quả các dạng bài tập đại số tuyến tính này đòi hỏi sự kết hợp giữa việc ghi nhớ công thức và vận dụng linh hoạt các tính chất. Ví dụ, khi tính định thức của ma trận cấp cao, việc sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) để đưa ma trận về dạng tam giác thường hiệu quả hơn nhiều so với việc khai triển theo hàng hoặc cột. Nắm vững các phương pháp này không chỉ giúp giải quyết bài tập trong chương một mà còn là công cụ thiết yếu để xử lý các vấn đề phức tạp hơn như giải hệ phương trình tuyến tính hay tìm trị riêng.

3.1. Kỹ thuật tìm ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo (A⁻¹) là một kỹ năng cơ bản. Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có nghịch đảo là det(A) ≠ 0. Phương pháp phổ biến nhất là sử dụng ma trận phụ hợp, theo công thức A⁻¹ = (1/det(A)) * A*, trong đó A* là ma trận chuyển vị của ma trận các phần bù đại số. Quá trình này đòi hỏi tính toán cẩn thận định thức và các định thức con. Một phương pháp khác hiệu quả hơn cho ma trận cấp lớn là sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận (A|I) về dạng (I|A⁻¹). Về hạng của ma trận, đây là khái niệm chỉ số lượng tối đa các vector hàng (hoặc cột) độc lập tuyến tính trong ma trận. Cách hiệu quả nhất để tìm hạng là dùng phương pháp Gauss để đưa ma trận về dạng bậc thang. Khi đó, hạng của ma trận chính là số hàng khác không của ma trận bậc thang. Kỹ thuật này là chìa khóa để biện luận số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính.

3.2. Bí quyết tính định thức bằng phương pháp Gauss và khai triển

Tính định thức là một trong những dạng toán phổ biến nhất. Với ma trận cấp 2 hoặc cấp 3, quy tắc Sarrus là nhanh và tiện lợi. Tuy nhiên, với ma trận cấp cao hơn, có hai phương pháp chính: khai triển theo hàng/cột và sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss). Phương pháp khai triển đòi hỏi việc tính nhiều định thức con, nên chọn hàng hoặc cột có nhiều số 0 nhất để giảm khối lượng tính toán. Ngược lại, phương pháp Gauss tỏ ra hiệu quả hơn bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa định thức về dạng tam giác. Khi đó, giá trị của định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Cần lưu ý rằng, việc đổi chỗ hai hàng sẽ làm định thức đổi dấu, và nhân một hàng với một số k thì định thức sẽ tăng lên k lần. Việc kết hợp linh hoạt hai phương pháp này là bí quyết để giải quyết nhanh chóng các bài toán tính định thức phức tạp.

IV. Hướng dẫn giải hệ phương trình và không gian vector A Z

Giải hệ phương trình tuyến tính và làm việc với không gian vector là hai mảng kiến thức trọng tâm, chiếm phần lớn nội dung trong các đề thi đại số tuyến tính có lời giải. Một hệ phương trình tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận AX = b. Việc giải và biện luận hệ phương trình này dựa trên định lý Kronecker-Capelli, so sánh hạng của ma trận hệ số (A) và hạng của ma trận mở rộng (A|b). Phương pháp Gauss là công cụ vạn năng nhất, giúp đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang để từ đó xác định số nghiệm (vô nghiệm, nghiệm duy nhất, hoặc vô số nghiệm). Trong khi đó, không gian vector là một cấu trúc đại số trừu tượng nhưng có nhiều ứng dụng. Các bài tập đại số tuyến tính trong phần này thường xoay quanh các khái niệm như không gian con, tổ hợp tuyến tính, sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của một hệ vector. Dạng bài tập quan trọng nhất là tìm cơ sở và số chiều của một không gian vector hoặc không gian con. Để chứng minh một hệ vector là cơ sở, cần chứng minh nó vừa là hệ sinh, vừa độc lập tuyến tính. Việc nắm vững các định nghĩa và phương pháp chứng minh là chìa khóa để thành công trong chương này, tạo tiền đề vững chắc cho việc nghiên cứu ánh xạ tuyến tính sau này.

4.1. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Phương pháp khử Gauss là phương pháp phổ quát và hiệu quả nhất để giải mọi hệ phương trình tuyến tính. Quá trình này bao gồm các bước: lập ma trận mở rộng A = (A|b), sau đó sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa A về dạng bậc thang. Dựa vào ma trận bậc thang cuối cùng, ta so sánh r(A) và r(A|b). Nếu r(A) ≠ r(A|b), hệ vô nghiệm. Nếu r(A) = r(A|b) = n (số ẩn), hệ có nghiệm duy nhất. Nếu r(A) = r(A|b) < n, hệ có vô số nghiệm. Trong trường hợp có vô số nghiệm, các ẩn cơ sở sẽ được biểu diễn thông qua các ẩn tự do. So với quy tắc Cramer, phương pháp Gauss có ưu điểm là áp dụng được cho mọi hệ phương trình, không chỉ riêng hệ vuông, và thường ít phức tạp hơn về mặt tính toán khi số ẩn và phương trình lớn.

4.2. Xác định cơ sở số chiều và độc lập tuyến tính

Trong một không gian vector, khái niệm cơ sở và số chiều là trung tâm. Một cơ sở là một hệ vector độc lập tuyến tính nhỏ nhất mà mọi vector khác trong không gian đều có thể biểu diễn tuyến tính qua nó. Số lượng vector trong một cơ sở được gọi là số chiều của không gian. Để kiểm tra sự độc lập tuyến tính của một hệ vector, ta có thể lập một ma trận với các vector đó là các cột (hoặc hàng) rồi tìm hạng của ma trận. Nếu hạng bằng số vector, hệ đó độc lập tuyến tính. Dạng bài tập phổ biến là tìm một cơ sở và số chiều cho không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, hoặc cho không gian con sinh bởi một hệ vector. Đây là những kỹ năng nền tảng, thiết yếu để hiểu sâu hơn về cấu trúc của các không gian vector.

V. Ứng dụng ánh xạ tuyến tính trị riêng và vector riêng

Các khái niệm ánh xạ tuyến tính, trị riêng và vector riêng là những nội dung nâng cao nhưng có ý nghĩa ứng dụng thực tiễn to lớn, từ vật lý, kỹ thuật đến khoa học máy tính. Một ánh xạ tuyến tính là một phép biến đổi giữa hai không gian vector bảo toàn các phép toán cộng vector và nhân vector với vô hướng. Dạng bài tập cơ bản nhất của phần này là kiểm tra một ánh xạ có phải là tuyến tính hay không, tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong một cặp cơ sở cho trước. Ma trận này cho phép biến các phép toán trên ánh xạ thành các phép toán trên ma trận, đơn giản hóa việc tính toán. Một vấn đề quan trọng khác là chéo hóa ma trận. Một ma trận vuông được gọi là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo. Quá trình này liên quan mật thiết đến việc tìm trị riêng và vector riêng. Trị riêng của một ma trận A là các số λ sao cho phương trình Av = λv có nghiệm vector v khác không. Vector v tương ứng được gọi là vector riêng. Việc tìm được đủ số vector riêng độc lập tuyến tính là điều kiện để chéo hóa ma trận. Các bài tập đại số tuyến tính trong chương này không chỉ đòi hỏi kỹ năng tính toán mà còn yêu cầu sự hiểu biết sâu sắc về mối liên hệ giữa các khái niệm.

5.1. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính và quy trình chéo hóa

Để tìm ma trận của một ánh xạ tuyến tính f: V → W theo cặp cơ sở B ở V và C ở W, ta cần tìm ảnh của từng vector trong cơ sở B qua ánh xạ f, sau đó biểu diễn các ảnh này dưới dạng tọa độ theo cơ sở C. Các vector tọa độ này sẽ tạo thành các cột của ma trận cần tìm. Về chéo hóa ma trận, quy trình bao gồm ba bước chính. Bước 1: Tìm các trị riêng bằng cách giải phương trình đặc trưng det(A - λI) = 0. Bước 2: Với mỗi trị riêng λ, tìm không gian con riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình (A - λI)v = 0. Bước 3: Nếu tổng số chiều của các không gian con riêng bằng cấp của ma trận, ma trận đó chéo hóa được. Ma trận P làm chéo hóa A sẽ có các cột là các vector cơ sở của các không gian con riêng, và ma trận chéo D sẽ có các trị riêng trên đường chéo chính.

5.2. Ý nghĩa của trị riêng và vector riêng trong các bài toán

Trị riêng và vector riêng không chỉ là những khái niệm toán học thuần túy. Trong thực tế, chúng có rất nhiều ứng dụng. Một vector riêng của một phép biến đổi tuyến tính là một vector mà phương của nó không đổi sau khi thực hiện phép biến đổi, nó chỉ bị co giãn một hệ số bằng trị riêng tương ứng. Các hướng này được gọi là các "hướng bất biến". Trong cơ học, chúng biểu diễn các trục quay chính của một vật thể rắn. Trong phân tích dữ liệu, thuật toán Phân tích thành phần chính (PCA) sử dụng vector riêng để tìm ra các chiều thông tin quan trọng nhất. Trong lĩnh vực đồ họa máy tính, chúng được dùng để thực hiện các phép biến đổi hình học. Hiểu được ý nghĩa này giúp việc học và giải các bài tập đại số tuyến tính liên quan trở nên trực quan và thú vị hơn.

VI. Bí quyết ôn tập đại số tuyến tính và chuẩn bị thi cử

Để đạt kết quả cao, việc ôn tập đại số tuyến tính cần có một chiến lược rõ ràng và khoa học. Thay vì học thuộc lòng, người học nên tập trung vào việc hiểu sâu bản chất của từng khái niệm và mối liên hệ logic giữa chúng. Bước đầu tiên là hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức bằng cách tự xây dựng một đề cương môn đại số tuyến tính chi tiết, tóm tắt các định nghĩa, định lý, tính chất và các dạng bài tập đại số tuyến tính tiêu biểu cho từng chương. Việc này giúp tạo ra một cái nhìn tổng thể và xác định được các phần kiến thức còn yếu để tập trung ôn luyện. Bước tiếp theo và quan trọng nhất là thực hành giải bài tập. Bắt đầu từ các bài tập cơ bản trong giáo trình đại số tuyến tính để củng cố nền tảng, sau đó chuyển sang các bài tập tổng hợp và nâng cao. Đặc biệt, việc luyện các đề thi đại số tuyến tính có lời giải từ các năm trước là cực kỳ hữu ích. Nó không chỉ giúp làm quen với cấu trúc đề thi, các dạng câu hỏi thường gặp mà còn rèn luyện kỹ năng quản lý thời gian và chịu đựng áp lực phòng thi. Khi giải đề, nên bấm giờ và cố gắng hoàn thành trong thời gian quy định. Sau khi làm xong, việc đối chiếu với lời giải bài tập đại số tuyến tính chi tiết và tự rút ra kinh nghiệm từ những lỗi sai là yếu tố quyết định sự tiến bộ.

6.1. Xây dựng đề cương môn đại số tuyến tính có hệ thống

Một đề cương môn đại số tuyến tính hiệu quả nên được cấu trúc theo từng chương của giáo trình. Trong mỗi chương, cần liệt kê: (1) Các khái niệm và định nghĩa cốt lõi (ví dụ: ma trận nghịch đảo, độc lập tuyến tính). (2) Các định lý và tính chất quan trọng cùng với điều kiện áp dụng. (3) Các công thức tính toán chính (ví dụ: công thức tính định thức, công thức tìm ma trận nghịch đảo). (4) Các phương pháp giải cho từng dạng bài tập cụ thể (ví dụ: phương pháp Gauss để giải hệ phương trình, quy trình chéo hóa ma trận). Việc tự tay viết ra đề cương này giúp kiến thức được sắp xếp một cách logic trong trí nhớ, dễ dàng truy xuất khi cần thiết và là một tài liệu vô giá để xem lại nhanh trước ngày thi.

6.2. Luyện đề thi đại số tuyến tính có lời giải chi tiết

Luyện đề là giai đoạn không thể thiếu trong quá trình ôn tập đại số tuyến tính. Việc tìm và giải các đề thi đại số tuyến tính có lời giải từ các trường đại học uy tín giúp đánh giá năng lực bản thân một cách khách quan. Khi luyện đề, cần tập trung vào việc nhận dạng nhanh các yêu cầu của bài toán và lựa chọn phương pháp giải tối ưu. Ví dụ, khi gặp một hệ phương trình tuyến tính, cần quyết định nên dùng Cramer hay phương pháp Gauss dựa trên đặc điểm của hệ. Sau khi giải xong một đề, việc quan trọng là phải phân tích kỹ lời giải bài tập đại số tuyến tính được cung cấp. Cần xem xét cách tiếp cận của lời giải, so sánh với cách làm của mình, và đặc biệt chú ý đến những lỗi sai đã mắc phải để không lặp lại trong các lần sau. Quá trình này giúp hoàn thiện kỹ năng và xây dựng sự tự tin trước khi bước vào kỳ thi thực sự.

Nội dung chính

Giáo Trình Bài Tập Đại Số Tuyến Tính (Full Lời Giải Chi Tiết)

Tổng quan về giáo trình

Cuốn sách "Bài tập Đại số tuyến tính" do TS. Phí Thị Vân Anh (Chủ biên), TS. Nguyễn Huy Hoàng và ThS. Mai Phước Bình biên soạn, được Nhà xuất bản Giao thông Vận tải ấn hành năm 2020. Đây là tài liệu học tập và thực hành bổ trợ cho học phần Đại số tuyến tính – một học phần toán học cơ sở bắt buộc thuộc khối kiến thức giáo dục đại cương dành cho sinh viên bậc đại học, đặc biệt là sinh viên năm thứ nhất tại Trường Đại học Giao thông Vận tải và Phân hiệu tại Thành phố Hồ Chí Minh.

Về mặt cấu trúc học thuật, tài liệu được xây dựng tương thích đồng bộ với 5 chương của giáo trình lý thuyết "Đại số tuyến tính" (xuất bản năm 2017 bởi nhóm tác giả TS. Nguyễn Huy Hoàng, TS. Phí Thị Vân Anh và TS. Đặng Thị Mai). Mục tiêu đào tạo của giáo trình hướng đến việc cung cấp cho người học hệ thống bài tập thực hành từ mức độ cơ bản đến chuyên sâu, giúp người học:

• Nắm vững các khái niệm đại số trừu tượng thông qua các mô hình ma trận và không gian véc tơ.
• Rèn luyện kỹ năng tính toán đại số ma trận, định thức, giải hệ phương trình tuyến tính.
• Làm chủ các thuật toán nền tảng như khử Gauss, thuật toán trực giao hóa Gram-Schmidt, phương pháp chéo hóa ma trận và tìm giá trị riêng/véc tơ riêng.
• Vận dụng các công cụ đại số tuyến tính vào việc giải quyết các bài toán giải số và mô hình hóa trong khối ngành kỹ thuật, giao thông và công nghệ thông tin.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

                             GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
   Chương 1:          Chương 2:                  Chương 3:          Chương 4 & 5:
Ma trận & Định thức  Hệ PTTL                Không gian tuyến tính Ánh xạ & KG Euclid
(Gauss, nghịch đảo) (Cramer, Kronecker)     (Cơ sở, số chiều)     (Chéo hóa, Gram-Schmidt)

Tài liệu được phân công biên soạn cụ thể: Chương 1, 2, 3 do TS. Phí Thị Vân Anh phụ trách và chủ biên; Chương 4 do ThS. Mai Phước Bình phụ trách; Chương 5 do TS. Nguyễn Huy Hoàng phụ trách. Nội dung bao gồm 5 chương trọng tâm:

Các chương và chủ đề chính

Chương 1: Ma trận và Định thức

Chương này cung cấp các công cụ toán học nền tảng phục vụ cho toàn bộ học phần:

• Ma trận và các phép toán cơ bản: Định nghĩa ma trận cỡ $m \times n$, ma trận vuông, ma trận không, ma trận đối, ma trận đơn vị ($I_n$ hoặc $E_n$). Các phép toán cộng, trừ, nhân vô hướng và nhân hai ma trận (nhấn mạnh tính không giao hoán $AB \neq BA$). Kỹ thuật tính lũy thừa bậc cao $A^n$ trong các trường hợp đặc biệt: ma trận đường chéo, ma trận thỏa mãn $A^k = \pm I$, và ma trận thỏa mãn $A^2 = \lambda A$.
• Định thức và phương pháp tính: Định nghĩa định thức cấp $n$, quy tắc Sarrus cho định thức cấp 3, công thức khai triển Laplace theo hàng/cột sử dụng phần bù đại số $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$. Ba phép biến đổi sơ cấp Gauss trên hàng/cột và ảnh hưởng của chúng lên định thức; định thức của ma trận tích $\det(AB) = \det A \cdot \det B$, định thức ma trận lũy thừa $\det(A^k) = (\det A)^k$.
• Ma trận nghịch đảo và phương trình ma trận: Điều kiện khả nghịch ($\det A \neq 0$), cách tìm $A^{-1}$ qua ma trận phụ hợp $A^*$. Ứng dụng giải các dạng phương trình ma trận cơ bản: $AX = B$, $XA = B$, và $AXB = C$.
• Hạng của ma trận: Khái niệm hạng $r(A)$ thông qua định thức con cấp cao nhất khác 0; thuật toán khử Gauss đưa ma trận về dạng bậc thang để xác định hạng và bài toán biện luận hạng ma trận chứa tham số.

Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

• Tổng quan về hệ phương trình tuyến tính: Cấu trúc hệ $m$ phương trình, $n$ ẩn dưới dạng ma trận $Ax = b$ và ma trận hệ số mở rộng $\bar{A} = (A|b)$.
• Phương pháp Cramer: Áp dụng cho hệ phương trình vuông có $\det A \neq 0$ với công thức nghiệm $x_j = \frac{\det A_j}{\det A}$.
• Phương pháp khử Gauss: Giải hệ bậc thang, hệ tam giác thông qua quy trình rút thế từ dưới lên. Định lý Kronecker-Capelli về điều kiện có nghiệm ($r(A) = r(\bar{A})$) và xác định số ẩn phụ khi $r < n$.
• Giải, biện luận và hệ thuần nhất: Khảo sát sự tồn tại nghiệm của hệ theo tham số và cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ($Ax = 0$).

Chương 3: Không gian tuyến tính

• Khái niệm không gian tuyến tính $\mathbb{R}^n$ và không gian con: Tiêu chuẩn kiểm tra không gian véc tơ con.
• Tổ hợp tuyến tính và biểu diễn tuyến tính: Khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, hạng của hệ véc tơ.
• Hệ sinh, cơ sở và số chiều: Phương pháp tìm cơ sở và số chiều của không gian tuyến tính và không gian nghiệm.
• Phép chuyển cơ sở: Ma trận chuyển cơ sở và công thức biến đổi tọa độ của một véc tơ giữa hai cơ sở khác nhau.

Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

• Định nghĩa và tính chất: Khái niệm ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véc tơ, ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát và ma trận của toán tử tuyến tính (biến đổi tuyến tính).
• Giá trị riêng và véc tơ riêng: Phương trình đặc trưng, đa thức đặc trưng, cách xác định không gian riêng.
• Chéo hóa ma trận: Khái niệm hai ma trận đồng dạng, điều kiện cần và đủ để một ma trận chéo hóa được, thuật toán chéo hóa ma trận vuông.
• Tạo ảnh: Xác định tạo ảnh của một phần tử hoặc tập hợp con qua ánh xạ tuyến tính.

Chương 5: Không gian Euclid

• Không gian Euclid $\mathbb{R}^n$: Tích vô hướng chính tắc, chuẩn (độ dài véc tơ), bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, khoảng cách và góc giữa hai phần tử.
• Hệ trực giao và trực chuẩn: Khái niệm trực giao, cơ sở trực chuẩn, thuật toán trực giao hóa Gram-Schmidt.
• Phần bù trực giao và phép chiếu trực giao: Xác định không gian bù trực giao $W^\perp$, tìm hình chiếu trực giao của một véc tơ lên không gian con và bài toán bổ sung hệ trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn.

---

Kiến thức nền tảng và kỹ năng phát triển

                KIẾN THỨC NỀN TẢNG                      KỸ NĂNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

1. Kiến thức nền tảng:

   • Xây dựng hệ thống lý thuyết đại số tuyến tính từ dạng biểu diễn số học đại số cụ thể (ma trận, hệ phương trình) đến các cấu trúc trừu tượng (không gian véc tơ, ánh xạ tuyến tính, không gian Euclid).
   • Thiết lập mối liên hệ giữa các khái niệm: hạng ma trận, tính độc lập tuyến tính của hệ véc tơ, điều kiện tương thích của hệ phương trình tuyến tính và số chiều của không gian con.

2. Kỹ năng phát triển:

   • Kỹ năng tính toán và biến đổi đại số: Thành thạo các phép biến đổi sơ cấp trên hàng, kỹ thuật khai triển Laplace, phân tích ma trận và tính toán lũy thừa bậc cao.
   • Kỹ năng giải thuật toán: Vận dụng chính xác thuật toán khử Gauss/Gauss-Jordan, phương pháp Cramer, quy trình Gram-Schmidt và thuật toán tìm giá trị riêng/chéo hóa ma trận.
   • Kỹ năng phân tích và biện luận: Năng lực phân tích ma trận theo tham số, biện luận số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính dựa trên định lý Kronecker-Capelli.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Giáo trình được thiết kế theo phương pháp sư phạm định hướng thực hành, kết hợp chặt chẽ giữa việc tóm tắt lý thuyết cốt lõi và hướng dẫn giải chi tiết từng dạng bài tập:

• Mô hình tiếp cận từng chương:

  1. Tóm tắt lý thuyết: Hệ thống lại các định nghĩa, định lý, công thức toán học cần ghi nhớ (ví dụ: công thức phần bù đại số, bảng so sánh phép biến đổi Gauss trên ma trận và định thức).
  2. Phân loại dạng bài tập: Mỗi nội dung được chia thành các chuyên đề bài toán cụ thể (ví dụ: Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp, Giải phương trình ma trận $AX=B$, Tìm hạng bằng phương pháp Gauss, Biện luận hệ phương trình chứa tham số).
  3. Ví dụ mẫu có lời giải chi tiết: Trình bày nhiều phương pháp giải khác nhau cho cùng một bài toán (ví dụ: Ví dụ 1.8 và Ví dụ 1.24 cung cấp 2 cách tiếp cận khác nhau để sinh viên so sánh tính tối ưu).
  4. Hệ thống bài tập tự luyện: Cung cấp danh sách bài tập rèn luyện ở cuối mỗi phần kèm đáp số hoặc gợi ý phương pháp giải.

• Cảnh báo các sai lầm toán học thường gặp: Giáo trình chỉ rõ những lỗi sinh viên thường mắc phải trong quá trình tính toán, điển hình như:

  • Nhầm lẫn giữa phép biến đổi Gauss trên định thức (làm thay đổi giá trị định thức nếu nhân một số vào hàng lưu kết quả) và trên ma trận (không làm thay đổi hạng).
  • Tự ý biến đổi sơ cấp trên cột khi giải hệ phương trình tuyến tính (làm xáo trộn thứ tự và hệ số của các ẩn số).
  • Áp dụng sai tính chất giao hoán khi giải phương trình ma trận (như đặt nhân tử chung sai vị trí trong biểu thức chứa tích ma trận).

---

Điểm nổi bật và cập nhật

1. Tính tương thích và bổ trợ với giáo trình lý thuyết: Cuốn sách được biên soạn như một tài liệu thực hành đồng bộ với giáo trình lý thuyết "Đại số tuyến tính" (2017) của cùng nhóm tác giả thuộc Trường Đại học Giao thông Vận tải, giúp chuẩn hóa nội dung giảng dạy và thi cử tại đơn vị.
2. Quy chuẩn hóa các bước thực hiện thuật toán: Các thuật toán phức tạp như khử Gauss, tìm ma trận nghịch đảo, giải hệ phương trình tổng quát đều được sơ đồ hóa thành các bước rõ ràng ($B_1 \to B_2 \to B_3 \to B_4$).
3. Tính ứng dụng kỹ thuật và công nghệ thông tin: Ngay từ chương mở đầu, giáo trình nhấn mạnh vai trò của ma trận và định thức trong việc giải các bài toán số trị (giải số) và mối liên hệ mật thiết với cấu trúc dữ liệu mảng nhiều chiều trong công nghệ thông tin.
4. Hệ thống ký hiệu và chú thích trực quan: Sử dụng bảng quy ước ký hiệu biến đổi trên các dấu bằng hoặc dấu suy ra (như $H_i \leftrightarrow H_j$, $\lambda H_i + H_j \to H_j$, $\text{ntc. } H_i$), giúp các bước biến đổi trung gian tường minh và dễ kiểm tra.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

• Sinh viên bậc Đại học: Phục vụ trực tiếp cho sinh viên năm thứ nhất các ngành Kỹ thuật, Công nghệ thông tin, Giao thông, Kinh tế và Khoa học cơ bản đang theo học học phần Đại số tuyến tính.
• Yêu cầu kiến thức tiên quyết (Prerequisites): Người học cần nắm vững kiến thức toán học trung học phổ thông, bao gồm đại số cơ bản, lượng giác, phương pháp tọa độ phẳng và không gian, khái niệm hệ phương trình bậc nhất và các phép toán giải tích cơ bản.
• Giảng viên đại học: Sử dụng làm tài liệu tham khảo trong việc xây dựng đề cương bài giảng, bài tập trên lớp, đề kiểm tra định kỳ và ngân hàng câu hỏi thi kết thúc học phần.
• Người tự học và nghiên cứu: Phù hợp cho người học cần củng cố kiến thức nền tảng về đại số ma trận, không gian véc tơ để tiếp cận các chuyên ngành sâu như Khoa học dữ liệu, Học máy (Machine Learning) và Xử lý tín hiệu số.

---

Bảng so sánh các phương pháp giải toán trong giáo trình

Phương pháp	Phạm vi áp dụng	Ưu điểm	Nhược điểm / Lưu ý
Quy tắc Cramer	Hệ phương trình tuyến tính vuông ($m=n$) có $\det A \neq 0$	Tính trực tiếp từng ẩn $x_j$ qua tỷ số định thức	Khối lượng tính toán tăng nhanh khi $n \ge 4$; không áp dụng được khi hệ không vuông hoặc $\det A = 0$
Khử Gauss (Hàng)	Hệ phương trình tổng quát $m \times n$, tìm hạng, tìm ma trận nghịch đảo	Tổng quát cho mọi hệ; xác định chính xác số ẩn phụ và nghiệm tổng quát	Cần cẩn trọng trong các phép biến đổi số học để tránh nhầm lẫn dấu và phân số
Ma trận phụ hợp ($A^*$)	Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$	Cho biểu thức giải tích tường minh	Cần tính $n^2$ định thức con $M_{ij}$, dễ sai dấu phần bù đại số $(-1)^{i+j}$
Trực giao hóa Gram-Schmidt	Không gian Euclid $\mathbb{R}^n$	Biến đổi một hệ độc lập tuyến tính thành hệ trực chuẩn	Cần thực hiện tuần tự; nếu sai lệch ở một véc tơ sẽ làm sai toàn bộ hệ véc tơ phía sau

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp nhất với sinh viên những ngành nào?

Giáo trình được thiết kế chuẩn mực cho sinh viên các ngành Kỹ thuật công trình, Kỹ thuật Giao thông, Công nghệ thông tin, Điện - Điện tử, Logistics và Khối ngành Kinh tế vận tải tại bậc đào tạo đại học.

2. Người học cần chuẩn bị kiến thức nền tảng gì trước khi học tài liệu này?

Người học chỉ cần kiến thức toán học phổ thông, đặc biệt là kỹ năng đại số, giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất, cùng tư duy logic hình học không gian.

3. Giáo trình bài tập này có điểm gì khác biệt so với các tài liệu lý thuyết thông thường?

Tài liệu tập trung vào phân loại dạng bài tập, đưa ra thuật toán giải theo từng bước ($B_1, B_2, \dots$), phân tích các lỗi sai phổ biến và cung cấp lời giải đầy đủ cho từng bài toán mẫu thay vì chỉ đưa ra lý thuyết trừu tượng.

4. Làm thế nào để tự học giáo trình này đạt hiệu quả cao nhất?

Người học nên đọc tóm tắt lý thuyết đầu chương, tự giải lại các ví dụ mẫu trước khi xem lời giải chi tiết, sau đó đối chiếu các cách giải khác nhau và hoàn thành toàn bộ bài tập tự luyện ở cuối mỗi mục.

5. Tài liệu lý thuyết nào tương thích trực tiếp với cuốn sách bài tập này?

Cuốn sách tương thích trực tiếp với giáo trình lý thuyết "Đại số tuyến tính" do TS. Nguyễn Huy Hoàng, TS. Phí Thị Vân Anh, TS. Đặng Thị Mai biên soạn (NXB Giao thông Vận tải, 2017).

---

Kết luận

Cuốn sách "Bài tập Đại số tuyến tính" (Full Lời giải chi tiết) là một tài liệu học tập chuẩn hóa, hoàn chỉnh về mặt phương pháp tính toán và giải thuật đại số đại cương. Thông qua 5 chương kiến thức logic từ Ma trận - Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian tuyến tính, Ánh xạ tuyến tính cho đến Không gian Euclid, cuốn sách cung cấp một lộ trình thực hành toàn diện, hỗ trợ trực tiếp cho sinh viên trong quá trình học tập, ôn luyện và kiểm tra đánh giá trong chương trình đào tạo đại học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. MA TRAN VA DINH THUC .Lời: giải: a) Dùng quy tắc Sarrus khai triển định thức cấp 3, ta có: —2 1 : " om Ww | D= —1 4l =(—9— 40+ 42) — (—5 — 36 + 84) = —50. | 7 3 b) Cách 1; Nhận thấy định thức cấp 4 này có cột 1 chứa hai số 0, thuận lợi cho việc khai triển theo cột, khi đó sẽ dẫn đến cần tính tiếp hai định thức cấp 3. Cach 2: Ta c6 thé tranh việc khai triển 2-định thức cấp 3 như trên bằng cách | biến đổi cho cột 1 xuất hiện ba số 0, rồi khai triển dé ha cấp định thức như sau: 112 -2 112 ~-2 D= 2 3 1 4.

1 1 2 c) Dùng các biến đổi Gauss, đưa định thức về dạng tam giác, ta có:: CỊỦ 2 1 1 mecz+m—m[1 2 1 1 pul? 3 4 2 mason |0O =1 2 0 31-2 4) - 0 —5 —5 1 J2 5 1 2 0 1 -1 0 | 12 1 1 1 2 1 1 Ty Ha |0 -1 2 Olaec |0 -1 0 2] _ 11 Sóc 0 0 =5 1 l0 0 1-ø|P CUEI * 0 0 1 0 0 0 0 1 Trong 1 bước biến đổi, ta ghi nhiều phép biến đổi Gauss, đó chỉ là cách viết vắn tắt, thay cho việc viết nhiều lần, mỗi lần chỉ có 1 phép biến đổi. Chúng ta quy ước hoạt động của các phép biến đổi đó là từ trên xuống dưới. Vậy ta - cần lưu ý tính logic của các biến đổi. Đối với định thức chứa tham số, ta nên tìm cách biến đổi, đưa về dạng đơn giản hơn.

Một hướng để biến đổi được nhanh là tìm các cặp hàng, hoặc cặp cột, có số 1.2 Định 'thức và cách tính định thúc -- 21 lượng các phần tử giống nhau nhiều nhất, sau đó nhân hàng/cột này với (—1), rồi cộng vào hàng /cột còn lại, làm thế ta sẽ nhận được một loạt số 0. Hoặc nhân một hàng /cột với (—1) rồi cộng vào hang/cot khác để có nhân tử chung, sau đó rút nhân tử chung ra ngoài định thức. Cách này rất hữu hiệu khi gặp định thức mà bên trong chỉ có 2 loại phần tử, cho dù chúng xếp theo thứ tự nào đi chăng nữa. x xn «i il eVidu 1.8 Tính định thức sau : D=|! z #l1 ÌÌ ## + + Ì + Lời giải: Cách 1: Ta nhận thấy định thức cấp 4 này có 2 cặp hàng có số lượng phần tử giống nhau nhiều nhất, có tới 3 chỗ giống nhau, đó là các cặp hàng (Hạ, Hạ) và (Hs, Hạ).

Do đó, ta có thể chọn Hạ; nhân với (—1) rồi cộng vào các hàng còn lại. Ha(—1)+ Hị ¬ Hị | 0 0 z—l 1-2 D HC tú | 0, 0 0 ~ 0 l—z. 0 0 x 7 1 + Dén đây, ta thấy H; và H; có tới-ba số 0; nên việc khai triển theo hàng để hạ bậc định thức là rất thuận lợi. Mặt khác, ta còn thấy các hàng 1, Hạ, H;, mỗi hàng đều có nhân tử chung là (1 — z), vậy có thể đặt nhân tử chung ra ngoài định thức.

Ta viết: 0:0 —] 1 0-1 1 mắc Ay 2,3 _ 3 1 0 0 0 kt.H2 —— 3 /_ 192+1 1 0 0 + 5 Ì + Mel ay (|) J=(1=#}#⁄(<e=1)= (+1) < ĐẺ: ' Cách 2:2: Ta thay trong định thức chỉ có 2 loại phần tử xuất hiện là số 1 và z. Vay néu ta lấy 1 hàng/cột nhan véi (—1) rồi cộng vào các hàng/cột.còn lại thi ta sẽ nhận được nhân tử chung trên các hàng/cột đó, tiếp theo rút nhân tử chung ở 3 hàng mới ra, ta sẽ nhận được nhân tử (z — 1)°. Chẳng hạn, biến đổi theo hàng như sau: Hy(-1) 4! Ha > Hạ + `.